相似三角形

相似三角形 1我爱思考1 ： 世界上最高的树 —— 红杉我爱思考2 ： 中国最高的楼—— 台北101大楼 怎样测量这些非常 高大物体的高度？目 录 1、相似多边形知识点回顾 2、相似三角形的判定 3、相似三角形的性质 4、相似三角形的预备定理相似多边形的判定： 对应角相等，对应边的比相等 的两个多边形为相似多边形. 两个条件要 同时具备 温馨回顾： 相似多边形概念： （1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等， 对应边的比相等. （2）相似多边形的识别：如果两个多边形的对应角相 等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似. （3）相似比：我们把相似多边形对应边的比称为相似 比. 相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似多边形的周长比等于相似比． （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方． 在10倍的放大镜下看到的三角形 与原三角形相比: 三角形的边长,周长,面积,角,发 生什么关系？ 我爱学习 相似三角形的概念： （1）相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三 角形. （2）相似三角形的表示方法： 用“∽”表示，读作相似于.如：△ABC和△DEF相似，可 以写成△ABC∽△DEF，也可以写成△DEF∽△ABC，读作 △ABC相似于△DEF.定义 判定方法 全等 三角 形 相似 三角 形 回顾并思考 三角、三边对应 相等的两个三角 形全等 三角对应相等, 三 组对应边的比相等 的两个三角形相似 角 边 角 A S A 角 角 边 A A S 边 边 边 S S S 边 角 边 S A S 斜 边 与 直 角 边 H L 判定三角形相似，是不是也有这么多种方法呢？ 相似三角形的判定方法： （1）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形 相似； （2）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相 等，那么这两个三角形相似； （3）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等， 那么这两个三角形相似. （4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的 斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个直角三角形相似. （5）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交， 所构成的三角形与原三角形相似；边 边 边 S S S 已知： △ABC∽△A1B1C1. A1 B1 C1 A B C 求证： 探究1 证明：在线段 （或它的延长线）上截取 ，过点D作 ，交 于点E根据前面的 定理可得 . A1 B1 C1 A B C D E∴ 又 A1 B1 C1 A B C D E ∴ ∴ ∴ （SSS） ∵∴ 如果两个三角形的三组对应边的比 相等，那么这两个三角形相似。 知识要点 判定三角形相似的定理之一 △ABC∽△A1B1C1. 即： 如果 那么 A1 B1 C1 A B C 三边对应成比例，两三角形相似。 边 边 边 S S S√求证：∠BAD=∠CAE。 A D C E B ∴ΔABC∽ΔADE ∴∠BAC=∠DAE ∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC 即∠BAD=∠CAE 练一练 已知： 解：∵边 角 边 S A S 探究2 已知： △ABC∽△A1B1C1. A1 B1 C1 A B C 求证： ∠B =∠B1 . 你能证明吗？ 如果两个三角形的两组对应边的比相 等，并且相应的夹角相等，那么这两个三 角形相似。 知识要点 判定三角形相似的定理之二 两边对应成比例，且夹角相等， 两三角形相似。 边 角 边 S A S√ A1 B1 C1 A B C △ABC∽△A1B1C1. 即： 如果 ∠B =∠B1 . 那么角 边 角 A S A 角 角 边 A A S 角 角 A A A1 B1 C1 A B C 已知： △ABC∽△A1B1C1.求证： ∠A =∠A1，∠B =∠B1 . 你能证明吗？ 如果两个三角形的两个角与另一个 三角形的两个角对应相等，那么这两个 三角形相似。 知识要点 判定三角形相似的定理之三 两角对应相等，两三角形相似。 角 角 A A A1 B1 C1 A B C △ABC∽△A1B1C1. 即： 如果 那么 √ ∠A =∠A1，∠B =∠B1 . 如果两个三角形有一个内角对应相等， 那么这两个三角形一定相似吗？ 一角对应相等的两个三角形不一定相似。△ACD ∽ △ CBD∽ △ ABC 练一练 找出图中所有的相似三角形。 “双垂直”三角形 BDA C 有三对相似三角形： △ACD∽ △CBD △CBD∽ △ABC △ACD∽ △ABC相似三角形对应高的比等于相似比 ∵△ ABC∽ △ A1B1C1 ∴∠B = ∠B1 又∵∠ADB = ∠ A1D1B1 =900 ∴△ ADB∽△ A1D1B1（角角） A1 B1 C1 A B CD D1证明： ∴相似三角形对应角平分线的比等于相似比 ∵ △ ABC∽ △ A1B1C1 ∴ ∠B = ∠B1，∠BAC = ∠B1A1C1 ∵ AD，A1D1分别是∠BAC和∠B1A1C1的角平分线 ∴ ∠BAD = ∠B1A1D1 ∴ △ ADB∽△ A1D1B1（角角） A1 B1 C1 A B CD D1证明： ∴相似三角形对应中线的比等于相似比 A1 B1 C1 A B CD D1探究4 已知： △ABC∽△A1B1C1.