知识体系 圆
基本性质 直线与圆的
位置关系
圆与圆的
位置关系
概
念
对
称
性
垂
径
定
理
圆心角、
弧、弦之
间的关系
定理
圆周角与
圆心角的
关系
切
线
的
性
质
切
线
的
判
定
切
线
的
作
图
弧长、扇形面积和圆锥
的侧面积相关计算
正多边形
和圆
位
置
分
类
性
质
公
切
线
的
作
图
关
系
定
理
有
关
计
算
圆的有关性质圆的有关性质
圆的定义（运动观点）
在一个平面内，线段OA绕它固
定的一个端点O旋转一周，另一
个端点A随之旋转所形成的图形
叫做圆。
固定的端点O叫做圆心，线段
OA叫做半径，以点O为圆心的圆，
记作☉O，读作“圆O”
圆的定义辨析
• 篮球是圆吗？
– 圆必须在一个平面内
• 以3cm为半径画圆，能画多少个？
• 以点O为圆心画圆，能画多少个？
• 由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？
– 半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置
• 圆是“圆周”还是“圆面”？
– 圆是一条封闭曲线
• 圆周上的点与圆心有什么关系？
圆的定义（集合观点）
• 圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
– 圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；
– 到定点的距离等于定长的点都在圆上。
• 一个圆把平面内的所有点
分成了多少类？
• 你能模仿圆的集合定义思
想，说说什么是圆的内部
和圆的外部吗？
点与圆的位置关系
• 圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的
点的集合。
• 圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。
• 圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。
• 由此，你发现点与圆的位置关系是由什么来决定
的呢？
如果圆的半径为r，
点到圆心的距离为d，则：
点在圆上 d=r
点在圆内 dr
与圆有关的概念• 弦和直径
– 什么是弦？什么是直径？
– 直径是弦吗？弦是直径吗？
• 弧与半圆
– 什么是圆弧（弧）？怎样表示？
– 弧分成哪几类？
– 半圆是弧吗？弧是半圆吗？
• 弓形是什么？
• 同心圆、同圆、等圆和等弧
– 怎样的两个圆叫同心圆？
– 怎样的两个圆叫等圆？
– 同圆和等圆有什么性质？
– 什么叫等弧？
点的轨迹
• 把符合某一条件的所有的点所组成的图形，
叫做符合这个条件的点的轨迹。
– 图形上的任何一点都符合条件；
– 符合条件的任何一点都在图形上。
• 圆是什么点的轨迹？
• 垂直平分线是什么点的轨迹？
• 角平分线是什么点的轨迹？
圆的有关性质圆的有关性质
过三点的圆过三点的圆
思考：确定一条直线的条件是什么？
类比联想：是否也存在由几个点确定一个圆呢？
讨论：经过一个点，能作出多少个圆？
经过两个点，如何作圆，能作多少个？
经过三个点，如何作圆，能作多少个？
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，
外接圆的圆心叫做三角形的外心，
三角形叫做圆的内接三角形。
问题1：如何作三角形的外接圆？
如何找三角形的外心？
问题2：三角形的外心一定
在三角形内吗？
∠C＝90°▲ABC是锐角三角形▲ABC是钝角三角形
垂直于弦的直径垂直于弦的直径
及其推及其推
论论
想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两
侧半圆会有什么关系？
性质：圆是轴对称图形，任何一条直径所在
的直线都是它的对称轴。
观察右图，有什么等量关系？ 垂直于
弦的直
径
AO=BO=CO=DO，
弧AD＝弧BC，弧AC
＝弧BD。
AO=BO=CO=DO，
弧AD＝弧BC=弧AC
＝弧BD。
AO=BO=CO=DO，弧
AD＝弧BD，弧AC＝
弧BC, AE＝BE 。
垂径定理 垂直于弦的直径平分这
条弦，并且平分弦所对的两条弧。
判断下列图形，能否使用垂径定理？
注意：定理中的两个条件
（直径，垂直于弦）缺一不
可！
O
A BE
若圆心到弦的距离用d表示，
半径用r表示，弦长用a表示，
这三者之间有怎样的关系？
变式1：AC、BD有什么关系？
变式2：AC＝BD依然成
立吗？
变式3：EA＝____, EC=_____。FDFB
变式4：______ AC=BD.OA=OB
