必修2数学2.3.2平面与平面垂直的判定课件ppt

2．3.2 平面与平面垂直的判定 一、阅读教材P67～69，回答： 1．从一条直线出发的两个 所组成的图形叫 做二面角，这条直线叫做 ，这两个半平面叫做 ．棱为l，面分别为α、β的二面 角记作： . 2．在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以O为垂 足，在半平面α和β内分别作 ， 则 叫做二面角的平面角． 二面角的大小用其 来度量．其取值范围 为 ． 半平面 棱 二面角的面 α－l－β 垂直于棱l的射线OA和OB 射线OA和OB构成的∠AOB 平面角 [0°，180°] 3．平面角是 的二面角叫做直二面角．如果 两个相交平面所成的二面角是直二面角，就称这两个平面 ． 4．二面垂直的判定 ①平面角是直角 ②判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条 ，则这两 个平面互相垂直． 直角 互相垂直 垂线 二、解答下列问题 1．过平面α外一点P，作与α垂直的平面可以作出 个，所作的垂直于α的平面有什么共同特点？ ． 无数 都经过过P与α垂直的直线 2．直线l⊄平面α，过l能否作出平面β⊥α？若能作出， 可作几个？ (1)l⊥α时，能作无数个． (2)l与α斜交时，只能作一个． 3．已知空间四边形ABCD中，AC＝AD，BC＝BD， 且E是CD的中点，求证： (1)平面ABE⊥平面BCD； (2)平面ABE⊥平面ACD. [解析] 如图．∵AC＝AD，BC＝BD，E是CD的中 点． ∴AE⊥CD，BE⊥CD， ∴CD⊥平面ABE， ∵CD⊂平面BCD，CD⊂平面ACD，∴平面ABE⊥ 平面BCD，平面ABE⊥平面ACD. 本节学习重点：二面角的概念和面面垂直的判定． 本节学习难点：①二面角的找法． ②综合应用． 1．二面角的概念是平面几何中角的概念的扩展和 延伸，现将二者比较如下表. 角 二面角 图形 定义 从平面内一点出发的 两条射线所组成的图 形 从空间一直线出发的两 个半平面所组成的图形 表示法 由射线——点(顶点)—— 射线构成，表示为 ∠AOB 由半平面——线(棱)——半 平面构成，表示为二面 角α－a－β 2.由定义可知，一个平面垂直于二面角α－l－β的棱l ，且与两个半平面的交线分别是射线OA、OB，O为垂足， 则∠AOB就是二面角α－l－β的平面角．二面角的平面角的 大小与棱上一点位置的选取无关． 3．计算二面角的关键是作出二面角的平面角，其 作法主要有： (1)利用二面角平面角的定义，即在棱上任取一点， 然后分别在两个面内作棱的垂线，则两垂线所成的角为二 面角的平面角． (2)利用棱的垂面，即棱的垂面与两个半平面的交线 所成的角是二面角的平面角． 4．求二面角的思路是“一作、二证、三算”． [例1] 如图所示，已知△ABC中，∠ABC＝90°，P 为△ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC.求证平面PAC⊥ 平面ABC. [分析] 设P在平面ABC内射影为O，∵PA＝PB＝ PC，∴OA＝OB＝OC，∴O为Rt△ABC的外心，即AC中点 ． [证明] 取AC中点O，连接PO，OB.因为AO＝OC， PA＝PC，所以PO⊥AC.因为∠ABC＝90°，所以OB＝OA. 又PB＝PA，PO＝PO，所以△POB≌△POA，所以∠POB＝ ∠POA，即PO⊥OB.所以PO⊥平面ABC.因为PO⊂平面PAC ，所以平面PAC⊥平面ABC. 已知Rt△ABC中，AB＝AC＝1，AD是斜边BC上的 高，以AD为折痕将△ABD折起，使∠BDC成直角． 求证：(1)平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面 BDC； (2)∠BAC＝60°. [证明] (1)如图(1)，∵AD⊥BC， ∴折起后，AD⊥BD，AD⊥DC， ∴AD⊥平面BDC. ∵平面ABD和平面ACD都经过AD， ∴平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC. [例2] 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H 分别为棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点，O为AC与BD的交 