轨迹与方程问题
考向一 直接法求轨迹方程
【例1】(2019·全国卷Ⅱ)已知点A(-2,0),B(2,0),
动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为- ① .
记M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程,并说明C是什么曲线.
(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限
,PE⊥x轴,垂足为E,连结QE并延长交C于点G.
（ⅰ）证明：△PQG是直角三角形；②
（ⅱ）求△PQG面积的最大值.③
【题眼直击】
题眼 思维导引
① 利用斜率之间的关系建立等量关系式
② 想到斜率之积为-1,则两直线垂直
③ 利用均值不等式或函数单调性求最值
【解析】
(1)由题设得 ,化简得 (|x|≠2),
所以C为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左
右顶点.
(2)(ⅰ)设直线PQ的斜率为k,则其方程为y=kx(k>0).
由 得x=± .记u= ,
则P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0).于是直线QG的斜率
为 ,方程为y= (x-u).由
得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0.①
设G(xG,yG),则-u和xG是方程①的解,故xG=
由此得yG= .从而直线PG的斜率为
所以PQ⊥PG,即△PQG是直角三角形.
(ⅱ)由(ⅰ)得|PQ|=2u ,|PG|=
所以△PQG的面积S=
设t=k+ ,则由k>0得t≥2,当且仅当k=1时取等号.
因为S= 在[2,+∞)单调递减,所以当t=2,
即k=1时,S取得最大值,最大值为 .
因此,△PQG面积的最大值为 .
【拓展提升】
直接法求轨迹方程的一般步骤
(1)建立恰当的直角坐标系;
(2)设出所求曲线上点的坐标,把几何条件或等量关系
用坐标表示为代数方程;
(3)化简整理这个方程,检验并说明所求的方程就是曲
线的方程.
直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量
关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性.通常将步
骤简记为:“建系、设点、列式、化简”.
【变式训练】
(2019·郑州一模)已知动点P到定点F(1,0)和直线l:
x=2的距离之比为 ,设动点P的轨迹为曲线E,过点
F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A,B两点,直线
l:y=mx+n与曲线E交于C,D两点,与线段AB相交于一
点.(与A,B不重合)
(1)求曲线E的方程.
(2)当直线l与圆x2+y2=1相切时,四边形ACBD的面积是否
有最大值,若有,求出其最大值,及对应的直线l的方程;
若没有,请说明理由.
【解析】(1)设点P(x,y),由题意可得,
整理可得: +y2=1.故曲线E的方程是 +y2=1.
(2)设C(x1,y1),D(x2,y2),由已知可得:|AB|= ,
当m=0时,不合题意.
当m≠0时,由直线l与圆x2+y2=1相切,可得:
=1,即m2+1=n2,
联立
消去y得(m2+ )x2+2mnx+n2-1=0.
Δ=4m2n2-4 (n2-1)=2m2>0,
x1=
所以,x1+x2= ,x1x2= ,
|AB||x2-x1|=
当且仅当2|m|= ,
即m=± 时等号成立,此时n=± .
经检验可知,直线y= x- 和直线y=- x+
符合题意. 直线y= x+ 和直线y=- x- 不与
AB线段相交,故舍去.
考向二 定义法求轨迹方程
【例2】(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：
(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切①，
求动圆圆心M的轨迹方程②．
(2)如图，已知△ABC的两顶点坐标
A(－1，0)，B(1,0)，
圆E是△ABC的内切圆③，在边AC，BC，AB上的切点分别
为P，Q，R，|CP|＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长
相等)，动点C的轨迹为曲线M.求曲线M的方程．
【题眼直击】
题眼 思维导引
① 想到两圆相外切的条件
② 想到利用圆锥曲线的定义求方程
③ 想到利用相切的性质及椭圆的定义求解
【解析】(1)如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切
于点A和点B,则有|MC1|-|AC1|=|MA|,
|MC2|-|BC2|=|MB|.
又|MA|=|MB|,所以|MC2|-|MC1|
=|BC2|-|AC1|=3-1=2,
即动点M到两定点C2,C1的距离的差是常数2,且
2|MC1|,
故动圆圆心M的轨迹为以定点C2,C1为焦点的双曲线的左
支,则2a=2,所以a=1.
又c=3,则b2=c2-a2=8.
设动圆圆心M的坐标为(x,y),则动圆圆心M的轨迹方程
为x2- =1(x≤-1).
(2)由题知|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=
2|CP|+|AB|=4>|AB|,所以曲线M是以A,B为焦点,
长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点).
设曲线M: =1(a>b>0,y≠0),
则a2=4,b2=a2- =3,
所以曲线M的方程为: =1(y≠0).
【拓展提升】
定义法求轨迹方程的步骤
(1)判断动点的运动轨迹满足某种曲线的定义.
(2)设标准方程,求方程中的基本量.
(3)求轨迹方程.
【变式训练】
(2016·全国卷Ⅰ)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l
过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC
的平行线交AD于点E.
(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程.
(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且
与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积
的取值范围.
【解析】(1)圆A整理为(x+1)2+y2=16,点A坐标为
(-1,0),如图,
因为BE∥AC,则∠ACB=∠EBD,由|AC|=|AD|,则
∠ADC=∠ACD,所以∠EBD=∠EDB,则|EB|=|ED|,
所以|AE|+|EB|=|AE|+|ED|=|AD|=4.
所以E的轨迹为一个椭圆,方程为 =1(y≠0);
(2)C1: =1;设l:x=my+1,
因为PQ⊥l,设PQ:y=-m(x-1),联立l与椭圆C1,
得(3m2+4)y2+6my-9=0;
则|MN|= |yM-yN|
圆心A到PQ距离d=
所以|PQ|=
所以SMPNQ= |MN|·|PQ|=
∈[12,8 ).
考向三 相关点(代入)法求轨迹方程
【例3】设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，①且
②，当点P在y轴上运动时，求点N的
轨迹方程．
【题眼直击】
题眼 思维导引
① M点纵坐标为0,P点横坐标为0
② 通过向量的运算找到三点坐标之间的关系
【解析】设M(x0,0),P(0,y0),N(x,y),
因为 =(x0,-y0), =(1,-y0),
所以(x0,-y0)·(1,-y0)=0,即x0+ =0.
由 得(x-x0,y)=2(-x0,y0),
所以
所以-x+ =0,即y2=4x.
故所求的点N的轨迹方程是y2=4x.
【拓展提升】
相关点法求轨迹方程的步骤
(1)与动点N(x,y)相关的点P(x0,y0)在已知曲线上运动.
(2)寻求关系式x0=f(x,y),y0=g(x,y).
(3)将x0,y0代入已知曲线方程.
(4)整理关于x,y的关系式得N的轨迹方程.
【变式训练】一种作图工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,
短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的
栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3.当栓子D在滑槽
AB内作往复运动时,带动N绕O转动一周(D不动时,N也不动
),M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点,AB所在的直线
为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.
求曲线C的方程.
【解析】设点D(t,0)(|t|≤2),N(x0,y0),
M(x,y),依题意,
所以(t-x,-y)=2(x0-t,y0),且
即
且t(t-2x0)=0.
由于当点D不动时,点N也不动,所以t不恒等于0,
于是t=2x0,故x0= ,y0=- ,
代入 =1,可得 =1.
即所求的曲线C的方程为 =1.
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