初三数学圆的复习课件-人教版

知识体系 圆 基本性质 直线与圆的 位置关系 圆与圆的 位置关系 概 念 对 称 性 垂 径 定 理 圆心角、 弧、弦之 间的关系 定理 圆周角与 圆心角的 关系 切 线 的 性 质 切 线 的 判 定 切 线 的 作 图 弧长、扇形面积和圆锥 的侧面积相关计算 正多边形 和圆 位 置 分 类 性 质 公 切 线 的 作 图 关 系 定 理 有 关 计 算 圆的有关性质圆的有关性质 圆的定义（运动观点） 在一个平面内，线段OA绕它固 定的一个端点O旋转一周，另一 个端点A随之旋转所形成的图形 叫做圆。 固定的端点O叫做圆心，线段 OA叫做半径，以点O为圆心的圆， 记作☉O，读作“圆O” 圆的定义辨析 • 篮球是圆吗？ – 圆必须在一个平面内 • 以3cm为半径画圆，能画多少个？ • 以点O为圆心画圆，能画多少个？ • 由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？ – 半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置 • 圆是“圆周”还是“圆面”？ – 圆是一条封闭曲线 • 圆周上的点与圆心有什么关系？ 圆的定义（集合观点） • 圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 – 圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）； – 到定点的距离等于定长的点都在圆上。 • 一个圆把平面内的所有点 分成了多少类？ • 你能模仿圆的集合定义思 想，说说什么是圆的内部 和圆的外部吗？ 点与圆的位置关系 • 圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的 点的集合。 • 圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。 • 圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。 • 由此，你发现点与圆的位置关系是由什么来决定 的呢？ 如果圆的半径为r， 点到圆心的距离为d，则： 点在圆上 d=r 点在圆内 dr 与圆有关的概念• 弦和直径 – 什么是弦？什么是直径？ – 直径是弦吗？弦是直径吗？ • 弧与半圆 – 什么是圆弧（弧）？怎样表示？ – 弧分成哪几类？ – 半圆是弧吗？弧是半圆吗？ • 弓形是什么？ • 同心圆、同圆、等圆和等弧 – 怎样的两个圆叫同心圆？ – 怎样的两个圆叫等圆？ – 同圆和等圆有什么性质？ – 什么叫等弧？ 点的轨迹 • 把符合某一条件的所有的点所组成的图形， 叫做符合这个条件的点的轨迹。 – 图形上的任何一点都符合条件； – 符合条件的任何一点都在图形上。 • 圆是什么点的轨迹？ • 垂直平分线是什么点的轨迹？ • 角平分线是什么点的轨迹？ 圆的有关性质圆的有关性质 过三点的圆过三点的圆 思考：确定一条直线的条件是什么？ 类比联想：是否也存在由几个点确定一个圆呢？ 讨论：经过一个点，能作出多少个圆？ 经过两个点，如何作圆，能作多少个？ 经过三个点，如何作圆，能作多少个？ 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆， 外接圆的圆心叫做三角形的外心， 三角形叫做圆的内接三角形。 问题1：如何作三角形的外接圆？ 如何找三角形的外心？ 问题2：三角形的外心一定 在三角形内吗？ ∠C＝90°▲ABC是锐角三角形▲ABC是钝角三角形 垂直于弦的直径垂直于弦的直径 及其推及其推 论论 想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两 侧半圆会有什么关系？ 性质：圆是轴对称图形，任何一条直径所在 的直线都是它的对称轴。 观察右图，有什么等量关系？ 垂直于 弦的直 径 AO=BO=CO=DO， 弧AD＝弧BC，弧AC ＝弧BD。 AO=BO=CO=DO， 弧AD＝弧BC=弧AC ＝弧BD。 AO=BO=CO=DO，弧 AD＝弧BD，弧AC＝ 弧BC, AE＝BE 。 垂径定理 垂直于弦的直径平分这 条弦，并且平分弦所对的两条弧。 判断下列图形，能否使用垂径定理？ 注意：定理中的两个条件 （直径，垂直于弦）缺一不 可！ O A BE 若圆心到弦的距离用d表示， 半径用r表示，弦长用a表示， 这三者之间有怎样的关系？ 变式1：AC、BD有什么关系？ 变式2：AC＝BD依然成 立吗？ 变式3：EA＝____, EC=_____。