2020高考理科数学二轮专题辅导通用版课件： 高考专题突破 函数与导数 导数的概念及简单应用

导数的概念及简单应用 考向一 导数的几何意义及其应用(保分题型考点)【 题组通关】 1.函数y=xex在其极值点处的切线方程为________. 2.曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y= (x>0)上点P 处的切线垂直,则P的坐标为________.  3.已知点P在曲线y= 上,α为曲线在点P处的切线 的倾斜角,则α的取值范围是________. 【解析】1.由题意知y′=ex+xex,令y′=0,解得x=-1, 代入函数解析式可得极值点的坐标为 . 又极值点处的切线为平行于x轴的直线,故方程为y= - . 2.设P(x0,y0)(x0>0), 由y=ex,得y′=ex,所以y′|x=0=1. 由y= ,得y′=- ,所以- =-1,所以x0=1或x0= -1(舍去),所以y0= =1,所以点P的坐标为(1,1). 3.因为y= , 所以y′= 因为ex>0,所以ex+ ≥2, 所以y′∈[-1,0),所以tan α∈[-1,0). 又α∈[0,π),所以α∈ . 答案:1.y=-  2.(1,1) 3. 【拓展提升】 与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略 (1)已知切点求切线方程.解决此类问题的步骤为: ①求出函数y=f(x)在点x=x0处的导数,即曲线y=f(x)在 点P(x0,f(x0))处切线的斜率; ②由点斜式求得切线方程为y-y0=f′(x0)·(x-x0). (2)已知斜率求切点:已知斜率k,求切点(x1,f(x1)),即 解方程f′(x1)=k. (3)求切线倾斜角的取值范围:先求导数的取值范围,即 确定切线斜率的取值范围,然后利用正切函数的单调性 解决. (4)根据切线的性质求倾斜角或参数值:已知曲线上一 点P(x0,y0)的切线与已知直线的关系(平行或垂直),确 定该切线的斜率k,再求出函数的导函数,然后利用导数 的几何意义得到k=f′(x0)=tan α,其中倾斜角 α∈[0,π),根据范围进一步求得角α或有关参数的值. 【变式训练】 (1)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则a= (  ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切 线过点(2,7),则a=________. 【解析】(1)选D.y′=a- ,由题意得y′|x=0=2, 即a-1=2,所以a=3. (2)因为f′(x)=3ax2+1,所以f′(1)=3a+1. 又f(1)=a+2,所以f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y-(a+2)=(3a+1)(x-1). 因为切线过点(2,7),所以7-(a+2)=3a+1,解得a=1. 答案:1 考向二 导数的运算(保分题型考点) 【题组通关】 1.已知函数f(x)的导函数f′(x),且满足 f(x)=2xf′(1) +ln x,则f′(1)= (  ) A.-e B.-1 C.1 D.e 2.已知函数f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a为实数 ,f′(x)为f(x)的导函数.若f′(1)=3,则a的值为 ________. 【解析】1.选B.因为f(x)=2xf′(1)+ln x, 所以f′(x)=[2xf′(1)]′+(ln x)′=2f′(1)+ , 所以f′(1)=2f′(1)+1,即f′(1)=-1. 2.因为f′(x)=a =a(1+ln x). 所以f′(1)=a(1+ln 1)=a, 又f′(1)=3,所以a=3. 答案:3 【拓展提升】 导数运算的原则和方法 (1)原则:先化简解析式,再求导. (2)方法: ①连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导; ②分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或 较为简单的分式函数,再求导; ③对数形式:先化为和、差的形式,再求导; ④根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导; ⑤三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式, 再求导; ⑥复合函数:由外向内,层层求导. 【变式训练】 (1)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则 f′(1)=________.  (2)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+ (a,b为 常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线 7x+2y+3=0平行,则a+b的值是________. 【解析】(1)令t=ex,故x=ln t,所以f(t)=ln t+t, 即f(x)=ln x+x, 所以f′(x)= +1,所以f′(1)=2. (2)因为曲线y=ax2+ 过点P(2,-5), 所以4a+ =-5.① 又y′=2ax- ,且曲线在点P(2,-5)处的切线与直线 7x+2y+3=0平行,所以4a- =- .② 由①②解得 所以a+b=-3. 