2.3.1直线与平面垂直的判定ppt课件

      以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认 识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.1. 直线与平面垂直2.直线和平面所成的角   3.二面角的有关概念4.平面与平面垂直[思考探究] 　　垂直于同一平面的两平面是否平行？  提示：垂直于同一平面的两平面可能平行，也可能相交.1.直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β的位置关系是   (　　)     A.b⊥β　　　　　　　　　   B.b∥ β     C.b⊂ β                                          D.b⊂β或b∥ β 解析：由垂直和平行的有关性质可知b⊂ β 或b∥ β. 答案：D2.(文)已知直线a和两个平面α，β，给出下列四个命题：     ①若a∥α，则α内的任何直线都与a平行；     ②若a⊥α，则α内的任何直线都与a垂直；     ③若α∥β，则β内的任何直线都与α平行；     ④若α⊥β，则β内的任何直都与α垂直.     则其中                                                                               (　　)     A.②、③为真                         B.①、②为真     C.①、④为真                          D.③、④为真解析：若a∥α，则α内的无数直线都与a平行，但不是任意 一条，即①不正确；若a⊥α，则α内的任何直线都与a垂直， 即②正确；若α∥β ，则β内的任何直线都与α平行，即③ 正确；若α⊥ β ，则β内有无数条直线都与α垂直，但不是 任意一条，即④不正确. 综上可得②、③为真，故应选A. 答案：A(理)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C与对角面DD1B1B 所成角的大小是                                                             (　　) A.15°                                                      B.30° C.45°                                                      D.60°解析：如图所示，连结AC交BD 于O点，易证AC⊥平面DD1B1B， 连结B1O，则∠CB1O即为B1C与 对角面所成的角，设正方体边长为a，则B1C＝    a，CO＝     a，∴sin∠CB1O＝      . ∴∠CB1O＝30°. 答案：B3.已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列命题：     ①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；     ③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.     其中正确的命题是                                               (　　)      A.①与②                                 B.③与④     C.②与④                                  D.①与③解析：对①，l⊥α，α∥β ⇒l⊥ β ， 又∵m⊂ β ，∴l⊥m，∴①正确； 对②，α⊥ β ，l⊥α，则l∥β或l⊂ β ，∴l不一定与m平 行， ∴②错误； 对③，∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α， 又m⊂ β ，∴α⊥ β ，∴③正确；④错误. 答案：D4.在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥       平面ABC，PC＝4，M是AB上一个动点，则PM的最小值       为　　　　.解析：∵PC⊥平面ABC，CM⊂平面ABC， ∴PC⊥CM，∴PM＝                        ＝ 要使PM最小，只需CM最小，此时CM⊥AB， ∴CM＝                ＝2     ，∴PM的最小值为2     . 答案：25.如图，平面ABC⊥平面BDC，     ∠BAC＝∠BDC＝90°，且     AB＝AC＝a，则AD＝　　　　　.解析：取BC中点E，连结ED、AE， ∵AB＝AC，∴AE⊥BC. ∵平面ABC⊥平面BDC， ∴AE⊥平面BCD. ∴AE⊥ED. 在Rt△ABC和Rt△BCD中， AE＝ED＝      BC＝      a， ∴AD＝                      ＝a. 答案：a1.证明直线和平面垂直的常用方法： (1)利用判定定理. (2)利用平行线垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α). (3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β). (4)利用面面垂直的性质.     当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线，       常用来证明线线垂直.2.直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的        判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂直       的相互转化，即线线垂直⇒线面垂直⇒线线平行⇒线       面平行.               (2009·福建高考改编)如图， 平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°， AB＝2，AD＝4.将△CBD沿BD折起 到△EBD的位置，使平面EBD⊥平 面ABD. 求证：AB⊥DE.[思路点拨][课堂笔记]　证明：在△ABD中， ∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°， ∴BD＝                                                             ＝2    . ∴AB2＋BD2＝AD2，∴AB⊥BD. 