直 线 的倾斜角 斜 率
2
问题情境 直线—最简单的几何图形
飞逝的流星沿不同
的方向运动
在空中形成美丽的直线
问题情境
确定直线的要素
问题1：(1) _______确定一条直线.两点
(2) 过一个点有________条直线.无数条
确定直线位置的要素除了点之外,还有
直线的方向,也就是直线的倾斜程度.
. . .
x
y
o
y
xo
问题1：如何确定一条直线在直角坐标
系的位置呢？
两点或一点和方向
问题2：如果已知一点还需附加什么条件，
才能确定直线？
一点和方向
问题3：如何表示方向？
用角
问题引入解决本节第一问题
一、直线的倾斜角
1、直线倾斜角的定义：
当直线 L 与X轴相交时，我们取X轴作为基准，
X轴正向与直线L 向上方向之间所成的角叫做直线
的倾斜角
注意： (1)直线向上方向；
(2)轴的正方向。x
0
y
例1.下列四图中，表示直线的倾斜角的是( )
练习巩固倾斜角的概念：
A B
C D
A
x
y
o
l1 l2 l3
想一想
例2.看看这三条直线，它们倾斜角的大小
关系是什么？设 、 、
分别为 、 、
p
o
y
x
y
p
o x
p
o
y
x
p
o
y
x
规定：当直线和x轴平行或重合时，
它的倾斜角为0°
2、直线的倾斜角范围的探索
由此我们得到直线倾斜角α的范围为：
)180,0[ ooÎa
想一想
你认为下列说法对吗？
1、所有的直线都有唯一确定的倾斜
角与它对应。
2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。
对
错
3、直线倾斜角的意义
体现了直线对轴正方向的倾斜程度
在平面直角坐标系中，每一条直线都有
一个确定的倾斜角。
倾斜角相同能确定
一条直线吗？
相同倾斜角可作无数
互相平行的直线
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问题情境
楼梯的倾斜程度用坡度来刻画
1.2m
3m 3m
2m
坡度= 高度
宽度 坡度越大，楼梯越陡．
12
级宽
高级
建构数学 直线倾斜程度的刻画
高度
宽度
直线
x
y
o
P
Q
M
直线的倾斜程度=
ＭＰ
ＱＭ
类比思想
3、探究：由两点确定的直线的斜率
如图，当α为锐角时，
能不能构造一
个直角三角形
去求？
锐角
如图，当α为钝角是， 钝角
x
y
o
(3)
y
o x(4)
1、当 的位置对调时， 值又如何呢？
当直线平行于y 轴，或与y 轴重合时，上述斜率公式还适用
吗？为什么？
已知直线上两点 ，运用上述公式计算
直线 斜率时，与 两点坐标的顺序有关吗？
16
数学应用
例1：如图，直线 都经过点 ，又 分
别经过点 ,讨论
斜率的是否存在,如存在,求出直线的斜率.
x
y
ol1 l2
l3
l4
解: 直线l1的斜率 k1=
k2=
k3=
直线l4的斜率不存在
直线l2的斜率
直线l3的斜率
P
Q1
Q2
Q3
Q4
直线斜率的计算
K1=1 K2=-1
K3=0
斜率不存在
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纵坐标的
增量
x
y
o
已知两点 P(x1，y1)， Q(x2，y2)，
如果 x1≠x2，则直线 PQ的斜率
为：
k ＝
建构数学 直线斜率的定义
横坐标的
增量
请同学们任意给出两点的坐标,
并求过这两点的直线的斜率.
形 数
2 3
2o
2-
y
x
2、直线的斜率
定义：直线倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。斜率
通常用k表示，即：
倾斜角α不是90°的直线都有斜率，并且倾斜角不同，直线的斜率也不
同．因此，可以用斜率表示直线的倾斜程度．
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问题3
：
对于一条与x轴不垂直的定直线
而言,直线的斜率是定值吗?
是定值,定直线上任意两点确
定的斜率总相等
从上可以看出直线的倾斜角与斜率之间的关系:
直线
形状
平行于
x 轴
第一象限 垂直
于x轴
第二象限
的
大小
的
范围
的
增减性
k=0
无
k>0
递增
不存在
无
k0、k2时，k>0
当 mk1
3.直线的倾斜角为α，则直线的斜率
为tanα？
4.任意直线有倾斜角，则任意直线都
有斜率？
28
数学应用
如果直线l上一点P沿x轴方向向右平移2个单
位,再沿y轴方向向上平移4个单位后仍在直
线l上,那么该直线的斜率为多少?
