等差数列、等比数列
考向一 等差数列、等比数列的基本量计算 (保分题
型考点)
【题组通关】
1.(2019·北京高考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若
a2=-3,S5=-10,则a5=________,Sn的最小值为
________.
【解析】设公差为d,a2=a1+d=-3,S5=5a1+ d=-10,
即a1+2d=-2,解得a1=-4,d=1,所以a5=a1+4d=0,Sn=na1+
,当n=4或5时,Sn最小,为-10.
答案:0 -10
2.已知等比数列{an}的公比为q,记bn=am(n-1)+1+
am(n-1)+2+…+am(n-1)+m,cn=am(n-1)+1·am(n-1)+2·…·
am(n-1)+m(m,n∈N*),则以下结论一定正确的是 ( )
A.数列{bn}为等差数列,公差为qm
B.数列{bn}为等比数列,公比为q2m
C.数列{cn}为等比数列,公比为
D.数列{cn}为等比数列,公比为
【解析】选C.bn=am(n-1)+1·(1+q+q2+…+qm-1),
=qm,
故数列{bn}为等比数列,公比为qm,选项A,B错误;
cn= ·q1+2+…+(m-1),
=(qm)m= ,
故数列{cn}为等比数列,公比为 ,D错误,故选C.
3.(2019·重庆二模)已知数列{an},an>0, 它的前n项和
为Sn,且2a2是4a1与a3的等差中项.若{an}为等比数列
,a1=1,则S7=________.
【解析】设数列{an}的公比为q,依题意有a1=1,4a2=4a1
+a3,即4q=4+q2,故q=2,则S7= =127.
答案:127
【题型建模】
1.求等差、等比数列的基本量:利用等差、等比数列通项公式及前n项和公式求基
本量项
2.求代数式的值:根据等比数列的通项公式求代数式的值
3.等差中项及等比数列前n项和的综合应用
【拓展提升】
1.两组重要公式
(1)等差数列:①Sn= ;
②am=an+(m-n)d;③若第m,n,p项成等差数列,
则2an=am+ap.
(2)等比数列:①Sn=
②am=an·qm-n;
③若第m,n,p项成等比数列,则 =am·ap.
2.等差(比)数列的运算技巧
①在进行等差(比)数列项与和的运算时,若条件和结论
间的联系不明显,则均可化成关于a1和d(q)的方程组求
解;②要注意消元法及整体计算,以减少计算量.
考向二 等差数列、等比数列的性质 (保分题型考点
)
【题组通关】
1.等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值是
( )
A.20 B.22 C.24 D.-8
【解析】选C.因为a1+3a8+a15=5a8=120,所以a8=24,
所以2a9-a10=a10+a8-a10=a8=24.
2.(2019·银川一模)已知各项不为0的等差数列{an}满
足2a2- +2a12=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则
b3b11等于 ( )
A.16 B.8 C.4 D.2
【解析】选A.由等差数列性质得a2+a12=2a7,所以4a7-
=0,又a7≠0,所以a7=4,b7=4,由等比数列性质得b3b11=
=16.
3.已知数列{an}是等比数列,数列{bn}是等差数列,若a1·a6·a11=3
,b1+b6+b11=7π,则 的值
是( )
【解析】选D.{an}是等比数列,{bn}是等差数列,且a1·a6·a11=3
,b1+b6+b11=7π,所以 ,3b6=
7π,
所以a6= ,b6= ,
所以 =
4.(2019·西安一模)各项均为正数的等比数列{an}的
前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于 ( )
A.80 B.30
C.26 D.16
【解析】选B.由等比数列性质知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-
S3n,…仍为等比数列,设S2n=x,则2,x-2,14-x成等比数
列.
由(x-2)2=2×(14-x),解得x=6或x=-4(舍去).
所以S2n=6,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…是首项为2,
公比为2的等比数列.
又因为S3n=14,所以S4n=30.
5.若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a100,
所以a8>0.又a7+a10=a8+a9 ,即λ≥0.
综上,λ的取值范围为[0,+∞).
答案:[0,+∞)
【题眼直击】
题目 题眼 思维导引
1. ① 向量三点共线的条件,想到向量等式的系数和
为1.
2. ② 由连续三项的积,想到用等比中项求a4
③ 同底对数和,想到对数运算性质
3. ④ 方程左右两端的特点想到两端同除以n(n+2)
⑤ 相邻两项的大小关系,想到分离参数
【拓展提升】
数列与其他知识的交汇问题的处理思路
(1)以数列知识为纽带,在与函数、方程、向量不等
式的交汇处命题,利用函数观点、方程思想、向量的性
质、不等式的性质等.作为解题口解决问题.
(2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数,然后利
用函数的性质求解数列问题.
(3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数,通过求数
列的值域求解.
【变式训练】
1.正项等比数列{an}中,a2=8,16 =a1a5,则数列{an}的
前n项积Tn中的最大值为 ( )
A.T3 B.T4 C.T5 D.T6
【解析】选A.设正项等比数列{an}的公比为q(q>0),则
16 =a1a5=a2a4=8a4,a4= ,q2= ,又q>0,则q= ,an=a2qn
-2=8× =27-2n,则Tn=a1a2…an=
25+3+…+(7-2n)=2n(6-n),当n=3时,n(6-n)取得最大值9,此
时Tn最大,即(Tn)max=T3.
2.若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,
则ln a1+ln a2+…+ln a20=__________.
【解析】因为a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,所以a10a11=e5.所
以ln a1+ln a2+…+ln a20=ln(a1a2…a20)=
ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]=ln(a10a11)10=
10ln(a10a11)=10ln e5=50ln e=50.
答案:50
3.等比数列{an}的首项为2,公比为3,前n项和为Sn.
若log3 =9,则 取最小值时,S2=______.
【解析】由题意可得an=2×3n-1,Sn= =3n-1,
所以log3 =log33n+4m-1=n+4m-1=9,
所以n+4m=10,所以
当且仅当m=n时取等号,
所以n=2,所以a2=2×3=6,所以S2=2+6=8.
答案:8
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