高中人教版必修2数学2.3.3直线与平面垂直的性质课件ppt

第二章 2.3.3 直线与平面垂直的性质 优 效 预 习 1．直线垂直于平面的定义：如果一条直线垂直于一个 平面内的__________一条直线，则称这条直线垂直于这个平面 ． 2．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线垂直于 一个平面内的两条________直线，则这条直线垂直于这个平面 ． ●知识衔接 任意 相交 3．如图，长方体AC1中，二面角D1－AB－D的平面角是 (  ) A．∠D1AB B．∠D1BA C．∠D1AD D．∠D1DA [答案] C 4．把等腰Rt△ABC沿斜边BC上的高线AD折成一个二面 角，此时∠BAC＝60°，那么此二面角的大小是________. [答案] 90° 直线与平面垂直的性质定理 ●自主预习 平行 a∥b 平行 如 图 所 示 ， 在 长 方 体 ABCD－ A1B1C1D1中 ， E∈平 面 ABCD， F∈平 面 A1B1C1D1，且EF⊥平面ABCD． 求证：EF∥AA1. [分析] 只需证明AA1⊥平面ABCD即可． [证明] ∵AA1⊥AB，AA1⊥AD，且AB∩AD＝A，AB⊂平 面ABCD，AD⊂平面ABCD， ∴AA1⊥平面ABCD． 又∵EF⊥平面ABCD， ∴EF∥AA1. 规律总结：证明线线平行可转化为线面垂直，即转 化为证明这两条直线同时垂直于一个平面． 高 效 课 堂 如图，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面 直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1. 利用线面垂直的性质证明平行问题 ●互动探究 [探究]  要证明EF∥BD1，转化为证明EF⊥平面AB1C， BD1⊥平面AB1C． 规律总结：当题中垂直条件很多，但又需证两直线 平行关系时，就要考虑直线和平面垂直的性质定理，从而完成 垂直向平行的转化． 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一 点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC． 求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点． [分析] (1)证明MN∥AD1，转化为证明AD1⊥平面A1DC ，MN⊥平面A1DC． (2)利用平行公理和三角形的中位线定理证四边形AMNO 为平行四边形． [证 明 ]  (1)因 为 四 边 形 ADD1A1为 正 方 形 ， 所 以 AD1⊥A1D． 又因为CD⊥平面ADD1A1， 所以CD⊥AD1. 因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC． 又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1. (2)如图，设AD1与A1D的交点为O，连接ON，在△A1DC 中，A1O＝OD，A1N＝NC， 已 知 α∩β＝ AB， PQ⊥α于 Q， PO⊥β于 O， OR⊥α于R. 求证：QR⊥AB． [探究] 证AB与QR所在的平面垂直，再根据线面垂直 的定义，即可证明QR⊥AB． 利用线面垂直的性质证明垂直问题 如图，已知矩形ABCD，SA⊥平面AC， AE⊥SB于E，EF⊥SC于F. (1)求证：AF⊥SC； (2)若 SD交 平 面 AEF于 G， 求 证 ： AG⊥SD．[分析] (1)要证明AF⊥SC，转化成证明SC⊥平面AEF，充 分利用其中的垂直关系． (2)要证AG⊥SD，转化成AG⊥平面SDC． [证 明 ]  (1)因 为 SA⊥平 面 AC， BC⊂平 面 AC， 所 以 SA⊥BC． 因为ABCD是矩形，所以AB⊥BC． 又SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB．因为AE⊂平面SAB ，所以BC⊥AE. 又SB⊥AE，SB∩BC＝B，所以AE⊥平面SBC． 因为SC⊂平面SBC，所以AE⊥SC． 又EF⊥SC，EF∩AE＝E，所以SC⊥平面AEF. 所以AF⊥SC． (2)因为SA⊥平面AC，所以SA⊥DC． 又AD⊥DC，SA∩AD＝A，所以DC⊥平面SAD．因为 AG⊂平面SAD，所以DC⊥AG. 又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂平面AEF. 所以SC⊥AG.又SC∩DC＝C，所以AG⊥平面SDC．因为 SD⊂平面SCD， 所以AG⊥SD． 如右图所示，在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD ＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC． (1)求证：D1C⊥AC1； 线面垂直的性质的综合应用 ●探索延拓 (2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD ，并说明理由． [探究] (1)关键先证明线面垂直，然后证明线线垂直；(2) 关键构造中位线得线面平行． [解析] (1)证明：连接C1D． ∵DC＝DD1，∴四边形DCC1D1是正方形，∴DC1⊥D1C． ∵AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D， ∴AD⊥平面DCC1D1，D1C⊂平面DCC1D1，∴AD⊥D1C． 