排列、组合与二项式定理
考向一 排列组合(保分题型考点)
【题组通关】
1.用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶
数的个数为( )
A.324 B.648 C.328 D.360
【解析】选C.首先应考虑是否含“0”.当含有0,且0排
在个位时,有 =9×8=72个三位偶数,当0排在十位时,
有 =4×8=32个三位偶数.当不含0时,有
=4×8×7=224个三位偶数.由分类加法计数原理得,符
合题意的偶数共有72+32+224=328(个).
2.市内某公共汽车站有6个候车位(成一排),现有3名乘
客随便坐在某个座位上候车,则恰好有2个连续空座位
的候车方式的种数为 ( )
A.48 B.54 C.72 D.84
【解析】选C.先把3名乘客进行全排列,有 =6种排
法,排好后,有4个空,再将1个空位和余下的2个连续的
空位插入4个空中,有 =12种排法,则共有6×12=72种
候车方式.
3.现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色
卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种
颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为
________.
【解析】第一类,含有1张红色卡片,不同的取法有
=264(种).
第二类,不含有红色卡片,不同的取法有 =220
-12=208(种).由分类加法计数原理知,不同的取法共有
264+208=472(种).
答案:472
4.计划将排球、篮球、乒乓球3个项目的比赛安排在4
个不同的体育馆举办,每个项目的比赛只能安排在一个
体育馆进行,则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个
的安排方案共有 ( )
A.60种 B.42种 C.36种 D.24种
【解析】选A.若3个项目分别安排在不同的场馆,则安
排方案共有 =24(种);若有2个项目安排在同一个场
馆,另一个安排在其他场馆,则安排方案共有
=36(种);所以在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的
安排方案共有24+36=60(种).
【拓展提升】
求解排列、组合问题的基本方法
(1)限制条件排除法:先求出不考虑限制条件的个数,然
后减去不符合条件的个数,相当于减法原理.
(2)相邻问题捆绑法:在特定条件下,将几个相关元素当
作一个元素来考虑,待整个问题排好之后再考虑它们“
内部”的排列数,它主要用于解决相邻问题.
(3)插空法:先把不受限制的元素排列好,然后把特定元
素插在它们之间或两端的空当中.
(4)特殊元素、位置优先安排法:对问题中的特殊元素
或位置优先考虑排列,然后排列其他一般元素或位置.
(5)多元问题分类法:将符合条件的排列分为几类,根据
分类加法计数原理求出排列总数.
(6)元素相同隔板法:若把n个不加区分的相同元素分成
m组,可通过n个相同元素排成一排,在元素之间插入m-1
块隔板来完成分组,此法适用于同元素分组问题.
(7)“至多”“至少”间接法:“至多”“至少”的排
列组合问题,需分类讨论且一般分类的情况较多,所以
通常用间接法,即排除法,它适用于反面明确且易于计
算的问题.
(8)选排问题先取再排法:选排问题很容易出现重复或
遗漏的错误,因此常先取出元素(组合)再排列,即先取
再排.
(9)定序问题消序法:甲、乙、丙顺序一定,采用消序法,
即除法,用总排列数除以顺序一定的排列数.
(10)有序分配逐分法:有序分配是指把元素按要求分成
若干组,常采用逐分的方法求解.
【变式训练】
1.(2017·天津高考)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没
有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样
的四位数一共有________个.(用数字作答)
【解析】分两种情况:第一种:四位数都不是偶数的个
数为: =120,第二种:四位数中有一位为偶数的个数
为 =960,则共有1080个.
答案:1 080
2.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.
将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有
________种(用数字作答).
【解析】不同的获奖分两种:一是有1人获得两张奖
券,1人获得1张,共有 =36(种);二是3个人各获得
1张,共有 =24(种),因此不同的获奖情况有60种.
答案:60
3.某运输公司有7个车队,每个车队的车辆均多于4辆.
现从这个公司中抽调10辆车,并且每个车队至少抽调1
辆,那么共有________种不同的抽调方法.
【解析】方法一(分类法):在每个车队抽调1辆车的基
础上,还需抽调3辆车.可分成三类:一类是从某1个车队
抽调3辆,有 种;一类是从2个车队中抽调,其中1个车
队抽调1辆,另1个车队抽调2辆,有 种;一类是从3个
车队中各抽调1辆,有 种.故共有 =84(种)
抽调方法.
方法二(隔板法):由于每个车队的车辆均多于4辆,只需
将10个份额分成7份.可将10个小球排成一排,在相互之
间的9个空当中插入6个隔板,即可将小球分成7份,故共
有 =84(种)抽调方法.
答案:84
考向二 二项式定理(保分题型考点)
【题组过关】
1.已知 的展开式中含 的项的系数为30,
则a= ( )
【解析】选D.二项展开式的通项是Tr+1=
由题意得 所以r=1.
所以 =30,
所以a=-6.
2.已知(1-ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=
( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
【解析】选A.1· +(-a) =5,得a=1.
3.(2018·天津高考)在 的展开式中,x2的系
数为________.
【解析】因为 的第r+1项Tr+1=
令
解得r=2,即T3=T2+1=
所以在 的展开式中,x2的系数为
答案:
4.(2019·天津高考) 展开式中的常数项为
________.
【解析】 的第r+1项为
Tr+1=
令8-4r=0,解得r=2,
即T3=T2+1=
答案:28
5.使 (n∈N*)的展开式中含有常数项的最小
的n为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【解析】选B.根据二项展开式的通项公式得
Tr+1=
若Tr+1是常数项,则有n- =0,
即2n=5r(r=0,1,…,n).
当r=0,1时,n=0, ,不满足条件;
当r=2时,n=5.
【拓展提升】
求二项展开式中的项的方法
求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项Tk+1=
的特点,一般需要建立方程求k,再将k的值代
回通项求解,注意k的取值范围(k=0,1,2,…,n).
(1)第m项:此时k+1=m,直接代入通项.
(2)常数项:即这项中不含“变元”,令通项中“变元”
的幂指数为0建立方程.
(3)有理项:令通项中“变元”的幂指数为整数建立方
程.
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