人教版高中数学必修2 2.2.2平面与平面平行的判定课件

点、直线、平面之间的位置关系 第二章 2.2 直线、平面平行的判定及其性质 第二章 2.2.2 平面与平面平行的判定 互动课堂2 随堂测评3 课后强化作业4 预习导学1 预 习 导 学 ●课标展示 1．理解并掌握平面与平面平行的判定定理，明确定理中 “相交”两字的重要性． 2．能利用判定定理解决有关面面平行问题． ●温故知新 旧知再现 1．两个平面之间的位置关系：____________，两平面之 间的位置关系依据________________来划分的． 2．a∥b，b⊂α，______则a∥α(线面平行的判定定理)． 3．判定线面平行的方法有：定义和________定理，虽然 可以用定义判定，但不易操作，所以常用判定定理，转化为证 明“线线平行”，体现了“空间问题平面化”的基本思想． 相交和平行 公共点的个数 a⊄α 判定 4．长方体ABCD－A′B′C′D′中，E、F分别是平面ABCD、 平面A′B′C′D′的中心，长方体的6个面中与EF平行的有(  ) A．1个   B．2个   C．3个   D．4个 [答案] D 5．若直线m不平行于平面α，且m⊄α，则下列结论成立的 是(  ) A．α内的所有直线与m异面 B．α内不存在与m平行的直线 C．α内存在唯一的直线与m平行 D．α内的直线与m都相交 [答案] B 新知导学 平面与平面平行的判定定理 相交 平行 a∩b＝P 平行 [破疑点] 平面与平面平行的判定定理告诉我们，可以通 过直线与平面平行来证明平面与平面平行．通常我们将其记为： 线面平行，则面面平行．因此处理面面平行(即空间问题)转化 为处理线面平行，进一步转化为处理线线问题(即平面问题)来 解决，以后证明平面与平面平行，只要在一个平面内找到两条 相交直线和另一个平面平行即可． 关于判定两平面平行的另一种方法：若一个平面内的两条 相交直线与另一个平面内的两条相交直线对应平行，则这两个 平面平行． ●自我检测 1．点P是平面α外一点，过点P且平行于平面α的平面有(   ) A．0个   B．1个   C．2个   D．无数个 [答案] B 2．在如图所示的几何体中，三个侧面AA1B1B，BB1C1C， CC1A1A都是平行四边形．则平面ABC与平面A1B1C1平行吗？ ________(填“是”或“否”)． [答案] 是 3．已知三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是棱PA，PB， PC的中点．求证：平面DEF∥平面ABC. [证明] 如图所示，在△PAB中， 因为D，E分别是PA，PB的中点， 所以DE∥AB. 又AB⊂平面ABC，DE⊄平面ABC， 因此DE∥平面ABC. 同理，EF∥平面ABC. 又因为DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面ABC. 互 动 课 堂 平面与平面平行判定定理的理解 ●典例探究 ③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个 平面平行； ④一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则 这两个平面平行． A．①③        B．②④ C．②③④ D．③④ [解析] 如果两个平面没有任何一个公共点，那么我们就 说这两个平面平行，也即是两个平面没有任何公共直线． 对于①：一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行， 如果这两条直线不相交，而是平行，那么这两个平面相交也能 够找得到这样的直线存在． 对于②：一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行， 同①. 对于③：一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则 这两个平面平行．这是两个平面平行的定义． 对于④：一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平 行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的判定定理． 所以只有③④正确，选择D. [答案] D 规律总结：对面面平行的判定定理的理解 (1)定理可简记为：线面平行，则面面平行．这里的“线面 ”是指一个平面内的两条相交直线和另一个平面． (2)用该定理判定两个平面平行需同时满足5个条件： a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，a∥β，b∥β. a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面， 现给出六个命题． ①a∥c，b∥c⇒a∥b；②a∥γ，b∥γ⇒a∥b； ③α∥c，β∥c⇒α∥β；④α∥γ，β∥γ⇒α∥β； ⑤α∥c，a∥c⇒α∥a；⑥a∥γ，α∥γ⇒α∥a. 其中正确的命题是(  ) A．①②③ B．①④⑤ C．①④ D．①③④ [答案] C [解析] ①平行公理． ②两直线同时平行于一平面，这两条直线可相交、平行或 异面． ③两平面同时平行于一直线，这两个平面相交或平行． ④面面平行传递性． ⑤一直线和一平面同时平行于另一直线，这条直线和平面 或平行或直线在平面内． ⑥一直线和一平面同时平行于另一平面，这直线和平面可 平行也可能直线在平面内．故①④正确． 两个平面平行的判定的应用 [分析] 要证平面A1EB∥平面ADC1，只需证平面A1EB内 有两条相交直线平行于平面ADC1即可． [证明] 如图，由棱柱的性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC. 又D，E分别为BC，B1C1的中点， 所以C1E∥DB，C1E＝DB， 则四边形C1DBE为平行四边形， 因此EB∥C1D. 又C1D⊂平面ADC1，EB⊄平面ADC1， 所以EB∥平面ADC1. 连接DE，同理，EB1∥BD，EB1＝BD， 所以四边形EDBB1为平行四边形， 则ED∥B1B，ED＝B1B. 因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)， 所以ED∥A1A，ED＝A1A， 则四边形EDAA1为平行四边形， 所以A1E∥AD. 又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1， 所以A1E∥平面ADC1. 由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E⊂平面A1EB， EB⊂平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1. 