FDFB 变式4：______ AC=BD.OA=OB 变式5：______ AC=BD.OC=OD • 如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点， PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。 M A PB O关于弦的问题，常常 需要过圆心作弦的垂线 段，这是一条非常重要 的辅助线。 圆心到弦的距离、半 径、弦长构成直角三角 形，便将问题转化为直 角三角形的问题。 画图叙述垂径定理，并说出 定理的题设和结论。 题设 结论 ①直线CD经过圆心O ②直线CD垂直弦AB ③直线CD平分弦AB ④直线CD平分弧ACB ⑤直线CD平分弧AB 想一想：如果将题设和 结论中的5个条件适当互 换，情况会怎样？ ① ③ ② ④ ⑤ ② ③ ① ④ ⑤ ① ④ ② ③ ⑤ ② ④ ① ③ ⑤ ① ② ⑤ ① ② ④ ④ ⑤ ① ② ③ ③ ④ ③ ⑤ （1）平分弦（不是直径）的直径垂直 于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且 平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂 直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。 如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD， 你能得到什么结论？ 弧AE＝弧BF 圆的两条平行弦所夹的弧相等。 F O B A E C D 圆心角、弧、弦、圆心角、弧、弦、 弦心距之间的关系弦心距之间的关系 圆的性质 • 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线 都是对称轴。 • 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 • 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任 意一个角度α，都能与原来的图形重合。 圆心角：顶点在圆心的角。 （如：∠AOB） C 弦心距：从圆心到弦的距离。 （如：OC） O A B 如图，∠AOB＝∠A`OB`，OC⊥AB， OC`⊥A`B`。 猜想：弧AB与弧A`B`，AB与A`B`， OC与OC`之间的关系，并证明你的猜想。 定理 相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对的弦的 弦心距相等。 在同圆或等圆中， O A B C A' B' C' 圆心角所对的弧相等， 圆心角所对的弦相等， 圆心角所对弦的弦心距相等。 推论 在同圆或等圆中， 如果两个圆心角、两条弧、 两条弦或两条弦的弦心距中有 一组量相等，那么它们所对应 的其余各组量都分别相等。 题设 结论 在 同 圆 或 等 圆 中 ( 前 提) 圆 心 角 相 等 （ 条 件 ） 1°圆心角 1°弧 C D n°圆心角 n°弧 把顶点在圆心的周角等分成把顶点在圆心的周角等分成360360份时，每一份的份时，每一份的 圆心角是圆心角是1°1°的角。的角。1°1°的圆心角所对的弧叫做的圆心角所对的弧叫做 1°1°的弧。的弧。 圆心角的度数 和它所对的弧 的度数相等。 一般地，一般地，n°n°的圆心角的圆心角 对着对着n°n°的弧。的弧。 圆周角 切线判定的方法 • 利用切线定义 • 利用圆心到直线的距离等于半径 • 利用切线判断定理 • 辅助线技巧： –若直线过圆上某一点，则连结圆心和公 共点，再证明直线与半径垂直 –若直线与圆的公共点没有确定，则过圆 心向直线作垂线，再证明圆心到直线的 距离等于半径。 Review 切线的性质切线的性质 重点内容 • 切线判定：直线l：①过半径外端②垂直于半径 • 切线性质：切线l，A为切点：OA⊥l 理解记忆 类比猜想类比猜想 切线的性质定理：圆的切线垂 直于经过切点的半径。 推论： 1、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 2、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线判定与性质典型例题 • 已知：AB是⊙O的直径，BC 是⊙O的切线，切点为B， OC平行于弦AD。 求证：DC是⊙O的切线。 体会规律 • 如图，在以O为圆心的两个同 心圆中，大圆的弦AB和CD相 等，且AB与小圆相切于点E， 求证：CD与小圆相切。 