2020高考理科数学二轮专题辅导通用版课件：高考专题 解析几何 存在性与探索性问题

存在性与探索性问题 考向一 探究是否存在常数的问题 【例1】(2019·九江一模)椭圆E: =1(a>b>0)的 离心率是 ,点P(0,1)在短轴CD上①，且 =-1②. (1)求椭圆E的标准方程. (2)设O为坐标原点,过点P的动直线与椭圆交于A,B两点. 是否存在常数λ,使得 为定值③？若 存在,求λ的值;若不存在,请说明理由. 【题眼直击】 题眼 思维导引 ① C点坐标为(0,-b),D点坐标为(0,b) ② 通过向量的数量积公式建立方程 ③ 想到结合根与系数的关系分析求解 【解析】(1)由已知,点C,D的坐标分别为(0,-b),(0,b). 又点P的坐标为(0,1),且 =-1, 于是 解得a=2,b= . 所以椭圆E的方程为 (2)①当直线AB的斜率存在时, 设直线AB的方程为y=kx+1,A,B的坐标分别为 (x1,y1),(x2,y2). 联立 得(2k2+1)x2+4kx-2=0. 其判别式Δ=(4k)2+8(2k2+1)>0, 所以x1+x2=- ,x1x2=- . 从而, =x1x2+y1y2+λ[x1x2+(y1-1)(y2-1)] =(1+λ)(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1 所以,当λ=1时, 此时, =-3为定值. ②当直线AB斜率不存在时,直线AB即为直线CD. 此时, 当λ=1时, =-3,为定值. 综上,存在常数λ=1,使得 为定值-3. 【拓展提升】   解决是否存在常数的问题时,应首先假设存在,看 是否能求出符合条件的参数值,如果推出矛盾就不存在, 否则就存在. 【变式训练】 椭圆C:   =1(a>b>0)经过点P(1, ),离心率e= , 直线l的方程为x=4. (1)求椭圆C的方程. (2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB 与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3. 问:是否存在常数λ,使得k1+k2=λk3?若存在,求λ的值 ;若不存在,说明理由. 【解析】(1)由P 在椭圆上得: =1.① 依题设知a=2c,则b2=3c2.② ②代入①解得c2=1,a2=4,b2=3. 故椭圆C的方程为 (2)由题意可设直线AB的斜率为k, 则直线AB的方程为y=k(x-1).③ 代入椭圆方程并整理,得(4k2+3)x2-8k2x+4(k2-3)=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x1+x2= ,x1x2= .④ 在方程③中令x=4得,M的坐标为(4,3k). 从而k1= 由于A,F,B三点共线, 则有k=kAF=kBF, 即有 所以k1+k2= ④代入⑤得k1+k2=2k- =2k-1, 又k3=k- ,所以k1+k2=2k3. 故存在常数λ=2符合题意. 考向二 探究是否存在点的问题 【例2】已知椭圆C: =1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0),右顶点为A,且|AF|=1①. (1)求椭圆C的标准方程. (2)若动直线l:y=kx+m与椭圆C有且只有一个交点P,且 与直线x=4交于点Q,问:是否存在一个定点M(t,0),使 得 =0②?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说 明理由. 【题眼直击】 题眼 思维导引 ① |AF|=a-c=1 ② 利用数量积公式建立方程, 由恒等式的性质求解 【解析】(1)由c=1,a-c=1,得a=2,所以b= , 故椭圆C的标准方程为 (2)由 消去y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0, 所以Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=0,即m2=3+4k2. 设P(x0,y0),则x0= y0=kx0+m= 因为M(t,0),Q(4,4k+m), 所以 所以 ·(4-t)+ ·(4k+m)=t2-4t +3+ (t-1)=0恒成立,故 即t=1. 所以存在点M(1,0)符合题意. 【拓展提升】 存在性问题的求解方法 (1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性 问题明朗化.其步骤为:假设满足条件的元素(点、直线、 曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系 数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲 线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不 存在. (2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法. 【变式训练】 (2015·北京高考)已知椭圆C: =1(a>b>0)的离 心率为 ,点P(0,1)和点A(m,n)(m≠0)都在椭圆C上, 直线PA交x轴于点M. (1)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示). (2)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于 点N,问:y轴上是否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在, 求点Q的坐标;若不存在,说明理由. 【解析】(1)椭圆 =1(a>b>0)过P(0,1),所 以b2=1, 离心率e= 所以椭圆方程为 +y2=1. 因为P(0,1),A(m,n), 所以直线PA的方程为y-1= x,直线PA与x轴交于M,令 y=0,则xM= ,所以M (2)因为P(0,1),B(m,-n),所以直线PB的方程为y-1= ,直线PB与x轴交于N,令y=0,则xN= ,所以 N 设Q(0,y0),tan∠OQM= tan∠ONQ= 因为∠OQM=∠ONQ,所以tan∠OQM=tan∠ONQ, 所以 所以 所以y0=± . 因此,存在点Q(0,± ),使∠OQM=∠ONQ. 考向三 探究是否存在直线的问题 【例3】(2019·淮北二模)已知椭圆C: =1 (a>b>0)的右焦点为F2(2,0),点 在椭圆C 上①． (1)求椭圆C的标准方程. (2)是否存在斜率为-1的直线l②与椭圆C相交于M,N两点, 使得|F1M|=|F1N|(F1为椭圆的左焦点)?若存在,求出直 线l的方程;若不存在,说明理由. 【题眼直击】 题眼 思维导引 ① 想到点的坐标适合方程或满足椭圆的定义 ② 想到直线的斜截式方程 【解析】(1)方法一:因为椭圆C的右焦点为F2(2,0), 所以c=2,椭圆C的左焦点为F1(-2,0). 由椭圆的定义可得2a= 解得a= , 所以b2=a2-c2=6-4=2. 所以椭圆C的标准方程为 =1. 方法二:因为椭圆C的右焦点为F2(2,0), 所以c=2,故a2-b2=4, 又点P 在椭圆C上,则 =1, 故 化简得3b4+4b2-20=0,得b2=2,a2=6. 所以椭圆C的标准方程为 =1. (2)假设存在满足条件的直线l,设直线l的方程为y=-x+t, 由 得x2+3(-x+t)2-6=0, 即4x2-6tx+(3t2-6)=0, Δ=(-6t)2-4×4×(3t2-6)=96-12t2>0, 解得-2