点，求证： (1)EG∥平面BB1D1D； (2)平面BDF∥平面B1D1H； (3)A1O⊥平面BDF； (4)平面BDF⊥平面AA1C. (2)B1D1∥BD，且B1D1与BD分别为平面BDF外与平 面BDF内的直线，∴B1D1∥平面BDF， 又由O1H∥AC1，OF∥AC1， ∴O1H∥OF，而OF⊂平面BDF，O1H⊄平面BDF， ∴O1H∥平面BDF， 又B1D1交O1H于O1点， ∴平面BDF∥平面B1D1H. (4)由(3)知，A1O⊥平面BDF， 而A1O在平面AA1C上， ∴平面BDF⊥平面AA1C. [点评] 线线、线面、面面三者之间的关系如下所 示： 近几年高考立体几何题注重融推理与运算于一体， 论证中有运算，运算中有概念的准确理解和定理的正确运 用，推理与运算交互为用，相辅相成．本题第(3)问就是一 典型范例. [例3] 三棱锥A－BCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝a ，对角线AC＝a，BD＝ a，求二面角A－BD－C的大小 ． [分析] 据二面角的平面角定义，应在两个面ABD 与BCD内过棱BD上一点作棱BD的垂线，据题设条件AB＝ AD，BC＝CD，只要取BD中点O，即可得到垂线，然后通 过解三角形求出角的大小． [解析] 取BD的中点为O，分别连AO、CO ∵AB＝AD，BC＝CD ∴AO⊥BD，CO⊥BD ∴∠AOC为二面角A－BD－C的平面角 ∴OA2＋OC2＝AC2 ∴∠AOC＝90° 即二面角A－BD－C的大小为90°. 总结评述：求二面角的大小，一般先作出二 面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出 ∠AOC为二面角A－BD－C的平面角，通过解∠AOC所在 的 三 角 形 求 得 ∠AOC， 其 解 题 过 程 为 ： 作 ∠AOC→证 ∠AOC是二面角的平面角→计算∠AOC，简记为“作、证、 算”． 平面P内有一个圆，直径为AB，过A作SA⊥平面P， C为 上任意一点，连结SB、SC， (1)求证：平面SAC⊥平面SBC； (2)若A在SB、SC上的射影分别为E、F， 求证：∠AEF为二面角C－SB－A的平面角． [解析] (1)∵SA⊥平面P，BC⊂平面P，∴SA⊥BC. 又AB为圆的直径，故BC⊥AC， 因此BC⊥平面SAC，可得平面SAC⊥平面SBC. (2)∵BC⊥平面SAC，AF⊂平面SAC，∴BC⊥AF， 又∵AF⊥SC，SC∩BC＝C， ∴AF⊥平面SBC， ∴AF⊥SB.又AE⊥SB，∴SB⊥平面AEF. ∴∠AEF为二面角C－SB－A的平面角． [例4] 如图：一山坡的坡面与水平面成30°的二面 角，坡面上有一直道AB，它和坡脚的水平线成30°的角，沿 这山路行走20米后升高了多少米？ [解析] 如图，作BH⊥水平面，垂足为H，过H作 HC⊥坡 脚 线 ， 垂 足 为 C， 连 BC， 则 ∠BAC＝ 30°， 由 BH⊥AC，HC⊥AC知，AC⊥平面BHC，从而BC⊥AC ∴∠BCH为坡面与水平面所成二面角的平面角 ∴∠BCH＝30° 在Rt△ABC中和Rt△BCH中， ∵AB＝20 ∴BC＝10，∴BH＝5(米)， 答：升高了5米． [例5] 如图，过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面 ABCD，设PA＝AB＝a，求平面PAB和平面PCD所成二面角 的大小． [分析] 由CD∥AB可知，CD∥平面PAB，设平面 PCD∩平面PAB＝l，则CD∥l，∴AB∥l，故只须在平面 PAB内过P作PQ∥AB， 则PQ为二面角的棱，由PA⊥平面ABCD知PA⊥AB ， 又AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，即知PQ⊥平面PAD ，∴∠APD为二面角的平面角． [解析] 过P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴CD∥PQ ∴PQ为平面PCD与平面PAD所成二面角的棱， ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB， 又AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD， 又∵PQ∥AB，∴PQ⊥平面PAD， ∴∠APD为二面角D－PQ－A的平面角． ∵AD＝AB＝PA，∠PAD＝Rt∠，∴∠APD＝45°， 即平面PAB与平面PCD所成二面角大小为45°. 