求证： 你能证明吗？ H L A B C A1 B1 C1 Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1. 如果一个直角三角形的斜边和一条直角 边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边 对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。 知识要点 真命题 H L A B C △ABC∽△A1B1C1. 即： 如果 那么 √ A1 B1 C1 Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1. 利用利用三角形相似可以解决一些不能 直接测量的物体的长度的问题 学校操场上的国旗旗杆的高度我们无法 直接测量，你能否借助平行的太阳光线 来测量呢？ 轻松一刻Ａ Ｂ Ｏ Ａ′ Ｂ′ Ｏ′ 6m 1.2m 1.6 m 古希腊数学家、天文学家泰勒斯 利用相似三角形的原理，测量金字塔 的高度。D E A(F) B O 2m 3m201m 解：太阳光是平行线， 因此∠BAO= ∠EDF 又 ∠AOB= ∠DFE=90° ∴△ABO∽△DEF BO EF = BO = = 134 OA FDOA· EF FD = 201×2 3AF E B O ┐┐ 还可以有其他方法测量吗？一题多解 OB EF = OA AF△ABO∽△AEF OB = OA · EF AF 平面镜 相似三角形的性质： （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. （2）相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的 中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相 似比. （3）相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等 于相似比的平方.A B C D E F 相似三角形的周长比等于相似比吗? 从而由等比性质有 相似三角形的周长比等于相似比.已知：如图， △ABC∽△A’B’C’，它们的相似比是K， AD、A’D’分别是高. 求证： 证明： ∵△ABC∽△A’B’C’ B’ D’ C’ A’ A B CD 相似三角形的面积比等于相似比的平方.已知两个三角形相似，请完成下列表格 相似比 周长比 面积比 2 2 4 2 10 10 100如图，△ＡＢＣ中，ＤＥ⁄⁄ＦＧ⁄⁄ＢＣＡＤ＝ＤＦ＝ＦＢ， 则Ｓ△ＡＤＥ:Ｓ四边形ＤＦＧＥ:Ｓ四边形ＦＢＣＧ =_________ .1：3：5 已知:梯形ABCD中 AD∥BC,AD=36cm, BC=60cm,延长 两腰BA,CD交于点 O,OF⊥BC,交AD 于E,EF=32cm,则OF=_______. A B C DE O F 80cm 已知梯形ABCD中， AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，若△AOD的面积 为4cm2, △BOC的面积为9cm2, 则梯形ABCD的面积为_________cm2 A B C D O 解: ∴△AOD∽△COB S△AOD:S△COB=4:9 ∴OD:OB=2:3 ∴S△AOD:S△AOB=2:3 ∴S△AOB=6cm2 ∴梯形ＡＢＣＤ的面积为25cm2 ∵AD∥BC 25 相似三角形判定的预备定理： 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延 长线)相交。所构成的三角形与原三角形相似。 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长 线)相交。所构成的三角形与原三角形相似。 D A B C E ∵ DE∥BC ∴△ADE∽△ABC 相似三角形判定的预备定理： 平行于三角形一边的直线截其他两边 （或两边的延长线），所得的对应线段的 比相等. A B C D E l1 l2 l3 l4 l5 A B C D E l1 l2 l3 l4 l5L1 L2 L3 L4L5 L1 L2 L3 L4L5 A B C E DA B C D E ∵ DE∥BC AD AE ACAB =∵ ∵ DE∥BC AD AE ACAB =∵ 数学符号语言 数学符号语言 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线） ，所得的对应线段的比相等 如图，△ABC 中，DE∥BC，GF∥AB，DE、GF交于 点Ｏ，则图中与△ABC相似的三角形共有多少个?请 你写出来. 解： 与△ABC相似的三角形有3个:　　 △AＤＥ　 △ＧＦＣ　 △ＧＯＥ A B C D E F G O如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC， （1）请找出图中所有的相似三角形； （2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____。 