变式5：______ AC=BD.OC=OD
• 如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，
PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。
M A
PB
O关于弦的问题，常常
需要过圆心作弦的垂线
段，这是一条非常重要
的辅助线。
圆心到弦的距离、半
径、弦长构成直角三角
形，便将问题转化为直
角三角形的问题。
画图叙述垂径定理，并说出
定理的题设和结论。
题设 结论
①直线CD经过圆心O
②直线CD垂直弦AB
③直线CD平分弦AB
④直线CD平分弧ACB
⑤直线CD平分弧AB
想一想：如果将题设和
结论中的5个条件适当互
换，情况会怎样？
①
③
②
④
⑤
②
③
①
④
⑤
①
④
②
③
⑤
②
④
①
③
⑤
①
②
⑤
①
②
④
④
⑤
①
②
③
③
④
③
⑤
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直
于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且
平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂
直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。
如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，
你能得到什么结论？
弧AE＝弧BF
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
F
O
B
A
E
C D
圆心角、弧、弦、圆心角、弧、弦、
弦心距之间的关系弦心距之间的关系
圆的性质
• 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线
都是对称轴。
• 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
• 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任
意一个角度α，都能与原来的图形重合。
圆心角：顶点在圆心的角。
（如：∠AOB）
C
弦心距：从圆心到弦的距离。
（如：OC）
O
A
B
如图，∠AOB＝∠A`OB`，OC⊥AB，
OC`⊥A`B`。
猜想：弧AB与弧A`B`，AB与A`B`，
OC与OC`之间的关系，并证明你的猜想。
定理
相等的圆心角所对的弧相等，
所对的弦相等，所对的弦的
弦心距相等。
在同圆或等圆中，
O
A
B
C
A'
B'
C'
圆心角所对的弧相等，
圆心角所对的弦相等，
圆心角所对弦的弦心距相等。
推论 在同圆或等圆中，
如果两个圆心角、两条弧、
两条弦或两条弦的弦心距中有
一组量相等，那么它们所对应
的其余各组量都分别相等。
题设 结论
在
同
圆
或
等
圆
中
(
前
提)
圆
心
角
相
等
（
条
件
）
1°圆心角 1°弧
C
D
n°圆心角
n°弧
把顶点在圆心的周角等分成把顶点在圆心的周角等分成360360份时，每一份的份时，每一份的
圆心角是圆心角是1°1°的角。的角。1°1°的圆心角所对的弧叫做的圆心角所对的弧叫做
1°1°的弧。的弧。
圆心角的度数
和它所对的弧
的度数相等。
一般地，一般地，n°n°的圆心角的圆心角
对着对着n°n°的弧。的弧。
圆周角
切线判定的方法
• 利用切线定义
• 利用圆心到直线的距离等于半径
• 利用切线判断定理
• 辅助线技巧：
–若直线过圆上某一点，则连结圆心和公
共点，再证明直线与半径垂直
–若直线与圆的公共点没有确定，则过圆
心向直线作垂线，再证明圆心到直线的
距离等于半径。
Review
切线的性质切线的性质
重点内容
• 切线判定：直线l：①过半径外端②垂直于半径
• 切线性质：切线l，A为切点：OA⊥l
理解记忆
类比猜想类比猜想
切线的性质定理：圆的切线垂
直于经过切点的半径。
推论：
1、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
2、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
切线判定与性质典型例题
• 已知：AB是⊙O的直径，BC
是⊙O的切线，切点为B，
OC平行于弦AD。
求证：DC是⊙O的切线。
体会规律
• 如图，在以O为圆心的两个同
心圆中，大圆的弦AB和CD相
等，且AB与小圆相切于点E，