规律总结：平面与平面平行的判定方法： (1)定义法：两个平面没有公共点； (2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一 个平面； (3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的 两条相交直线分别平行，则α∥β； (4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ. (2013～2014·江西上饶中学高一期末)如图，已知四棱锥P －ABCD的底面ABCD是平行四边形，点M，N，Q分别在PA， BD， PD上 ， 且 PM∶MA＝ BN∶ND＝ PQ∶QD， 求 证 ： 平 面 MNQ∥平面PBC. [证明] ∵在三角形PBD中，BN∶ND＝PQ∶QD， ∴QN∥PB，∴QN∥平面PBC， 同理PM∶MA＝PQ∶QD，∴MQ∥AD. 又底面ABCD是平行四边形，则AD∥BC， ∴MQ∥BC，∴MQ∥平面PBC. 而MQ∩NQ＝Q，MQ⊂平面MNQ，NQ⊂平面MNQ， ∴平面MNQ∥平面PBC. [分析] 解答本题应抓住BF∥面AEC.先找BF所在的平面平 行于平面AEC，再确定F的位置． 平行的综合问题 [解析] 如下图所示，连接BD交AC于O点，连接OE，过B 点作OE的平行线交PD于点G，过点G作GF∥CE，交PC于点F ，连接BF. ∵BG∥OE，BG⊄平面AEC，OE⊂平面AEC， ∴BG∥平面AEC.同理，GF∥平面AEC， 又BG∩GF＝G. ∴平面BGF∥平面AEC， 又∵BF⊂平面BGF， ∴BF∥平面AEC. ∵BG∥OE，O是BD中点， ∴E是GD中点． 又∵PE∶ED＝2∶1，∴G是PE中点． 而GF∥CE，∴F为PC中点． 综上，当点F是PC中点时，BF∥平面AEC. 规律总结：探索性问题，一般采用执果索因的方法， 假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立 的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在； 如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在． 如 图 所 示 ， 在 正 方 体 ABCD－ A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P 是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问： 当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面 PAO? [分析] 观察图形的特点，只需在两个平面中分别找到两 条相交直线互相平行，在CC1上选取中点Q恰好有AP∥BQ. [解析] 当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. ∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点， ∴QB∥PA.而QB⊄平面PAO，PA⊂平面PAO， ∴QB∥平面PAO. 连接DB，∵P，O分别为DD1，DB的中点， ∴PO为△DBD1的中位线， ∴D1B∥PO. 而D1B⊄平面PAO，PO⊂平面PAO， ∴D1B∥平面PAO. 又D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO. [错解] ∵E，F分别是AA1和BB1的中点，∴EF∥AB， 又EF⊄平面AC，AB⊂平面AC， ∴EF∥平面AC， 同理可证，HG∥平面AC. 又EF⊂平面 EG，HG⊂平面EG， ∴平面EG∥平面AC. [错因分析] 错解中，EF与HG是平面EG内的两条平行直 线，不是相交直线，不符合面面平行的判定定理的条件，因此 证明不正确． [正解] ∵E，F分别是AA1和BB1的中点， ∴EF∥AB，又EF⊄平面AC，AB⊂平面AC， ∴EF∥平面AC. 同理可证EH∥平面AC. 又EF⊂平面EG，EH⊂平面EG，EF∩EH＝E， ∴平面EG∥平面AC. [反思] 利用面面平行的判定定理证明两个平面平行时， 所满足的条件必须是明显或已经证明成立的，并且要与定理条 件保持一致，否则证明不正确． (2013～2014·肇庆高一检测)已知P是 ▱ABCD所在平面外一点．E，F，G分别是 PB，AB，BC的中点． 证明：平面PAC∥平面EFG. [分析] (1)平面与平面平行的定义是什么？在应用平面与 平面平行的判定定理时，容易忽视哪个条件？ (2)用判定定理证明平面与平面平行时，关键是什么？ [证明] 因为EF是△PAB的中位线， 所以EF∥PA. 又EF⊄平面PAC，PA⊂平面PAC， 所以EF∥平面PAC. 同理可让EG∥平面PAC， 又EF⊂平面EFG，EG⊂平面EFG，EF∩EG＝E， 所以平面PAC∥平面EFG. 随 堂 测 评 1．六棱柱的表面中，互相平行的面最多有(  ) A．2对        B．3对 C．4对 D．5 [答案] C [解析] 底面为正六边形的六棱柱，互相平行的面最多． 2．若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行， 则这两个平面的公共点个数(  ) A．有限个 B．无限个 C．没有 D．没有或无限个 [答案] D [解析] 两平面相交或平行，故选D. 3．已知一条直线与两个平行平面中的一个相交，则它必 与另一个平面(  ) A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．平行或在平面内 [答案] B 4．若a，b，c，d是直线，α，β是平面，且a、b⊂α，c、 d⊂β，且a∥c，b∥d，则平面α与平面β(  ) A．平行 B．相交 C．异面 D．不能确定 [答案] D 5．如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方 形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何 体中，给出下面四个结论： ①平面EFGH∥平面ABCD； ②平面PAD∥BC； ③平面PCD∥AB； ④平面PAD∥平面PAB. 其中正确的有________．(填序号) [答案] ①②③ [解析] 把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB ，所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD，所以平面 EFGH∥平面ABCD；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面 PDC均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交．∵AB∥CD，∴ 平面PCD∥AB.同理平面PAD∥BC. 6．(2013·陕西)如图，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1，证明： 平面A1BD∥平面CD1B1. [分析] 结合棱柱的特征，在其中一个平面内找到两条相 交直线与另一平面平行即可．