A B C DE F G H I △ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC 1：4课堂小结 1. 相似图形三角形的判定方法：  定义  预备定理  判定定理一 (三组对应边的比相等）  判定定理二 (两组对应边的比相等且夹角相等）  判定定理三 （两角对应相等） （三边对应成比例，三角相等） （SSS） （AA） （SAS） 对应角相等。  对应边的比相等。  对应高的比等于相似比。  对应中线的比等于相似比。  对应角平分线的比等于相似比。 2. 相似三角形的性质：（1）所有的等腰三角形都相似。 （2）所有的等腰直角三角形都相似。 （3）所有的等边三角形都相似。 （4）所有的直角三角形都相似。 （5）有一个角是100 °的两个等腰三角形都相似。 （6）有一个角是70 °的两个等腰三角形都相似。 （7）若两个三角形相似比为1，则它们必全等。 （8）相似的两个三角形一定大小不等。 1. 判断下列说法是否正确？并说明理由。 √× √ × √ × √ × 随堂练习A B C D F E 1、若 BF=3,CF=2,AD=1.5,DF=6,你能求出线段AE的长度 吗？ 2 ∴△BDF∽△BAC ∵DF∥AC ∴ ∴AC=10 ∴ 解：∵DE∥BC,DF∥AC ∴四边形DFCE为平行四边形 ∴FC=DE=2，EC=DF=6 3 2 1.5 6 6 ∴AE=AC-CE=10-6=4∴△BDM∽△BAC A B CM D E 2、 如图：在△ABC中，点M是BC上 任一点， MD∥AC，ME∥AB， 若 求 的值。= ，BD AB EC AC 2 5 解：∵MD∥AC， ∴ = = ， BD BA 2 5 BM BC ∴ = CE CA CM CB = 3 5 MC BC 又∵ ME∥AB， ∴△CEM∽△CAB 2份 5份 3份 3 5= 1. 铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂 端点升高___8___m。 O B D C A ┏┛1m 16m 0.5m ？ 迎考精炼 2.某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1.5米的人的影长为3米, 则树高为__4____。 3. △ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高 AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是 多少？ N MQ P E D CB A 解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC的高AD与 PN相交于点E。设正方形PQMN的边长为 x 毫米。 因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC 所以 AE AD = PN BC 因此 ，得 x=48（毫米）。80–x 80 = x 120 4. 小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5 米的位置上，求球拍击球的高度h.（设网球是直线运动） A D B C E ┏ ┏0.8m 5m 10m ？ 2.4m 5. 在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时刻， 有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为90米， 那么高楼的高度是多少米？ 6. 为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A， 再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC， 用视线确定BC和AE的交点D．此时如果测得BD＝120米，DC＝60米， EC＝50米，求两岸间的大致距离AB． A E D CB7．如图，DE∥BC， （1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值； （2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的 长． 8.某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边 原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地， 由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原 绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是: 被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？ D E 30m 18m B C A 9.如图，蛋糕店制作两种圆形蛋糕,一种半径是 15cm,一种半径是30cm,如果半径是15cm的蛋糕够2 个人吃,半径是30cm的蛋糕够多少人吃?(假设两种 蛋糕的高度相同) 10.如图，在 ABCD中，E是BC上一点，AC 与DE相交于F，若AE:EB=1:2，求∆AEF与∆CDF 的相似比。若∆AEF的面积为5平方厘米，求 ∆CDF的面积。 B F E D C A谢谢大家的聆听！