问题6：
斜率为2
问题7：直线l的斜率为2,将l向左平移1个单位得到
直线l1,则l1的斜率为多少?
斜率为2
问题8：平行直线的斜率之间有怎样的关系?
斜率相等或斜率都不存在
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斜率为2的直线，经过点
(3,5),(a,7),
(-1，b)三点，则a,b的值为( )A、a=4,b=0 B、a=-4,b=-3
C、a=4,b=-3 D、a=-4,b=3
C
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已知三点A(-3,-3),B(-1,1),C(2,7),
求KAB，KBC
KAB=2 KBC=2
问题9：如果KAB=KBC,那么A、B、C三点有怎样的关系？
A、B、C三点共线
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判断下列三点是否在同一直线上
(1) A(0,2), B(2,5), C(3,7)
(2) A(-1,4), B(2,1), C(-2,5)
如果三点A(1,1)、B(3,5)、C(-
1,a)在一条直线上,求a的值
(a=-3)
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求过点M(0,2)和N(2,3m2+12m+13)(m∈R)
的直线l的斜率k的取值范围。
问题10：直线斜率的大小与直线的倾斜程
度有什么联系？(课后研究)
解: 由斜率公式得直线l 的斜率
33
3.平面解析几何的本质是 用代数方法
研究图形的几何性质，体现了数形结
合的重要数学思想。
1.两个概念—直线的斜率、倾斜角；
2.两个问题—----
（1）已知直线上两点如何求斜率；
（2）已知一点和斜率如何画出直线。
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难点展示：
例题一：直线 l 过点M(-1,1)且与以P(-
2,2)Q(3,3)为两端点的线段PQ有公共点,
求直线 l 的斜率的取值范围。
例2。已知直线的斜率K的变化范围为（ –1，1]，
求直线的倾斜角的取值范围。
分析：因为直线的斜率正负不同，直线的倾斜角范围也不
同，因此，应分斜率为负值和非负值两种情况讨论。
当K∈ （ –1，0）时,
当K∈ [0，1] 时，
解： 直线斜率K的变化范围（ –1，1]=（ –1，0）∪ [0，1]，
所以直线的倾斜角范围为
练习
直线 的倾斜角 =30°，直线 ，
求 , 的斜率。
解： 的斜率为
的倾斜角为
的斜率为o
x
y
练习
解:
推导二:
练习：已知直线l的一个方向向量
解：
，求直线的斜率。
则直线的斜率为 :
例1 如图 ，已知 ，求直线
AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还
是钝角．
解：直线AB的斜率
直线BC的斜率
直线CA的斜率
由 及 知，直线AB 与CA的倾斜角均为锐
角；由 知，直线BC的倾斜角为钝角．
求经过已知两点的直线的斜率和倾斜角：
方法：先用经过两点的直线的斜率公式求
斜率， 再求倾斜角。
由 及 知，直线AB 与CA的倾斜角均为锐
角；由 知，直线BC的倾斜角为钝角．
由 及 知，直线AB 与CA的倾斜角均为锐
角；由 知，直线BC的倾斜角为钝角．
例2
解:
已知点P(0,-2),A(-1,2),B(2,3)经过点P的直线l
与线段AB有公共点时,求直线l的斜率k的取值范围
.
O x
y
.
..
P
A
B已知三点A(2,3),B(a, 4),C(8, a)三
点共线,
求a 的值.
直线L的倾斜角是连接（3，-5），（0
，-9）两点的直线的倾斜角的两倍，
求直线L的斜率。
已知直线 和 的斜率分别是 和 ，求它们的倾斜
角及确定两条直线的位置关系。
由图可知
解:
Y
O X
1、直线的倾斜角的定义
2、直线的斜率的定义
3、两点间斜率公式
当直线 l 与x轴相交时，
我们取x轴作为基准，
x轴正向与直线 l 向上
方向之间所成的角α
叫做直线 l 的倾斜角．
一条直线的倾斜角 的
正切值叫做这条
直线的斜率.
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