又AD∩DC1＝D，∴D1C⊥平面ADC1. 又AC1⊂平面ADC1，∴D1C⊥AC1. (2)如图，连接AD1、AE、D1E， 设AD1∩A1D＝M，BD∩AE＝N，连接MN. ∵平面AD1E∩平面A1BD＝MN， 要使D1E∥平面A1BD， 须使MN∥D1E，又M是AD1的中点， ∴N是AE的中点． 又易知△ABN≌△EDN，∴AB＝DE. 即E是DC的中点． 综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD． 规律总结：线面垂直与平行的相互转化： (1)空间中直线与直线垂直、直线与平面平行、直线与直 线平行可以相互转化，每一种垂直与平行的判定都是从某种垂 直与平行开始转化为另一种垂直与平行，最终达到目的． 如图，已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形， 且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的 中点． (1)求证：MF∥平面ABCD； (2)求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1. (2)连接BD， 由直四棱柱ABCD－A1B1C1D1， 可知A1A⊥平面ABCD． 又∵BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD． ∵四边形ABCD是菱形，故AC⊥BD． 又∵AC∩A1A＝A， AC，A1A⊂平面ACC1A1， ∴BD⊥平面ACC1A1. 在四边形DANB中，DA∥BN，且DA＝BN，所以四边形 DANB为平行四边形，故NA∥BD． ∴NA⊥平面ACC1A1. 又NA⊂平面AFC1， ∴平面AFC1⊥平面ACC1A1. 已知a⊄α，a⊥b，b⊥α，求证a∥α. [错解] ∵b⊥α，a⊥b，∴a⊂α或a∥α. 又∵a⊄α，∴a∥α. [错因分析] 推理逻辑不严密，理由与结论衔接不恰当 ． [思路分析] 本题垂直关系比较分散，不能按平面几何 的方法进行论证，应将其集中到一个平面内，然后用平面几何 知识解决． 易错点 证明说理过程不清晰，理由与结论衔接不恰当 ●误区警示 [正解] 如图，在a上任取一点A，过点A作直线b′∥b.设 b′∩α＝B，过直线a，b′作平面β，β∩α＝l. ∵b⊥α，∴b⊥l. 又∵b⊥a，b∥b′， ∴b′⊥a，b′⊥l. 又∵a，l同在β内， ∴a∥l. 又∵a⊄α，l⊂α，∴a∥α. 如图，设平面α与β相交于直线l，AC⊥α，BD⊥β，垂足 分别为C、D，直线AB⊥AC，AB⊥BD， 求证：AB∥l. [证明] ∵AC⊥α，BD⊥β，α∩β＝l，∴AC⊥l，BD⊥l ； 过A作AE⊥β垂足为E，则AE∥BD， ∵AB⊥BD，∴AB⊥AE，∴AB⊥平面ACE； ∵AE⊥β，α∩β＝l，∴AE⊥l， 又AC⊥l，∴l⊥平面ACE，∴AB∥l. 规律总结：要证线线平行，不具备公理4的条件，没 有线面平行、面面平行关系好用，给出的条件多为垂直关系， 于是想到应用线面垂直的性质定理，只须找到这样一个平面γ 、l⊥γ、AB⊥γ，于是作辅助线围绕找γ展开． 当 堂 检 测 1．下列说法中不正确的是(  ) A．若一条直线垂直于一个三角形的两边，则一定垂直 于第三边 B．同一个平面的两条垂线一定共面 C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直， 且这些直线都在同一个平面内 D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 [答案] D 2．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推 出a∥b的是(  ) A．b∥α B．b⊂α C．b⊥α D．b∩α＝A [答案] C 3．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列四个说 法中正确的是(  ) ①α∥β⇒l⊥m； ②α⊥β⇒l∥m； ③l∥m⇒α⊥β； ④l⊥m⇒α∥β. A．②④ B．①② C．③④ D．①③ [答案] D 4.已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示， 且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________. [答案] 6 [解析] 因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以 AF∥DE，又AF＝DE，所以四边形AFED是平行四边形，所以 EF＝AD＝6. 5.如图，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面 ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中点． 求证：(1)DF∥平面ABC； (2)AF⊥BD． (2)由(1)知CG⊥GF，又CG⊥AB， ∴CG⊥面ABE， ∴CG⊥AF，DF∥CG，∴AF⊥DF 在Rt△ABE中，AF⊥BE， ∴AF⊥面BDF，∴AF⊥BD．