2020高考理科数学二轮专题辅导通用版课件：高考专题 解析几何 最值与范围问题

最值与范围问题 考向一 圆锥曲线中的最值问题 【例1】(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy中,椭 圆E: =1(a>b>0)的离心率为 ，焦距为2.① (1)求椭圆E的方程. (2)如图,动直线l:y=k1x- 交椭圆E于A,B两点,C是椭 圆E上一点,直线OC的斜率为k2,且k1k2= ,M是线段OC 延长线上一点,且|MC|∶|AB|=2∶3，②圆M的半径为 |MC|,OS,OT是圆M的两条切线,切点分别为S,T,求∠SOT 的最大值③,并求取得最大值时直线l的斜率. 【题眼直击】 题眼 思维导引 ① e= ,2c=2 ② 想到弦长公式的应用 ③ 想到换元及二次函数思想求最值 【解析】(1)由题意知: 所以a= , 所以椭圆E的方程为 +y2=1. (2)联立: 得:(1+2 )x2-2 k1x- =0, 所以x1+x2= ,x1·x2= 所以|AB|= 因为|CM|∶|AB|=2∶3, 所以|CM|= 联立: 所以x= 所以OC= OM=OC+CM= 因为k1k2= 所以 所以OC= 设θ=∠SOM, 所以sin θ 所以sin θ= 令t= 所以原式= 所以t= 时取最大值,此时k1=± ;此时sin θ最大 值为 ,即θ=30°,∠SOT=60°. 【拓展提升】圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法 灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是利用几何 方法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几 何中的定理、性质等进行求解;二是利用代数方法, 即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些 )参数的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式 方法等进行求解. 【变式训练】 已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为 ,两焦点与 短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为 . (1)求椭圆C的方程. (2)设与圆O:x2+y2= 相切的直线l交椭圆C于A,B两点 (O为坐标原点),求△AOB面积的最大值. 【解析】(1)由题设:e= bc= ,a2-b2=c2, 解得a2=3,b2=1, 所以椭圆C的方程为 +y2=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2) ①当AB⊥x轴时,|AB|= . ②当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m, 由已知 得m2= (k2+1). 把y=kx+m代入椭圆方程消去y, 整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0, 有x1+x2= ,x1x2= |AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+k2(x1-x2)2= (1+k2)(x1-x2)2 =(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] =(1+k2) 当且仅当9k2= ,即k=± 时等号成立. 当k=0时,|AB|= , 综上所述,|AB|max=2,从而△AOB面积的最大值为 . 考向二 圆锥曲线中的范围问题 【例2】(2018·浙江高考)如图,已知点P是y轴左侧(不 含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足 PA,PB的中点均在C上. (1)设AB中点为M①，证明:PM垂直于y轴. (2)若P是半椭圆x2+ =1(x