求证：CD与小圆相切。
D
C
O BA
F
D
C
B
A
E
O
切线性质定理的推广
• 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径
• 推1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
• 推2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
浓缩提炼
你能用一个定理把圆的切
线的性质及它的两个推论
概括出来吗？
如果一条直线具备下列三个条件中
的任意两个，就可以推出第三个：
（1）垂直于切线；（2）过切点；
（3）过圆心。
切线的判定和性质
• 判定切线的三种方法：
– 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线
– 和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线
– 过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线
Review
定义
本质一样
表达不同
定理 ①过圆心②过切点③
垂直于切线，随便知
两个就可推出第三个
• 切线的主要性质：
– 切线和圆只有一个公共点
– 切线和圆心的距离等于半径
– 切线垂直于过切点的半径
– 经过圆心垂直于切线的直线必过切点
– 经过切点垂直于切线的直线必过圆心
• 主要辅助线：
– 利用切线性质时，常作过切点的半径
– 证明直线是圆的切线时，分清什么时候“连结”，什
么时候“作垂线”
三角形的内切圆三角形的内切圆
重点内容
如何在一个三角形中剪下一个圆，使得该
圆的面积尽可能的大？
思考
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内
切圆；内切圆的圆心叫做三角形的内心；
这个三角形叫做圆的外切三角形。
三角形的内心是三角形内角平分线的交点。
三角形的内心是
否也有在三角形
内、三角形外或
三角形上三种不
同情况。
记忆
• 在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB
＝75°，求∠BOC的度数。
（1）点O是三角形的内心
（2）点O是三角形的外心
• △ABC中，E是内心，∠A的
平分线和△ABC的外接圆相
交于点D。求证：DE＝DB。
A
B C
O
D
A
B C
E
练习
关于三角形内心的辅助线：
连结内心和三角形的顶点，
该线平分三角形的这一内角。
垂心 重心 外心 内心
交点
性质
位置
三条高线
的交点
三条角平
分线的交
点
三边垂直
平分线的
交点
三条中线
的交点
在形内、
形外或直
角顶点
在形内、
形外或斜
边中点
在形内 在形内
到三角形
各顶点距
离相等
到三角形
三边距离
相等
把中线分
成了2:1
两部分
已知△ABC的内切圆半径
为r，求证： △ABC的面
积S△ABC＝sr。（s为
△ABC的半周长）
AA
BB CC
OO
三角形的外接圆： 三角形的内切圆：
AA
BB CC
II
OO
II
特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法：
R= —c
22 r = ————a+b-c
22
AA
BB
CC
aa
bb
cc
直角三角形外接圆、
内切圆半径的求法
等边三角形外接圆、
内切圆半径的求法
基本思路：基本思路：
构造三角形构造三角形BODBOD，，BOBO为外接为外接
圆半径，圆半径，DODO为内切圆半径。为内切圆半径。
AA
BB CC
OO
DD
RR
rr
圆的内接四边形
定理：圆的内接四边形的对角互补，并且
任何一个外角都等于它的内对角。
C
B
A D
O
E
F
∠D＋∠B＝180°
∠A＋∠C＝180°
∠EAB＝∠BCD
∠FCB＝∠BAD
对角
外角
内对角
又一种重要的辅助线
FE
D
C
B
A
O2O1
如图，⊙O1和⊙O2都经过A、B两点，经过A点的直
线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D，经过B点的
直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F。求证：
CE∥DF
•有两个圆的题目常用
的一种辅助线：作公
共弦。
•此图形是一个考试热
门图形。
思考：若此题条件和
结论不变，只是不给
出图形，此题还能这
样证明吗？
E
C
B
A
O2O1
F
D
切线长定理切线长定理
切
线
长
的
定
义