D C O BA F D C B A E O 切线性质定理的推广 • 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 • 推1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 • 推2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 浓缩提炼 你能用一个定理把圆的切 线的性质及它的两个推论 概括出来吗？ 如果一条直线具备下列三个条件中 的任意两个，就可以推出第三个： （1）垂直于切线；（2）过切点； （3）过圆心。 切线的判定和性质 • 判定切线的三种方法： – 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线 – 和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 – 过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线 Review 定义 本质一样 表达不同 定理 ①过圆心②过切点③ 垂直于切线，随便知 两个就可推出第三个 • 切线的主要性质： – 切线和圆只有一个公共点 – 切线和圆心的距离等于半径 – 切线垂直于过切点的半径 – 经过圆心垂直于切线的直线必过切点 – 经过切点垂直于切线的直线必过圆心 • 主要辅助线： – 利用切线性质时，常作过切点的半径 – 证明直线是圆的切线时，分清什么时候“连结”，什 么时候“作垂线” 三角形的内切圆三角形的内切圆 重点内容 如何在一个三角形中剪下一个圆，使得该 圆的面积尽可能的大？ 思考 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内 切圆；内切圆的圆心叫做三角形的内心； 这个三角形叫做圆的外切三角形。 三角形的内心是三角形内角平分线的交点。 三角形的内心是 否也有在三角形 内、三角形外或 三角形上三种不 同情况。 记忆 • 在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB ＝75°，求∠BOC的度数。 （1）点O是三角形的内心 （2）点O是三角形的外心 • △ABC中，E是内心，∠A的 平分线和△ABC的外接圆相 交于点D。求证：DE＝DB。 A B C O D A B C E 练习 关于三角形内心的辅助线： 连结内心和三角形的顶点， 该线平分三角形的这一内角。 垂心 重心 外心 内心 交点 性质 位置 三条高线 的交点 三条角平 分线的交 点 三边垂直 平分线的 交点 三条中线 的交点 在形内、 形外或直 角顶点 在形内、 形外或斜 边中点 在形内 在形内 到三角形 各顶点距 离相等 到三角形 三边距离 相等 把中线分 成了2:1 两部分 已知△ABC的内切圆半径 为r，求证： △ABC的面 积S△ABC＝sr。（s为 △ABC的半周长） AA BB CC OO 三角形的外接圆： 三角形的内切圆： AA BB CC II OO II 特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法： R= —c 22 r = ————a+b-c 22 AA BB CC aa bb cc 直角三角形外接圆、 内切圆半径的求法 等边三角形外接圆、 内切圆半径的求法 基本思路：基本思路： 构造三角形构造三角形BODBOD，，BOBO为外接为外接 圆半径，圆半径，DODO为内切圆半径。为内切圆半径。 AA BB CC OO DD RR rr 圆的内接四边形 定理：圆的内接四边形的对角互补，并且 任何一个外角都等于它的内对角。 C B A D O E F ∠D＋∠B＝180° ∠A＋∠C＝180° ∠EAB＝∠BCD ∠FCB＝∠BAD 对角 外角 内对角 又一种重要的辅助线 FE D C B A O2O1 如图，⊙O1和⊙O2都经过A、B两点，经过A点的直 线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D，经过B点的 直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F。求证： CE∥DF •有两个圆的题目常用 的一种辅助线：作公 共弦。 •此图形是一个考试热 门图形。 思考：若此题条件和 结论不变，只是不给 出图形，此题还能这 样证明吗？ E C B A O2O1 F D 切线长定理切线长定理 切 线 长 的 定 义 以 及 定 理 切线与切线长的区别： • 切线是直线，不能度量。 • 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是 圆外的一点和切点，可以度量。 PA、PB分别切⊙O于A、B PA = PB ∠OPA=∠OPB 切线长定理： • 题设：从圆外一点引圆 的两条切线 • 结论：①切线长相等， ②圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 • 几何表述： P B A O DC P B A O • 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点， 直线OP交⊙O于点D，交AB于点C。 – 写出图中所有的垂直关系 – 写出图中所有的全等三角形 – 写出图中所有的相似三角形 – 写出图中所有的等腰三角形 – 若PA＝4cm，PD＝2cm，求半径OA的长 – 若⊙O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为 6cm，求切线长及这两条切线的夹角度数 P A B O C PO平分∠AOB PO垂直平分AB PO平分弧AB PA＝PB PO平分∠APB 圆的外切四边形的重要性质 • 四边形ABCD的边AB、BC、 CD、DA和⊙O分别相交相切 于点L、M、N、P。观察图 并结合切线长定理，你发现 了什么结论？并证明之。 C BA D P L M N O 圆的外切四边形的两组对边的和相等 AB＋CD＝AD＋BC 弦切角弦切角 弦切角的定义 • 弦切角：顶点在圆上， 一边和圆相交、另一 边和圆相切的角叫做 弦切角。 • 要点： – 顶点在圆上 – 一边和圆相交 – 一边和圆相切 判断下列各图形中的∠A是不是 弦切角，并说明理由。 还记得什么是分类讨论吗？ 还记得什么是化归吗？ 还记得什么是完全归纳法吗？ 弦切角等于它所夹的弦切角等于它所夹的 弧所对的圆周角。弧所对的圆周角。 如图，DE切⊙O于A，AB，AC是⊙O的弦， 若弧AB＝弧AC，那么∠DAB和∠EAC是 否相等？为什么？ 若两弦切角所夹的弧 相等，则这两个弦切 角也相等。 • 等腰梯形各边都与⊙O相切， ⊙O的直径为 6cm，等腰梯形的腰等于8cm，则梯形的 面积为_____。 圆的外切四边形的两组对边的和相等 AB＋CD＝AD＋BC 868 C BA D P L M N O 与圆有关的比例线段 • 相交弦定理 圆内的两条相交 弦，被交点分成的两条线段长 的积相等。 PO C D A BPA·PB=PC·PD • 切割线定理 从圆外一点引圆的 切线和割线，切线长是这点到割 线与圆交点的两条线段长的比例 中项。 PT2= PA·PB A O P B T • 如图，CD是弦，AB是直 径，CD⊥AB，垂足为P。 求证：PC2＝PA·PBA C D B P O 你能用两种 不同的原理 证明吗？ • 相交弦定理推论 如果弦与直径垂直相交， 那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的 比例中项。 PC2= PA·PB • 如图，PAB和PCD是⊙O的 两条割线。 求证：PA·PB＝PC·PD 你能用多种 不同的原理 证明吗？ • 切割线定理推论（割线定理） 从圆外一 点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆 的交点的两条线段长的积相等。 PA·PB＝PC·PD A O P B C D (1)经过⊙O内或外一点P作两条直线交⊙O于 A,B,C,D四点,得到了如图所示的六种不同情 况.在六种情况下,PA,PB,PC,PD四条线段在 数量上满足的关系式可用同一个式子表示.请 先写出这个式子，然后只就图②给予证明； (2)已知⊙O的半径为一定值r，若点P是不在 ⊙O上的一个定点，请你过P任作一直线交 ⊙O于不重合的两点E、F，PE·PF的值是否 为定值？为什么？由此你发现了什么结论 ？请你把这一结论用文字叙述出来。 结论：过不在圆上的一个定点P的任何一 条直线与圆相交，则这点到直线与圆的交 点的两条线段的乘积为定值。（等于点P 到圆心的距离与半径的平方差的绝对值） 运动观点看本质 • 切线长定理 • 相交弦定理 • 相交弦定理推论 • 切割线定理 • 割线定理 本质一样 圆幂定理 圆和圆的 位置关系 两个圆没有公共点， 并且每个圆上的点都 在另一个圆的外部。 两个圆没有公共点， 并且每个圆上的点都 在另一个圆的内部。 d>R+r d