又∵平面EBD⊥平面ABD， 平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD， ∴AB⊥平面EBD. ∵DE⊂平面EBD，∴AB⊥DE.本例中，ED与平面ABD垂直吗？ 解：由例1知，AB⊥BD， ∵CD∥AB，∴CD⊥BD，从而DE⊥BD. 又∵平面EBD⊥平面ABD，ED⊂平面EBD， ∴ED⊥平面ABD.1.证明平面与平面垂直的方法主要有： (1)利用定义证明.只需判定两平面所成的二面角为直二面角         即可. (2)利用判定定理.在审题时，要注意直观判断哪条直线可能          是垂线，充分利用等腰三角形底边的中线垂直于底边，        勾股定理等结论.2.关于三种垂直关系的转化可结合下图记忆.               (2009·江苏高考)如图，在 三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别 是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上， A1D⊥B1C.求证： (1)EF∥平面ABC； (2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.[思路点拨][课堂笔记]　(1)因为E、F分别是A1B、A1C的中点， 所以EF∥BC， 又EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC. 所以EF∥平面ABC. (2)因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱， 所以BB1⊥平面A1B1C1， 所以BB1⊥A1D，又A1D⊥B1C，B1C∩BB1＝B1. 所以A1D⊥平面BB1C1C， 又A1D⊂平面A1FD， 所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.         两个平面垂直的性质定理，可以作为直线和平面垂 直的判定定理，当条件中有两个平面垂直时，常添加的 辅助线是在一个平面内作两平面交线的垂线.              如图①，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB， ∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿对角线BD折起，记 折起后点的位置为P，且使平面PBD⊥平面BCD，如图②.(1)求证：平面PBC⊥平面PDC； (2)在折叠前的四边形ABCD中，作AE⊥BD于E，过E作EF⊥BC 于F，求折起后的图形中∠PFE的正切值.[思路点拨][课堂笔记]　(1)证明：折叠前，在四边形ABCD中，AD∥BC ，AD＝AB，∠BAD＝90°， 所以△ABD为等腰直角三角形.又因为∠BCD＝45°，所以 ∠BDC＝90°. 折叠后，因为面PBD⊥面BCD， CD⊥BD，所以CD⊥面PBD. 又因为PB ⊂面PBD，所以CD⊥PB. 又因为PB⊥PD，PD∩CD＝D，所以PB⊥面PDC. 又PB⊂面PBC，故平面PBC⊥平面PDC.(2)AE⊥BD，EF⊥BC，折叠后的位置关系不变， 所以PE⊥BD. 又面PBD⊥面BCD，所以PE⊥面BCD， 所以PE⊥EF. 设AB＝AD＝a，则BD＝     a，所以PE＝      a＝BE. 在Rt△BEF中， EF＝BE·sin45°＝      a×      ＝      a. 在Rt△PFE中，tan∠PFE＝        ＝        ＝    .          高考中对直线与平面所成的角及二面角的考查是热点 之一，有时在客观题中考查，更多的是在解答题中考查. 　　求这两种空间角的步骤： 根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作(找)出该角， 再解三角形求出该角，步骤是作(找)―→认(指) ―→求.在客观题中，也可用射影法： 设斜线段AB在平面α内的射影为A′B′，AB与α所成角为θ， 则cosθ＝               . 设△ABC在平面α内的射影三角形为△A′B′C′，平面ABC与α所 成角为θ，则cosθ＝             .              (2010·安阳模拟)三棱锥P－ ABC中，PC、AC、BC两两垂直， BC＝PC＝1，AC＝2，E、F、G分 别是AB、AC、AP的中点. (1)证明：平面GFE∥平面PCB； (2)求二面角B－AP－C的正切值.[思路点拨][课堂笔记]　(1)证明：因为E、F、G分别是AB、AC、 AP的中点， 所以EF∥BC，GF∥CP. 因为EF，GF⊄平面PCB. 所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB. 又EF∩GF＝F， 所以平面GFE∥平面PCB.(2)∵BC⊥PC，BC⊥CA，且PC∩AC＝C， ∴BC⊥平面PAC. 过点C作CH⊥PA于H点， 连结HB，则易证HB⊥PA， ∴∠BHC即为二面角B－AP－C的平面角. 在Rt△ACP中，AP＝                       ＝    ，HC＝         ＝        (等积). ∴tan∠BHC＝       ＝         ＝      .    　     近年来开放型问题不断在高考试题中出现， 这说明高考对学生的能力要求越来越高，这也符合 新课标的理念，因而在复习过程中要善于对问题进 行探究.立体几何中结合垂直关系，设计开放型试 题将是新课标高考命题的一个动向.　[考题印证]      (2009·浙江高考)(12分)如图， 平面PAC⊥平面ABC，△ABC是 以AC为斜边的等腰直角三角形， E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.      (1)设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；      (2)证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求 点M到OA、OB的距离.       【证明】　(1)如图，取PE的 中点为H，连结HG、HF.┄┄(1分) 因为点E，O，G，H分别是PA， AC，OC，PE的中点， ┄┄┄┄(2分)         所以HG∥OE，HF∥EB.         因此平面FGH∥平面BOE.         因为FG在平面FGH内，        所以FG∥平面BOE.         ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(4分)           (2)在平面OAP内，过点P作 PN⊥OE，交OA于点N，交OE于 点Q.连结BN，过点F作FM∥PN， 交BN于点M.┄┄┄(5分)            下证FM⊥平面BOE.            由题意，得OB⊥平面PAC，            所以OB⊥PN， 又因为PN⊥OE，所以PN⊥平面BOE. 因此FM⊥平面BOE.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(7分)在Rt△OAP中， OE＝     PA＝5，PQ＝      ， cos∠NPO＝       ＝      ， ON＝OP·tan∠NPO＝      ＜OA， 所以点N在线段OA上.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(9分) 因为F是PB的中点，所以M是BN的中点.┄┄(10分) 因此点M在△AOB内，点M到OA，OB的距离分别为      OB ＝4，    ON＝      .┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(12分)　     [自主体验]          如图所示，已知长方体ABCD－ A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，E为 线段AD1的中点，F为线段BD1的中点.         (1)求证：EF∥平面ABCD；         (2)设M为线段C1C的中点，当         的比值为多少时， DF⊥平面D1MB，并说明理由解：(1)证明：∵E、F分别是 AD1和BD1的中点， ∴EF∥AB，又EF⊄平面ABCD， AB⊂平面ABCD， ∴EF∥平面ABCD.(2)设        ＝λ(λ＞0)，AD＝a， 则DD1＝λa，连结MF. 若DF⊥平面D1MB， 则有DF⊥D1B，DF⊥FM.在Rt△BDD1中， DF＝ ＝                   ＝                  . 又F、M分别是BD1，CC1的中点，易证FM＝      a， 又DM＝                     ＝                 a，∴在Rt△DFM中，DF2＋FM2＝DM2， 即                                               ， 解得λ2＝2，∴λ＝     ， 即当        ＝     时，DF⊥平面D1MB.1.(2010·三亚模拟)若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的        平面                                                                                       (　　)     A.有且只有一个　　　　　　B.至多有一个    C.有无数多个                                 D.一定不存在解析：当a⊥b时，存在一个过a且与b垂直的平面；若a与b 不垂直，则不存在这样的平面. 答案：B2.下列三个命题，其中正确命题的个数为                  (　　)    ①平面α∥平面β，平面β⊥平面γ，则α⊥γ；    ②平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则α∥γ；    ③平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则α⊥γ.     A.1                                       B.2     C.3                                        D.0 解析：①正确；②正确；③错误. 答案：B3.已知直线a，b和平面α，β，且a⊥α，b⊥ β ，那么     α⊥ β 是a⊥b的                                                                (　　)     A.充分但不必要条件                B.必要但不充分条件     C.充分必要条件                          D.既不充分也不必要条件 解析：若α⊥ β ，由a⊥α则容易推出a⊂ β 或a∥ β ，而b⊥β ，于是a⊥b；若a⊥b，则容易推出α⊥ β ，故α⊥ β是a⊥b的 充分必要条件. 答案：C4.正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中       点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P 的轨迹的周长为                                                                  (　　)解析：依题意知，动点P的轨迹为如图 所示的三角形EFG，容易求得，EF＝     BD＝    ，GE＝GF＝      SB＝           ， 所以轨迹的周长为      ＋     . 答案：C5.正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的       点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝　　　　.解析：如图所示，由正方体性质可知 B1C1⊥MN，又MB1⊥MN， ∴MN⊥平面MB1C1. ∵C1M⊂平面MB1C1， ∴C1M⊥MN， 即∠C1MN＝90° 答案：90°6.(2010·苏北三市联考)如图，     在正方体ABCD－A1B1C1D1      中，M、N、G分别是A1A， D1C，AD的中点.求证：   (1)MN∥平面ABCD；   (2)MN⊥平面B1BG.证明：(1)取CD的中点记为E， 连NE，AE. 由N，E分别为CD1与CD的中点可得 NE∥D1D且NE＝      D1D， 又AM∥D1D且AM＝      D1D 所以AM∥EN且AM＝EN，即四边形AMNE为平行四边形， 所以MN∥AE， 又AE⊂面ABCD，所以MN∥面ABCD.(2)由AG＝DE，∠BAG＝∠ADE＝90°，DA＝AB 可得△EDA与△GAB全等. 所以∠ABG＝∠DAE， 又∠DAE＋∠AED＝90°，∠AED＝∠BAF， 所以∠BAF＋∠ABG＝90°， 所以AE⊥BG， 又BB1⊥AE，所以AE⊥面B1BG， 又MN∥AE，所以MN⊥平面B1BG.