总 结 评 述 ： 此 题 易 证 AB⊥平 面 APD， ∵PQ∥AB，∴PQ⊥平面APD.PA与PD是垂直于二面角的 棱PQ的平面与二面角的两个面PAB和PDC的交线，这两条 交线所成的角，就是二面角的平面角．也就是说，作一个 平面与二面角的棱垂直，这个平面与二面角的两个面的两 条交线所成的角为二面角的平面角或其补角． 解法探究：如下图将原图形补成正方体ABCD－ PQRS，那么本例的解题途径能更简捷地得到，这种补形法 是解决空间问题的一种重要方法． [例6] 二面角α－l－β与γ－a－δ满足平面α⊥平面γ ，平面β⊥平面δ，且两二面角大小分别为θ1和θ2，则θ1和θ2 的关系为________． [错解] 在如图(1)位置时，θ1与θ2互补；在如图(2) 位置时，θ1与θ2相等，故填θ1＝θ2或θ1与θ2互补． [辨析] 将平面几何中的命题(“如果一个角的两边 分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补”) 错误类比到立体几何中，事实上，它在立体几何中是不成 立的． 满足条件的平面位置关系还有其它情形．如图(3)， 只要直线a⊥平面α，且平面β⊥平面δ，过a任作一个平面γ 均适合条件，由于二面角γ－a－δ的大小可随意改变，因此， 满足题设条件的两个二面角的平面角的大小关系是不确定 的． [正解] θ1与θ2的大小关系不能确定 只要直线a⊥平面α，且直线l⊥平面δ，过a任作一个 平面γ均适合条件，由于二面角γ－a－δ的大小可随意改变， 因此，满足题设条件的两个二面角的平面角的大小关系是 不确定的． 一、选择题 1．二面角是指 (  ) A．一个平面绕这个平面内的一条直线旋转所组成 的图形 B．一个半平面与另一个半平面组成的图形 C．从一条直线出发的两个半平面组成的图形 D．两个相交平面组成的图形 [答案] C 2．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中 互相垂直的平面有 (  ) A．2对   B．3对 C．4对 D．5对 [答案] D [解析] 平面PAD和平面AC、平面PAB和平面AC、 平面PAD和平面PAB、平面PAD和平面PDC、平面PAB和平 面PBC，故选D. 二、填空题 3．下列四个命题中，正确的命题为________(填序 号)． ①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ ②α∥β，β∥γ，则α∥γ ③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ ④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ [答案] ①② 三、解答题 4． 在 正 方 体 ABCD－ A1B1C1D1中 ， 求 证 ： 平 面 ACD1⊥平面BDD1B1. [解析] ∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC， 又 ABCD为 正 方 形 ， ∴BD⊥AC， ∴AC⊥平 面 BDD1B1 又AC⊂平面AD1C，∴平面AD1C⊥平面BDD1B1. 5．(09·江苏文)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中， E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C. 求证：(1)EF∥平面ABC； (2)平面A1FD⊥平面BB1C1C. [解 析 ]  (1)∵E， F分 别 是 A1B， A1C的 中 点 ， ∴EF∥BC， 又EF⊄面ABC，BC⊂面ABC，∴EF∥平面ABC. (2)∵直三棱柱ABC－A1B1C1， ∴BB1⊥平面A1B1C1，∴BB1⊥A1D，又A1D⊥B1C， ∴A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD， ∴平面A1FD⊥平面BB1C1C.