5.1.2 垂线

导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 5.1 相交线 第五章 相交线与平行线 5.1.2 垂 线 1.理解垂线的有关概念、性质及画法；（重点） 2.知道垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用 其解决问题. （重点、难点） 学习目标导入新课 情境引入 观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它 们有什么特殊的位置关系？ 日常生活里，图中的两条直线的关系很常见， 你能再举出其他例子吗？在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,当b的 位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化. ）α aa bb bbbbb b ） α 讲授新课 垂线的概念一问 题 如 图 ,当 ∠AOC＝ 90°时 ， ∠BOD、 ∠AOD、 ∠BOC的度数是多少？为什么？ A B C D O 由对顶角和邻补角的性质知，当∠AOC＝90°时， ∠BOD=∠AOD=∠BOC=90°.两条直线相交成四个角，如果有一 个角是直角，那么称这两条直线互 相垂直. 注意：两条线段互相垂直是指这 两条线段所在的直线互相垂直. 垂直定义： 知识要点 如果直线AB与直线CD垂直，那 么可记作：AB⊥CD（或 CD⊥AB）. 如果用l、m表示这两条直线， 那么直线l与直线m垂直，可记作： l⊥m（或m ⊥ l）. 把互相垂直的两条直线的交点 叫作垂足（如图中的O点）. A B C D O l m 垂直的表示法A BC D O 符号语言： 如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90° 时，AB⊥CD，垂足为O. ①判定：∵∠AOD=90°,（已知） ∴AB⊥CD.（垂直的定义） 符号语言： 反之，若直线AB与CD垂直,垂足为O，则∠AOD=90°. ②性质：∵ AB⊥CD ,（已知） ∴ ∠AOD=90° .（垂直的定义） (∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°) 垂线的基本性质与判定例1(1)如图1，若直线m、n相交于点O,∠1＝90°,则 ； (2)若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，则 ∠BOD =______； (3)如图2，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比 为1∶5，那么∠COA＝____,∠BOC的补角为 . O m n 1 B C AO m⊥n 90° 72° 162° 典例精析 图1 图2 你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂 直的直线吗？ 活动1： 如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相 垂直的直线吗？ 活动2：折一折，试一试 你能用纸折出两条互相垂直的直线吗?例2 如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC ，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和 ∠NOC的度数． 解：∵∠BOE＝∠NOE， ∴∠BON＝2∠EON＝40°， ∴∠NOC＝180°－∠BON ＝180°－40°＝140°， ∠MOC＝∠BON＝40°. ∵AO⊥BC， ∴∠AOC＝90°， ∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°， ∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.问题: (1)画已知直线l的垂线能画几条? (2)过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能 画几条? (3)过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能 画几条? 垂线的画法及基本事实二 A .B l.问题：这样画l的垂线可以画几条？ 1.放 2.靠 3.画 l O 如图，已知直线 l,作l的垂线. A 无数条l A B1.放 2.靠 3.移 4.画 如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线. 问题：这样画l的垂线可以画几条？ 一条l A B 1.放 2.靠 3.移 4.画 如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线. 根据以上操 作，你能得 出什么结论 问题：这样画l的垂线可以画几条？ 一条垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条 直线与已知直线垂直. 注意： 1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可 以在已知直线外； 2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指 唯一性. 总结归纳C D E l 点到直线的距离三 1.线段AB, AC, AD , AE谁最短？ 2.你能用一句话表示这个结论吗？ 说一说： 如图，从A点向已知直线 l 画一条垂直的线段和 几条不垂直的线段. B A 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂 线段最短.简单说成：垂线段最短. 线段AD的长度叫做点A到直线l的距离. 总结归纳 特别规定： D l A试一试： 在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如 何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由. m 垂线段最短1.过点P 向线段AB 所在直线引垂线，正确的是（ ） A B C D C 当堂练习2.如图，下列说法正确的是（ ） A.线段AB叫做点B到直线AC的距离 B.线段AB的长度叫作点A到直线AC的距离 C.线段BD的长度叫作点D到直线BC的距离 D.线段BD的长度叫作点B到直线AC的距离 A B C D D3.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能 判定两条直线垂直的是( ) A. 有两个角相等 B.有两对角相等 C. 有三个角相等 D.有四对邻补角 C4.如图, AC⊥BC, ∠C=90° ,线段AC、BC、CD中最短 的是 ( ) A. AC B. BC C. CD D. 不能确定 DA B C C5.如图，直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于E ，若∠CEF=58°，则∠BED的度数为 . C A B E F D 32°6.如图，AO⊥FD，OD为∠BOC的平分线，OE 为射线OB的反向延长线，若∠AOB=40°，求 ∠EOF、∠COE的度数． A F DO B C E 解：∵AO⊥OD且∠AOB=40°， ∴∠BOD=90°-40°=50°， ∴∠EOF=50°. 又∵OD平分∠BOC， ∴∠DOC=∠BOD=50°， ∴∠COE=180°-50°-50°=80°． 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是 直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另 一条直线的垂线，它们的交点叫垂足. 1.垂线的定义 2.垂线的画法 3.垂线的性质 (1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直, (2)垂线段最短. 4.点到直线的距离 课堂小结更多精彩视频内容，敬请关注微信公众号：我是好教师 微信扫描二维码下载更多资源