答案:(1)2 (2)-3 考向三 定积分与微积分基本定理(保分题型考点) 【题组通关】 1.若f(x)=x2+2 f(x)dx,则 f(x)dx= (  ) A.-1 B.- C. D.1 2. (x-1)dx=________.  3.设f(x)= 则 f(x)dx等于(  ) A. B. C. D.不存在 【解析】1.选B.令 f(x)dx=m,则f(x)=x2+2m, 所以 f(x)dx= (x2+2m)dx= = +2m=m,解得m=- ,即 f(x)dx=- . 2. (x-1)dx= =0. 答案:0 3.选C. f(x)dx= x2dx+ (2-x)dx 【拓展提升】 1.用牛顿——莱布尼茨公式求定积分的步骤 (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、 指数函数与常数的积的和或差. (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函 数的定积分. (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数. (4)利用牛顿——莱布尼茨公式求出各个定积分的值. (5)计算原始定积分的值. 2.利用定积分求平面图形面积的步骤 (1)根据题意画出图形. (2)借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积分 的上、下限. (3)把平面图形的面积表示成若干个定积分的和或差. (4)计算定积分得出答案. 【变式训练】 (1)定积分 |x2-2x|dx= (  ) A.5 B.6 C.7 D.8 (2)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形 的面积为 (  ) A.2 B.4 C.2 D.4 (3)设a>0,若曲线y= 与直线x=a,y=0所围成封闭图形 的面积为a2,则a=________.  【解析】(1)选D. |x2-2x|dx= (x2-2x)dx+ (2x-x2)dx= (2)选D.由 得x=±2或x=0, 所以两图象的交点坐标为(0,0),(2,8),(-2,-8). 所以直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积 S= (4x-x3)dx= =4× ×4- ×16=8-4 =4. (3)由题意得 dx=a2.又 所以 =a2, 即 =a2,所以a= . 答案: 考向四 导数的简单应用(压轴题型考点) 【典例】(1)函数f(x)=ex-ex,x∈R的单调递增区间 是 (  ) A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(-∞,1) D.(1,+∞) (2)已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点, 则f(x)的极大值、极小值分别为 (  ) A.- ,0 B.0,- C. ,0 D.0, (3)已知f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=ln x- ax ,当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值 为________. 【题型建模】 (1)想到导数与单调性的关系求解. (2)根据导数与极值的关系求解. (3)利用导数与最值的关系求解. 【解析】(1)选D.由题意知,f′(x)=ex-e,令f′(x)>0, 解得x>1. (2)选C.由题意知,f′(x)=3x2-2px-q, 由f′(1)=0,f(1)=0得 解得 所以f(x)=x3-2x2+x, 由f′(x)=3x2-4x+1=0,得x= 或x=1,易得当x= 时,f(x)取极大值 ,当x=1时,f(x)取极小值0. (3)因为f(x)是奇函数,所以f(x)在(0,2)上的最大值 为-1,当x∈(0,2)时,f′(x)= -a,令f′(x)=0,得 x= , 又a> ,所以0< 0,得x< , 所以f(x)在 上单调递增; 令f′(x) ,所以f(x)在 上单调递减.所 以当x∈(0,2)时,f(x)max= =-1,所以 ln =0,所以a=1. 答案:1 【拓展提升】 求函数f(x)极值的方法 求函数的极值应先确定函数的定义域,再解方程 f′(x)=0,再判断f′(x)=0的根是否是极值点,可通过 列表的形式进行分析,若遇极值点含参数不能比较大小 时,则需分类讨论. 【变式训练】 (1)若函数f(x)=sin x+ax为R上的减函数,则实数a的取 值范围是________. (2)已知函数f(x)=x3+3x2-9x+1,若f(x)在区间[k,2]上 的最大值为28,则实数k的取值范围为 (  ) A.[-3,+∞) B.(-3,+∞) C.(-∞,-3) D.(-∞,-3] 【解析】(1)因为f′(x)=cos x+a,由题意可知,f′(x) ≤0对任意的x∈R都成立,所以a≤-1,故实数a的取值范 围是(-∞,-1]. 答案:(-∞,-1] (2)选D.由题意知f′(x)=3x2+6x-9,令f′(x)=0,解得 x=1或x=-3,所以f′(x),f(x)随x的变化情况如表: x (-∞,-3) -3 (-3,1) 1 (1,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 又f(-3)=28,f(1)=-4,f(2)=3,f(x)在区间[k,2]上的最 大值为28,所以k≤-3.