2020高考理科数学二轮专题辅导通用版课件： 高考专题突破 函数与导数 导数与零点及最优化问题

导数与零点及最优化问题 考向一 利用导数研究函数的零点(方程的根) 【例1】(2019·淄博一模)已知a∈R,函数f(x)＝ex－ ax① (e=2.718 28…是自然对数的底数). (1)若函数f(x)在区间(－e，－1)上是减函数② ,求实 数a的取值范围. (2)若函数F(x)=f(x)-(ex-2ax+2ln x+a)在区间 内无零点③,求实数a的最大值. 【题眼直击】 题眼 思维导引 ① 想到求出函数的导数 ② 想到f′(x)在区间(-e,-1)上小于等于0恒成立 ③ 想到F(x)在区间 上是单调函数 【解析】 (1)由f(x)=ex-ax,得f′(x)=ex-a且f′(x)在R上递增. 若f(x)在区间(-e,-1)上是减函数,只需f′(x)≤0恒成 立. 因此只需f′(-1)=e-1-a≤0,解得a≥ . 又当a= 时,f′(x)=ex- ≤0当且仅当x=-1时取等 号. 所以实数a的取值范围是 . (2)方法一:由已知得F(x)=a(x-1)-2ln x,且F(1)=0, 则F′(x)=a- = = ,x>0. ①当a≤0时,F′(x)0. 所以F(x)在 内无零点. ②当a>0时,令F′(x)=0,得x= . 若 ≥ 时,即a∈(0,4]时,F(x)在 上是减函数. 又x→0时,F(x)→+∞. 要使F(x)在 内无零点,只需F =- -2ln ≥0,则04时,则F(x)在 上是减函数,在 上是增函数. 所以F(x)min=F =2-a-2ln , 令φ(a)=2-a-2ln ,则φ′(a)=-1+ =