新人教A版必修2数学4.1.2圆的一般方程课件

4.1.2圆的一般方程 • 1.掌握圆的一般方程及其特点. • 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程,并能熟 练地指出圆心的位置和半径的大小. • 3.能根据某些具体条件,运用待定系数法确定圆 的方程. • 4.初步学会运用圆的方程来解决某些实际应用 问题. • 1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0. • (1)当________________时,方程表示一个点,该点的坐标为 • ______________________; • (2)当________________时,方程不表示任何图形; • (3)当________________时,方程表示的曲线为圆,它的圆心 • 坐标为________________,半径等于________________,上 述方程称为圆的一般式方程. D2+E2-4F=0 D2+E2-4F0 • 2.比较二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0和圆 的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,可以得出如下结论:当 二元二次方程具条件: • (1)x2和y2的系数相同,且不等于0,即____________; • (2)没有xy项,即__________; • (3)__________________时,它才表示圆. A=C≠0 B=0 D2+E2-4AF>0 • 1.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b) 2=r2① • 明确了圆心C(a,b),半径r,把标准方程展开就可得圆的 一般方程: • x2+y2+Dx+Ey+F=0② • (其中D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2). • 仅当D2+E2-4F>0时,方程②才表示一个圆. • 2.求圆的方程,需知三个条件,知过不共线三点求圆的方 程,用一般式简单.知圆心和半径用标准形式简单. • 题型一 圆的方程的判断 • 例1:判断下列方程是否表示圆,若是,化成标 准方程. • (1)x2+y2+2x+1=0; • (2)x2+y2+2ay-1=0; • (3)x2+y2+20x+121=0; • (4)x2+y2+2ax=0. • 分析:先将方程配方,化成圆的标准形式,然后 再作出判断. • 解:(1)原方程可化为(x+1)2+y2=0,它表示点(- 1,0),不表示圆. • (2)原方程可化为x2+(y+a) 2=a2+1,它表示圆 心在(0,-a),半径为 的圆,标准方程为 x2+(y+a) 2= • (3)原方程可化为:(x+10) 2+y2=-210, • ∴m>-2. • 错因分析:本题错误根本原因没理解圆的一般式方程的 定义.二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆时,应有 D2+E2-4F>0这个条件,错解中丢掉了这个隐含条件. 正解:∵点P(m,2)在圆外, 技 能 演 练 基础强化 1.若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是( ) 答案:A • 2.方程Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0表示的曲线为圆,则有 ( ) • A.A=C≠0 • B.D2+E2-4AF>0 • C.A=C≠0且D2+E2-4AF>0 • D.A=C≠0且D2+E2-4AF≥0 • 答案:C • 3.圆x2+y2-2x+6y+8=0的周长等于( ) • A. B.2π • C. D.4π • 解析:将圆的方程配方得(x-1) 2+(y+3) 2=2, • ∴圆的半径 ∴周长为2πr= • 答案:C • 4.过点P(-8,-1),Q(5,12),R(17,4)三点的圆的圆心坐 标是( ) • A.(5,1) B.(4,-1) • C.(5,-1) D.(-5,-1) • 解析:∵圆心到P,Q,R的距离相等,代入选项的坐标, 知C成立. • 答案:C • 5.圆(x+2)2+y2=5关于原点对称的圆的方程为( ) • A.(x-2) 2+y2=5 B.x2+(y-2) 2=5 • C.(x+2) 2+(y+2) 2=5 D.x2+(y+2) 2=5 • 解析:点(x,y)关于原点(0,0)的对称点是(-x,-y),因 此圆心(-2,0)关于原点(0,0)对称点为(2,0),半径 不变,所以方程为(x-2) 2+y2=5. • 答案:A • 6.圆心为(2,-3),一条直径的两个端点分别落在x轴 和y轴上的圆的方程为( ) • A.(x+2)2+(y+3) 2=52 • B.(x-2) 2+(y+3) 2= • C.(x-2) 2+(y+3) 2=13 • D.(x-2) 2+(y-3) 2= • 解析:设一条直径的端点坐标分别为 (x0,0),(0,y0).由题意得, • =-3,∴x0=4,y0=-6, • ∴圆的半径为 • ∴所求圆的方程为(x-2)2+(y+3) 2=13. • 答案:C • 7.已知圆x2-4x-4+y2=0的圆心是P,则点P到直线 • x-y-1=0的距离是________. • 解析:已知圆的圆心P坐标为(2,0),∴P到直线 • x-y-1=0的距离为 • 8.点A(1,0)在圆x2+y2-2ax+a2+3a-3=0上,则a的值为 • ________.-2 • 能力提升 • 9.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于A(0,-4),B(0,- 2)两点,求圆C的方程. • 解:设圆C的方程为 • x2+y2+Dx+Ey+F=0, • 则圆心 在直线上. 由①②③解得 D=-4,E=6,F=8. ∴圆的方程为 x2+y2-4x+6y+8=0. • 10.已知圆C:x2+y2-4x-14y+45=0及点Q(-2,3), • (1)若P(m,m+1)在圆C上,求线段PQ的长及直线PQ的斜 率; • (2)若P为圆C上任意一点,求|PQ|的最大值和最小值. • 解:(1)点P在圆C上代入得 • m2+(m+1) 2-4m-14(m+1)+45=0, • 解得m=4. • ∴点P为(4,5), • 故|PQ|= • (2)由题意知|PQ|取得最大值或最小值时,P点为过Q与 圆心C的直线与圆C的两个交点.易知: • |PQ|最大值为|QC|+R= (R为圆C半径). • 最小值为|QC|-R= 品 味 高 考 11. 若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为 则 a的值为( ) A.-2或2 B. C.2或0 D.-2或0 解析:已知圆的方程为 (x-1)2+(y-2)2=5,∴圆心C(1,2), 由题意得, ∴|a-1|=1,∴a=2或0. 答案:C • 12. 经过圆x2+2x+y2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂 直的直线方程是( ) • A.x+y+1=0 B.x+y-1=0 • C.x-y+1=0 D.x-y-1=0 • 解析:由题知圆心C(-1,0),斜率k=1, • 故所求的直线方程为y=x+1,即x-y+1=0. • 答案:C