2.3.2平面与平面垂直的判定ppt课件

第 二 章 点、 直线、 平面 之间 的位 置关 系 2.3 直线、 平面 垂直 的 判定 及其 性质 课前预习 ·巧设计 名师课堂 ·一点通 创新演练 ·大冲关 读教材·填要点 小问题·大思维 考点一 考点二 课堂强化 课下检测 2.3.2 平面 与平 面垂 直的 判定 1．二面角 (1)定义：从一条直线出发的 所组成的图 形叫做二面角(如图)． 叫做二面角的棱， 叫做二面角的面． (2)记法：棱为AB、面分 别为α、β的二面角，记作二面 角 ，在α，β内，分别取点P、Q时，可记作 二面角 ；当棱记为l时，可记作二面角 或 . 两个半平面 直线AB 半平面α和β α－AB－β P－AB－Q α－l－β P－l－Q (3)二面角的平面角： ①定义：在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，如 图所示，以点O为垂足，在 分别作垂直 于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫 做 ． ②直二面角：平面角是 的二面角． 半平面α和β内 二面角的平面角 直角 2．面面垂直的定义 (1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二 面角是 ，就说这两个平面互相垂直． (2)画法： 记作： . 直二面角 α⊥β 3．两平面垂直的判定 (1)文字语言：一个平面过另一个平面的 ， 则这两个平面垂直． (2)图形语言：如图． (3)符号语言：AB⊥β， AB∩β＝B，AB⊂α⇒α⊥β. 垂线1．二面角的平面角的大小与棱上取的点的位置有关吗？ 提示：二面角的平面角的大小是唯一确定的，与棱上 点的位置无关． 2．从二面角的平面角的定义看其构成有几个要素？ 提示：其构成有三要素，即：这个角的顶点在棱上； 角的两边分别在两个平面内，这两边是否都与棱“垂直”． 3．两个平面相交，可以构成几个二面角？其大小有什么关系？ 提示：构成四个二面角，其中相对的两个二面角 大小相等，相邻的两个二面角大小互补． [例1]　如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，求 二面角D1－BC－D的平面角的大小． [自主解答]　 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BC⊥CD，BC⊥CC1， CD∩CC1＝C，∴BC⊥平面D1C. 又D1C⊂平面D1C， ∴BC⊥D1C，∴∠D1CD是二面角D1－BC－D的平面角． 在△D1CD中，D1D⊥CD，D1D＝CD， ∴∠D1CD＝45°.∴二面角D1－BC－D的平面角的大小 是45°. 1．求二面角的步骤是: (1)作出二面角的平面角； (2)证明该角就是二面角的平面角； (3)计算该角的大小，简记为作、证、算． 2．常用作二面角平面角的方法： 方法一：(定义法)在二面角的棱上找一特殊点，在两个 半平面内分别作垂直于棱的射线． 如图①，∠AOB为二面角α－a－β的平面角． 方法二：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面， 该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交 线所成的角，即为二面角的平面角． 如图②，∠AOB为二面角α－l－β的平面角． 方法三：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一 个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可 找到二面角的平面角或其补角． 如图③，∠AFE为二面角A－BC－D的平面角．1.如图所示，在四面体ABCD中，△ABD、△ACD、 △BCD、△ABC都全等，且AB＝AC＝，BC＝2.求二 面角 A－BC－D的大小． 解：取BC的中点E，连接AE、DE. ∵AB＝AC， ∴AE⊥BC. 又∵△ABD≌△ACD，AB＝AC，∴DB＝DC. ∴DE⊥BC.∴∠AED为二面角A－BC－D的平面角．又∵△ABC≌△DBC，且△ABC是以BC为底的等腰 三角形． ∴AD2＝AE2＋DE2，∴∠AED＝90°， 故所求二面角的平面角的大小为90°. [例2]　如图，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝ ∠CSA＝60°， 又SA＝SB＝SC，求证：平面ABC⊥平面 SBC. [自主解答]　法一：利用定义证明． ∵∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC， ∴△ASB和△ASC是等边三角形，则有SA＝SB＝SC ＝AB＝AC，令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC 的等腰三角形．取BC的中点D，连接AD、SD， 则AD⊥BC，SD⊥BC， ∴∠ADS为二面角A－BC－S的平面角．在△ADS中， ∵SD2＋AD2＝SA2， ∴∠ADS＝90°， 即二面角A－BC－S为直二面角， 故平面ABC⊥平面SBC.法二：利用判定定理． ∵SA＝AB＝AC， ∴点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心． ∵△BSC为直角三角形， ∴A在△BSC上的射影D为斜边BC的中点． ∴AD⊥平面SBC. 又∵平面ABC过AD， ∴平面ABC⊥平面SBC. 1．证明平面与平面垂直的方法: (1)利用定义：证明二面角的平面角为直角； (2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另 一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直． 2．根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上 是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用 判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用 方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与 难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．2.如图所示，把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至 △ABD的位置，使CD＝AC，求证：平面ABD⊥平 面ABC.证明：法一：取AB的中点O，如图所示，连接OD，OC. ∵AD＝DB，∴DO⊥AB. 又△ABD≌△ABC，又AB⊂平面ABC，OC⊂平面ABC，AB∩OC＝O， ∴DO⊥平面ABC. 又DO⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面ABC. 法二：取AB的中点O，连接OD，OC， 则有OD⊥AB，OC⊥AB，即∠COD是二面角C－AB－D 的平面角． 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面 ABCD，四边形ABCD是正方形，且PA＝2AD，二面角 P－CD－A的平面角为θ，则tan θ＝__________. [错因]　错认为∠PCA是二面角P－CD－A的平面角， 其实PC、AC与二面角P－CD－A的棱CD不垂直．[答案]　2