人教版高中数学必修2 4.2.3直线与圆的方程的应用课件ppt

4．2.3 直线与圆的方程的应用 4．2.3 直线与圆的方程的应用 1．已知圆 C 与圆(x－1)2＋y2＝1 关于直线 y＝－x 对称，则 圆 C 的方程为( )C A．(x＋1)2＋y2＝1 B．x2＋y2＝1 C．x2＋(y＋1)2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1 解析：半径相等，找圆心的对称点即可． 2．一个以原点为圆心的圆与圆 x2＋y2＋8x－4y＝0 关于直 线 l 对称，则直线 l 的方程为____________. 解析：直线 l 是原点和(－4,2)连线的垂直平分线． 3．已知 A 点是圆 x2＋y2－2ax＋4y－6＝0 上任一点，A 点 关于直线 x＋2y＋1＝0 的对称点也在圆上，那么实数 a 等于__. 解析：直线 x＋2y＋1＝0 过圆心． 4．若直线 3x＋4y＋m＝0 与圆 x2＋y2－2x＋4y＋4＝0 没有 公共点，则实数 m 的取值范围是_____________________． 2x－y＋5＝0 3 (－∞，0)∪(10，＋∞) 重点 圆的切线与弦长 1．切线： (1)过圆 x2＋y2＝R2 上一点 P(x0，y0)的切线方程是：xx0＋ yy0 ＝R2，过圆(x－a)2＋(y－b)2＝R2 上一点 P(x0，y0)的切线方程是： (x－a)(x0－a)＋(y－a)(y0－a)＝R2，一般地，求圆的切线方程应抓 住圆心到直线的距离等于半径； (2)从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程， 再根据相切的条件，运用几何方法(抓住圆心到直线的距离等于 半径)来求； (3)过两切点的直线(即“切点弦”)方程的求法：当过两切点 的切线有交点时，先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的 圆，该圆与已知圆的公共弦所在直线方程就是过两切点的直线 方程．当过两切点的切线平行时，切点弦就是已知圆的直径． 2．弦长问题： 弦长问题 例 1：根据下列条件求圆的方程：与 y 轴相切，圆心在直线 x－3y＝0 上，且直线 y＝x 截圆所得弦长为 . 思维突破：研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解 方程思想，又要重视几何性质及定义的运用. 关于圆的弦长问题，可用几何法从半径、 弦心距、半弦所组成的直角三角形求解，也可用代数法弦长公 式求解． 解得 b＝±1. 故所求圆方程为 (x－3)2＋(y－1)2＝9 或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9. 解：∵圆与 y 轴相切，且圆心在直线 x－3y＝0 上， 故设圆的方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2. 长为 8, 求此弦所在直线方程． 即 3x＋4y＋15＝0. 当斜率 k 不存在时，过点 P 的直线方程为 x＝－3， 代入 x2＋y2＝25，得 y1＝4，y2＝－4. 弦长为|y1－y2|＝8，符合题意． ∴所求直线方程为 x＋3＝0 或 3x＋4y＋15＝0. 切线问题 例 2：如图 1，自点 A(－3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射光线 m 所在直线与圆 C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0 相切，求光线 l 与 m 所在直线的方程． 图 1 解：圆 C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0 的标准方程为(x－2)2＋(y －2)2＝1，圆 C 关于 x 轴的对称圆 C′的方程为(x－2)2＋(y＋2)2 ＝1. 设光线 l 所在直线的方程为 y－3＝k(x＋3)． 依题意，它是圆 C′的切线，从而点 C′到直线 l 的距离为 (x＋3)，即 3x＋4y－3＝0 或 4x＋3y＋3＝0. 同理可求得过点 A′(－3，－3)的圆 C 的切线方程 3x－4y －3＝0 或 4x－3y＋3＝0， 即为所求光线 m 所在直线的方程． 解题时需注意的问题是：直线的点斜式适用 于斜率存在的情况，由图知此题中，入射光线所在直线应有两 条，若 k 只有一解，应考虑 k 不存在的情况． 16 3 解析：设过点(7,5)且与圆相切的直线方程为 y－5＝k(x－7)， 即 kx－y＋5－7k＝0， 2－1.坐标平面上点(7,5)处有一光源，将圆 x2＋(y－1)2＝1 投射到 x 轴所得的影长为______. 最值问题 例 3：已知实数 x、y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0.求： (2)y－x 的最小值； (3)x2＋y2 的最大值和最小值． 思维突破：方程 x2＋y2－4x＋1＝0 表示以点(2,0)为圆心， －x 可看作直线 y＝x＋b 在 y 轴上的截距，x2＋y2 是圆上一点与 原点距离的平方，可借助平面几何的知识，利用数形结合求解． 解：(1)如图 2. 方程 x2＋y2－4x＋1＝0 表示以点(2,0)为圆心，以 为半径 的圆． 图 2 圆心(2,0)到直线 y＝kx 的距离为半径时直线与圆相切，这时 斜率取得最大、最小值． 直线 OP 的倾斜角为 60°，直线 OP′的倾斜角为 120°) 于第四象限时，纵轴截距 b 取最小值． 涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性 质，利用数形结合求解，一般地： 最值问题． (2)形如 t＝ax＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距 的最值问题． (3)形如(x－a)2＋(y－b)2 形式的最值问题，可转化圆心已定 的动圆半径的最值问题． 解：方程 x2＋y2＋4x＋3＝0 可化为(x＋2)2＋y2＝1，其表示 以 C(－2,0)为圆心，1 为半径的圆． 设y－2 x－1＝k，其几何意义为：圆 C 上的点 P(x，y)与点 Q(1,2) 连线的斜率． 将y－2 x－1＝k 变形为 PQ：kx－y－k＋2＝0， 有考虑变量的取值范围． 半圆有两个交点，b 为直线在 y 轴上的截距， 图 3 共点，求 b 的取值范围． 4－1.(2010 年江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x2＋ y2＝4 上有且仅有四个点到直线 12x－5y＋c＝0 的距离为 1，则 实数 c 的取值范围是_________．(－13,13) 小于 1，|c| 13