2020高考理科数学二轮专题辅导通用版课件：高考专题 解析几何 圆锥曲线的方程与性质

圆锥曲线的方程与性质 考向一 圆锥曲线的定义及标准方程(保分题型考点) 【题组通关】 1.如图,△PAB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面 β互相垂直,且AD⊥α,BC⊥α,AD=4,BC=8,AB=6,若 tan ∠ADP+2tan ∠BCP=10,则点P在平面α内的轨迹 是 (  ) A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 2.已知P是抛物线y2=4x上的一个动点,Q是圆(x-3)2 +(y-1)2=1上的一个动点,N(1,0)是一个定点,则 |PQ|+|PN|的最小值为 (  ) A.3 B.4 C.5 D. +1 3.(2017·天津高考)已知双曲线 =1(a>0,b>0) 的左焦点为F,离心率为 .若经过F和P(0,4)两点的 直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程 为 (  ) 世纪金榜导学号 【解析】1.选B.由题意可得 则|PA|+|PB|=40>|AB|=6, 又因为P,A,B三点不共线, 故点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆的一部分. 2.选A.由抛物线方程y2=4x,可得抛物线的焦点为 F(1,0), 又N(1,0),所以N与F重合. 过圆(x-3)2+(y-1)2=1的圆心M作抛物线准线的垂线MH, 交圆于Q,交抛物线于P, 则|PQ|+|PN|的最小值等于|MH|-1=3. 3.选B.由题意得a=b, =1⇒c=4,a=b=2 ⇒ 【拓展提升】 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离,一般运用定义转化 为到准线的距离处理.如本例(2)充分运用抛物线定义 实施转化,使解答简捷、明快. 2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型,后计算 ”.所谓“定型”,就是指确定类型,所谓“计算”,就 是指利用待定系数法求出方程中的a2,b2,p的值,最后代 入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程. 【变式训练】 (1)(2016·天津高考)已知双曲线 =1(a>0,b>0) 的焦距为2 ,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0 垂直,则双曲线的方程为 (  ) A. -y2=1 B.x2- =1 C. =1 D. =1 (2)(2019·全国卷Ⅲ)设F1,F2为椭圆C: =1的两 个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三 角形,则M的坐标为________. 【解析】(1)选A.由题意得c= . 双曲线的渐近线为y=± x, 因为渐近线与直线2x+y=0 垂直, 所以(-2)· =-1,所以 = . 又因为c2=a2+b2,解得a=2,b=1, 所以双曲线的方程为 -y2=1. (2)已知椭圆C: =1可知,a=6,c=4,由M为C上 一点且在第一象限,故等腰△MF1F2中, MF1=F1F2=8,MF2=2a-MF1=4,sin∠F1F2M= yM=MF2sin∠F1F2M= , 代入C: =1可得xM=3.故M的坐标为(3, ). 答案:(3, ) 考向二 圆锥曲线的几何性质(保分题型考点) 【题组通关】 1.(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是 椭圆 =1的一个焦点,则p= (  )       A.2 B.3 C.4 D.8 2.(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy中,双曲线 =1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线 x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双 曲线的渐近线方程为________. 世纪金榜导学号 【解析】1.选D.因为椭圆的焦点为(± ,0),抛物线 的焦点为 ,由已知可得 ,解得p=8. 2.设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义知|AF|=y1+ ,|BF|=y2+ ,|OF|= , 所以|AF|+|BF|=y1+ +y2+ =y1+y2+p=4|OF|=2p, 可得y1+y2=p, 联立方程 得 +1=0,由根与系数的 关系得y1+y2= , 所以 =p,则 ,所以双曲线的渐近线 方程为y=± x. 答案:y=± x 【拓展提升】 1.分析圆锥曲线中a,b,c,e各量之间的关系是求解圆锥 曲线性质问题的关键. 2.确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围,其关键就是 确立一个关于a,b,c的方程(组)或不等式(组),再根据 a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式.建立关于a,b,c的 方程(组)或不等式(组),要充分利用椭圆和双曲线的几 何性质、点的坐标的范围等. 3.求双曲线渐近线方程关键在于求 的值,也可将 双曲线等号右边的“1”变为“0”,然后因式分解得到. 【变式训练】 (1)已知F1,F2是双曲线E: =1的左、右焦点, 点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1= ,则E的 离心率为 (  ) (2)(2019·天津高考)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准 线为l.若l与双曲线 =1(a>0,b>0)的两条渐近线 分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线 的离心率为(  ) 【解析】(1)选A.如图所示,设M(-c,y),则 所以y= , 在Rt△MF2F1中, sin∠MF2F1= 所以a=b, 所以e= (2)选D.l的方程为x=-1,双曲线的渐近线方程为 y=± x, 可设 所以|AB|= ,则 =4,b=2a, 所以e= 考向三 圆锥曲线与其他知识的交汇问题(压轴题型 考点) 【典例】（1）已知M(x0，y0)是双曲线C： 上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若 ①， 则y0的取值范围②是（ ） （2）已知l是双曲线C: =1的一条渐近线，P是l 上的一点，F1,F2是C的两个焦点，若 ③， 则P到x轴的距离④为世纪金榜导学号（ ） 【题眼直击】 题目 题眼 思维导引 (1) ① 根据数量积公式建立不等关系 ② 解一元二次不等式 (2) ③ 根据数量积公式建立方程 ④ P点纵坐标的大小即为所求 【解析】(1)选A.由于点M在双曲线上,所以 即 =2 +2. 又因为F1(- ,0),F2( ,0), =(- -x0,-y0), =( -x0,-y0), 所以 · = + -3=3 -10)的左、右 顶点,不同两点P,Q在椭圆C上,且关于x轴对称,设直线 AP,BQ的斜率分别为m,n,则当 +ln |m|+ ln |n|取最小值时,椭圆C的离心率为 (  ) (2)(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C: =1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与 双曲线C的两条渐近线分别交于A,B两点. 若 =0,则C的离心率为________. 【解析】(1)选D.设点P(x0,y0),则 所以mn= 从而 +ln|m|+ln|n|= 设 =x,令f(x)= +ln x(0