以
及
定
理
切线与切线长的区别：
• 切线是直线，不能度量。
• 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是
圆外的一点和切点，可以度量。
PA、PB分别切⊙O于A、B PA = PB
∠OPA=∠OPB
切线长定理：
• 题设：从圆外一点引圆
的两条切线
• 结论：①切线长相等，
②圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
• 几何表述：
P
B
A
O
DC P
B
A
O
• 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，
直线OP交⊙O于点D，交AB于点C。
– 写出图中所有的垂直关系
– 写出图中所有的全等三角形
– 写出图中所有的相似三角形
– 写出图中所有的等腰三角形
– 若PA＝4cm，PD＝2cm，求半径OA的长
– 若⊙O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为
6cm，求切线长及这两条切线的夹角度数
P
A
B
O C
PO平分∠AOB
PO垂直平分AB
PO平分弧AB
PA＝PB
PO平分∠APB
圆的外切四边形的重要性质
• 四边形ABCD的边AB、BC、
CD、DA和⊙O分别相交相切
于点L、M、N、P。观察图
并结合切线长定理，你发现
了什么结论？并证明之。
C
BA
D
P
L
M
N
O
圆的外切四边形的两组对边的和相等
AB＋CD＝AD＋BC
弦切角弦切角
弦切角的定义
• 弦切角：顶点在圆上，
一边和圆相交、另一
边和圆相切的角叫做
弦切角。
• 要点：
– 顶点在圆上
– 一边和圆相交
– 一边和圆相切
判断下列各图形中的∠A是不是
弦切角，并说明理由。
还记得什么是分类讨论吗？
还记得什么是化归吗？
还记得什么是完全归纳法吗？
弦切角等于它所夹的弦切角等于它所夹的
弧所对的圆周角。弧所对的圆周角。
如图，DE切⊙O于A，AB，AC是⊙O的弦，
若弧AB＝弧AC，那么∠DAB和∠EAC是
否相等？为什么？
若两弦切角所夹的弧
相等，则这两个弦切
角也相等。
• 等腰梯形各边都与⊙O相切， ⊙O的直径为
6cm，等腰梯形的腰等于8cm，则梯形的
面积为_____。
圆的外切四边形的两组对边的和相等
AB＋CD＝AD＋BC
868
C
BA
D
P
L
M
N
O
与圆有关的比例线段
• 相交弦定理 圆内的两条相交
弦，被交点分成的两条线段长
的积相等。 PO
C
D
A
BPA·PB=PC·PD
• 切割线定理 从圆外一点引圆的
切线和割线，切线长是这点到割
线与圆交点的两条线段长的比例
中项。
PT2= PA·PB
A
O
P
B
T
• 如图，CD是弦，AB是直
径，CD⊥AB，垂足为P。
求证：PC2＝PA·PBA
C
D
B
P
O 你能用两种
不同的原理
证明吗？
• 相交弦定理推论 如果弦与直径垂直相交，
那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的
比例中项。 PC2= PA·PB
• 如图，PAB和PCD是⊙O的
两条割线。
求证：PA·PB＝PC·PD
你能用多种
不同的原理
证明吗？
• 切割线定理推论（割线定理） 从圆外一
点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆
的交点的两条线段长的积相等。
PA·PB＝PC·PD
A
O
P
B
C
D
(1)经过⊙O内或外一点P作两条直线交⊙O于
A,B,C,D四点,得到了如图所示的六种不同情
况.在六种情况下,PA,PB,PC,PD四条线段在
数量上满足的关系式可用同一个式子表示.请
先写出这个式子，然后只就图②给予证明；
(2)已知⊙O的半径为一定值r，若点P是不在
⊙O上的一个定点，请你过P任作一直线交
⊙O于不重合的两点E、F，PE·PF的值是否
为定值？为什么？由此你发现了什么结论
？请你把这一结论用文字叙述出来。
结论：过不在圆上的一个定点P的任何一
条直线与圆相交，则这点到直线与圆的交
点的两条线段的乘积为定值。（等于点P
到圆心的距离与半径的平方差的绝对值）
运动观点看本质
• 切线长定理
• 相交弦定理
• 相交弦定理推论
• 切割线定理
• 割线定理
本质一样
圆幂定理
圆和圆的
位置关系
两个圆没有公共点，
并且每个圆上的点都
在另一个圆的外部。
两个圆没有公共点，
并且每个圆上的点都
在另一个圆的内部。
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