数学文化
考向一 数列中的数学文化(保分题型考点)
【题组通关】
1.(2019·合肥模拟)中国古代数学名著《九章算术》
中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之
粟五斗.羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半
牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有
牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.
羊主人说:“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主
人说:“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此
比率偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人
各应偿还粟a升,b升,c升,1斗为10升,则下列判断正确
的是 ( )
A.a,b,c成公比为2的等比数列,且a=
B.a,b,c成公比为2的等比数列,且c=
C.a,b,c成公比为 的等比数列,且a=
D.a,b,c成公比为 的等比数列,且c=
【解析】选D.由题意可得,a,b,c成公比为 的等比数
列,b= a,c= b,三者之和为50升,故4c+2c+c=50,
解得c= .
2.(2019·江西七校联考)《九章算术》之后,人们学会
了用等差数列的知识来解决问题,《张丘建算经》卷上
第22题为:“今有女善织,日益功疾(注:从第2天开始,
每天比前一天多织相同量的布),第一天织5尺布,现一
月(按30天计)共织390尺布”,则从第2天起每天比
前一天多织________尺布. ( )
【解析】选D.每天织布数依次构成一个等差数列{an},
其中a1=5,设该等差数列的公差为d,则一月织布总数为
S30=30×5+ d=150+435d=390,解得d=
3.在《九章算术》中记载着一道关于“持金出关”的
题目,大意是:“在古代出关要交关税.一天,某人拿钱
若干出关,第1关交所拿钱数的 ,第2关交所剩钱数
的 ,第3关交所剩钱数的 ,……”
①这个人在第6关交税的钱数是出第1关前钱数的
②这个人在第6关交税的钱数是出第1关前钱数的 ;
③这个人出了第8关后剩余的钱数是出第1关前钱数
的 ;
④这个人出了第8关后剩余的钱数是出第1关前钱数
的 .
其中说法正确的是 ( )
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
【解析】选D.设这个人出关前的钱数为a,第1关交税
a,即 第2关交税 即 第3关
交税 即 ……由此可知第6
关交税 故①错误,②正确;这个人过了第8关后
剩余的钱数为
= a,故③错误,④正确.
【拓展提升】
1.我国古代数学强调“经世济用”,注重算理算法,其
中很多问题可转化为等差数列、等比数列问题.
2.解题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题,
建立数列模型,进行数列的基本计算,利用方程思想求
解.
考向二 立体几何中的数学文化(保分题型考点)
【题组通关】
1.祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.“幂”是截面
积,“势”是几何体的高,意思是两个等高的几何体,若
在等高处截面的面积恒相等,则体积相等.已知某不规
则几何体与如下三视图所对应的几何体满足“幂势同
”,则该不规则几何体的体积为 ( )
A.4- B.8-
C.8-π D.8-2π
【解析】选C.由祖暅原理可知,该不规则几何体的体积
与已知三视图的几何体体积相等.根据题设所给的三视
图,可知题中的几何体是从一个正方体中挖去一个半圆
柱,正方体的体积为23=8,半圆柱的体积为 ×(π×
12)×2=π,因此该不规则几何体的体积为8-π.
2.《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称
之为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如图所示,俯
视图中虚线平分矩形的面积,则该“堑堵”的外接球的
表面积为 ( )
A.2π B.8π
C. π D.6+4 π
【解析】选B.根据几何体的三视图,
得到:该几何体是一个倒放的底面为直角三角形,高为2
的直三棱柱.故直角三角形的直角边为 .
所以:
该几何体的外接球直径为
所以:R= ,故S=4πR2=8π.
3.(2019·新乡模拟)《九章算术》是我国古代内容极
为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有刍甍,下广
三丈,袤四丈;上袤二丈,无广;高一丈,问:积几何?”其
意思为:“今有底面为矩形的屋脊状的楔体,下底面宽3
丈,长4丈;上棱长2丈,高一丈.问它的体积是多少?”
已知1丈为10尺,现将该楔体的三视图给出如图所示,其
中网格纸上小正方形的边长为1丈,则该楔体的体积为
( )
A.5 000立方尺
B.5 500立方尺
C.6 000立方尺
D.6 500立方尺
【解析】选A.该楔形的直观图如图中的几何体ABCDEF,
取AB的中点G,CD的中点H,连FG,GH,HF,则该几何体的体
积为四棱锥F -GBCH与三棱柱ADE -GHF的体积之和,而
三棱柱ADE -GHF可通过割补法得到一个高为EF,底面积
为S= ×3×1= 平方丈的一个直棱柱,故该楔形的体
积V= ×2+ ×2×3×1=5立方丈=5 000立方尺.
【拓展提升】
1.以祖暅原理,《九章算术》为背景,相应考查圆锥的
体积公式、三视图及其体积计算.既检测了考生的基础
知识和基本技能,又展示了中华民族的优秀传统文化.
2.三题很好地诠释了考试大纲中对数学文化内容的要
求,加强对中国优秀传统文化的考查,引导考生提高人
文素养、传承民族精神,树立民族自信心和自豪感,试
题的价值远远超出本身.
考向三 概率中的数学文化(保分题型考点)
【题组通关】
1.欧阳修在《卖油翁》中写道:“(翁)乃取一葫芦置于
地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不
湿”,可见卖油翁的技艺之高超.若铜钱直径4厘米,
中间有边长为1厘米的正方形小孔,随机向铜钱上滴一
滴油(油滴大小忽略不计),则油恰好落入孔中的概率是
( )
【解析】选D.易知铜钱的面积S=π×22=4π,铜钱小孔
的面积S0=1.根据几何概型,所求概率
2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:
粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米内夹谷,抽
样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约
为 ( )
A.134石 B.169石
C.338石 D.1 365石
【解析】选B.由分层抽样的含义,该批米内夹谷约为
×1 534≈169(石).
3.一种电子计时器显示时间的方式如图所示,每一个数
字都在固定的全等矩形“显示池”中显示,且每个数字
都由若干个全等的深色区域“ ”组成.已知在一个
显示数字8的显示池中随机取一点A,点A落在深色区域
内的概率为 ,若在一个显示数字0的显示池中随机取
一点B,则点B落在深色区域内的概率为 ( )
【解析】选C.由于数字“8”是由7个深色区域组成,由
P(A)= 得整个矩形显示池的面积为14个深色区域的
面积,而数字“0”是由6个深色区域组成,则P(B)=
【拓展提升】
在概率中渗透数学文化,往往会让数学的人文性和思想
价值充分体现,同时能够对学生形成积极的引导,进而
提升他们的数学文化素养以及逻辑推理的核心素养.
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