高中必修2数学第四章圆与方程课件ppt

第四章 圆与方程 圆的概念  1．定义：平面内到定点的距离等于_____的点的集 合叫做圆，其中定点叫_____，定长叫_____．  2．确定圆的基本条件 已知____和____可以确定一个圆． ____确定圆的位置， _____确定圆的大小． 定长 圆心 半径 圆心 半径 圆心 半径 圆心 半径 4.1.1 圆的标准方程 1.设圆的圆心是C(a,b),半径为r,则 圆的标准方程是_________________. (x-a)2+(y-b)2=r2 在坐标平面上，平面被圆分成三个部分：圆上的点，圆内的点及圆外的点，那么如何判 断点与圆的这三种位置关系呢？ 判断方法是由两点间的距离公式,求出该点到圆心的距离,再与圆的半径比较大小即可. 设点P(x0,y0)到圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心C的距离为d,则 点与圆的位置关系 (1)将所给的点P与圆心C的距离d跟半径r比较： 若|PC|＝r，则点M在圆C上； 若|PC|＞r，则点M在圆外； 若|PC|＜r，则点M在圆内． (2)可利用圆的标准方程来确定． 点P(m，n)在圆C上⇔___________________； 点P(m，n)在圆C外⇔___________________； 点P(m，n)在圆C内⇔___________________. (m－a)2＋(n－b)2＝r2 (m－a)2＋(n－b)2＞r2 (m－a)2＋(n－b)2＜r2 下表归纳点与圆的位置关系及判断方法 位置关系 判定方法 几何法：用 |MC|与r作比较 代数法：用圆的标准 方程来判定 点M在圆C上 |CM|＝r (m－a)2＋(n－b)2＝r2 点M在圆C外 |CM|＞r (m－a)2＋(n－b)2＞r2 点M在圆C内 |CM|＜r (m－a)2＋(n－b)2＜r2 2.求圆的标准方程的常用方法 (1)几何法 利用圆的几何性质,直接求出圆心和半径,代入圆的标准方程 得结果. (2)待定系数法 由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程 中的三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最 常用的方法,一般步骤是:先设方程,再列式,后求解. 题型一 求圆的标准方程 例1:求满足下列条件的圆的标准方程 (1)圆心在原点,半径为3; (2)圆心在点(-2,1),半径为 (3)经过点P(5,1),圆心在点(8,-3). 分析:(1)､(2)直接写圆的方程,(3)可根据两点间的距离公式求半径,再写 出圆的标准方程. 解:(1)∵圆心(0,0),半径为3, ∴圆的方程为x2+y2=9. (2)∵圆心(-2,1),半径 ∴圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5. (3) ∵圆的半径 又圆心为(8,-3), ∴圆的方程为(x-8)2+(y+3)2=25. 规律技巧:圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,有三个参数a,b,r, 只要求出a､b､r,这时圆的方程被确定,因此,确定圆的方程,需 要三个独立条件. 题型二 用待定系数法求圆的方程 例2:求圆心在直线2x-y-3=0上,且过点(5,2)和点(3,-2)的圆的方程. 分析:因为条件与圆心有直接关系,因此设圆的标准方程即可解决问题. ∴圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10. 解法2:∵圆过A(5,2),B(3,-2)两点, ∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上. 规律技巧:确定圆的方程需要三个独立条件,“选标准､定参数” 是解题的基本方法.其中,选标准是根据已知条件选恰当的圆 的方程的形式,进而确定其中三个参数. 题型三 点和圆的位置关系 例3:已知圆心C(3,4),半径r=5,求此圆的标准方程,并判断点 A(0,0),B(1,3)在圆上､圆外还是圆内. 解法1:所求圆的方程为(x-3)2+(y-4)2=25. ∵点A(0,0)与圆心C(3,4)的距离d=5, 而r=5,d=r,∴点A在圆上. 点B(1,3)与圆心C(3,4)的距离 ∴点B在圆内. 规律技巧:判断点与圆的位置关系,通常用两种方法,一种是利 用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判定.另一种方法是 把点P(x0,y0)代入圆的方程. 若(x-x0)2+(y-y0)2>r2,则点P在圆外, 若(x-x0)2+(y-y0)2=r2,则点P在圆上; 若(x-x0)2+(y-y0)20 1.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2① 明确了圆心C(a,b),半径r,把标准方程展开就可得圆的一般方 程: x2+y2+Dx+Ey+F=0② (其中D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2). 仅当D2+E2-4F>0时,方程②才表示一个圆. 2.求圆的方程,需知三个条件,知过不共线三点求圆的方程,用 一般式简单.知圆心和半径用标准形式简单. 题型一 圆的方程的判断 例1:判断下列方程是否表示圆,若是,化成标准方程. (1)x2+y2+2x+1=0; (2)x2+y2+2ay-1=0; (3)x2+y2+20x+121=0; (4)x2+y2+2ax=0. 分析:先将方程配方,化成圆的标准形式,然后再作出判断. 解:(1)原方程可化为(x+1)2+y2=0,它表示点(-1,0),不表示圆. (2)原方程可化为x2+(y+a)2=a2+1,它表示圆心在(0,-a),半径为 的圆,标准方程为x2+(y+a)2= (3)原方程可化为:(x+10)2+y2=-210⇔相交,Δ=0⇔相切,Δr;圆C与直线l相 切⇔d=r;圆C与直线l相交⇔d0. 故直线l的方程为x-2y+5=0,或2x-y-5=0. 解法2:如右图所示,OH是圆心到直线l的距离,OA是圆的半径 ,AH是弦长AB的一半, 在Rt△AHO中,OA=5, 规律技巧:关于弦长问题,通常有两种方法,其一称为代数法, 即将直线方程代入圆的方程,消去一个变量y(或x),利用韦达 定理,代入两点间距离公式求解.其二称为几何法,即半弦长､ 弦心距､半径组成直角三角形,利用直角三角形求解.本例说明 几何法比代数法简便. 变式训练3:求直线l:3x+y-6=0被圆x2+y2-2y-4=0截得的弦长. 消去y得x2-3x+2=0, 解得x1=1,x2=2,∴y1=3,y2=0. ∴两交点坐标A(1,3),B(2,0), ∴弦长 4.2.2 圆与圆的位置关系 圆与圆的 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 公共点个 数 _____ _____ ______ _____ ____ ____ ___ ____ ____ ___ ____ ____ 1．圆与圆的位置关系 2.圆与圆位置关系的判定 几何方法：设两圆半径分别为r1，r2，圆心距离 为d，则 两圆位 置关系 图形情况 d与r1、r2的关系 外离 _________d＞r1＋r2 外切 __________ 相交 _____________ ___ d＝r1＋r2 |r2－r1|＜d＜r1＋r2 内切 ____________ 内含 ____________ d＝|r2－r1| d＜|r1－r2| 一般地,设圆C1和C2的方程分别为 (x-x1)2+(y-y1)2=r2 1, (x-x2)2+(y-y2)2=r2 2. 圆心分别为C1(x1,y1),C2(x2,y2),半径分别为r1,r2,两圆圆心距 d=|C1C2|= 那么,当d>r1+r2时,两圆________. 当d=r1+r2时,两圆________. 当|r1-r2|