高考大题•满分规范
立体几何类解答题
【典型例题】
(12分)(2019·全国卷Ⅰ)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1
的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是
BC,BB1,A1D的中点.
(1)证明:MN∥平面C1DE.
(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.
【题目拆解】
本题可拆解成以下几个小问题:
(1)①利用三角形中位线和A1D B1C,证明ME ND;
②四边形MNDE为平行四边形,进而证得MN∥DE,根据线
面平行判定定理可证得MN∥平面C1DE.
(2)①建立空间直角坐标系,写出平面AMA1的一个法向
量;②待定系数法求出平面MA1N的法向量,最后转化为
求两个法向量的夹角的余弦值,进而求出二面角
A-MA1-N的正弦值.
【标准答案】
【解析】(1)连接ME,B1C,因为M,E分别为BB1,BC中点,
所以ME为△B1BC的中位线,
所以ME∥B1C且ME= B1C.
………………①
又N为A1D中点,且A1Dဌ@ B1C,所以ND∥B1C且ND= B1C,
所以MEဌ@ ND,所以四边形MNDE为平行四边形.
……………… ②
所以MN∥DE,又MN⊄平面C1DE,DE⊂平面C1DE,
所以MN∥平面C1DE. ……………… ③
(2)设AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,由直四棱柱性质可知:
OO1⊥平面ABCD,因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD,
则以O为原点,可建立如图所示的空间直角坐标系:
……………… ④
则:A( ,0,0),M(0,1,2),A1( ,0,4),D(0,-1,0),
取AB中点F,连接DF,
则 ……………… ⑤
因为四边形ABCD为菱形且∠BAD=60°,所以△BAD为等
边三角形,所以DF⊥AB.又AA1⊥平面ABCD,DF⊂平面
ABCD,所以DF⊥AA1,所以DF⊥平面ABB1A1,即DF⊥平面
AMA1,所以 为平面AMA1的一个法向量,且
……………… ⑥
设平面MA1N的法向量n=(x,y,z),又 =( ,-1,2),
所以
令x= ,则y=1,z=-1,所以n=( ,1,-1),
……………… ⑦
所以cos< ,n>= 所以sin< ,n>
= 所以二面角A-MA1-N的正弦值为:
……………… ⑧
【阅卷现场】
第(1)问 第(2)问
得
分
点
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
1 1 2 1 2 1 2 2
4分 8分
第(1)问踩点得分说明
①根据三角形中位线的性质得出ME∥B1C得1分;
②根据平行四边形的定义证出MNDE为平行四边形得1分
;
③根据线面平行的判断定理求得结论得2分;
第(2)问踩点得分说明
④建立空间直角坐标系得1分;
⑤准确地写出各点的坐标得2分;
⑥求出平面AMA1的法向量得1分;
⑦求出平面MA1N的法向量得2分;
⑧求出最终结果得2分.
【高考状元·满分心得】
1.空间中的平行与垂直问题的关键
熟练把握空间中平行与垂直的判定定理是解题的关键.
2.利用向量法求线面角和二面角的关注点
建立恰当的空间直角坐标系,利用待定系数法求出相应
平面的法向量是解题的关键,特别是有关点的坐标的正
确书写一定要谨慎.
3.定理的条件要齐全
在运用定理证明问题时,注意条件的齐全性,例如本题
的第(1)问,一定要指明线在面内、线在面外这些条件,
否则要适当扣分.
4.求点的坐标的注意点
一定要注意坐标的正、负值,这是极其容易出错的地方.
【跟踪演练·感悟体验】
1.(2019·北京高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平
面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为PD的中
点,点F在PC上,且
(1)求证:CD⊥平面PAD.
(2)求二面角F-AE-P的余弦值.
(3)设点G在PB上,且 判断直线AG是否在平面
AEF内,说明理由.
【解析】(1)因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,
所以PA⊥CD,
又因为CD⊥AD,AD∩PA=A,AD,PA⊂平面PAD,
所以CD⊥平面PAD.
(2)在PD上取点M,使 连接FM,
在△PCD中,又
所以FMဌ@ CD,FM= ,
由(1)知,CD⊥平面PAD,所以FM⊥平面PAD,又AE⊂平面
PAD,
所以FM⊥AE,
在△PAD中,E是PD中点,PA=AD=2,
所以AE⊥PD,PD=2 ,
又因为FM,PD⊂平面EFM,FM∩PD=M,
所以AE⊥平面EFM,又EF⊂平面EFM,所以AE⊥EF,
所以∠FEM为二面角F-AE-P的平面角.
在△PCD中,
在Rt△EFM中,
所以二面角F-AE-P的余弦值为
(3)取CF中点N,连接DN,GN,
在△PDN中,E,F分别为PD,PN的中点,所以EF∥DN,
在△PBC中,
又BC=3,所以GN∥BC,GN=2,
又因为AD∥BC,AD=2,
所以GNဌ@ AD,四边形ADNG是平行四边形,
所以AG∥DN,又因为EF∥DN,所以AG∥EF,又因为AG与平
面AEF有公共点,所以AG⊂平面AEF.
2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为 的
正方形,PA⊥BD.
(1)求证:PB=PD.
(2)若E,F分别为PC,AB的中点,EF
⊥平面PCD,求直线PB与平面PCD所成角的大小.
【解析】(1)连接AC与BD交于点O,连接PO,
因为底面ABCD是正方形,
所以AC⊥BD且O为BD的中点.
又PA⊥BD,PA∩AC=A,
所以BD⊥平面PAC,
由于PO⊂平面PAC,
故BD⊥PO.
又BO=DO,
故PB=PD.
(2)设PD的中点为Q,连接AQ,EQ,
则EQဌ@ CDဌ@ AF,
所以AFEQ为平行四边形,EF∥AQ,
因为EF⊥平面PCD,
所以AQ⊥平面PCD,
所以AQ⊥PD,PD的中点为Q,
所以AP=AD= .
由AQ⊥平面PCD,又可得AQ⊥CD,
又AD⊥CD,AQ∩AD=A,所以CD⊥平面PAD,
所以CD⊥PA,又BD⊥PA,BD∩CD=D,所以PA⊥平面ABCD.
由题意,AB,AP,AD两两垂直, 以A为坐标原点,向量
的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立
如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B( ,0,0),
为平面PCD的一个法向量.
设直线PB与平面PCD所成角为θ,则sin θ=
所以直线PB与平面PCD所成角为
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