高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系期末复习ppt课件

人教A必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系 3种关系 3种问题 角度问题 平行问题 垂直问题 直线和平面 的位置关系 平面和平面 的位置关系 直线和直线 的位置关系 知识网络 直线和直线的位置关系 3种关系 分类 位置关系 定义 公共点 共面直线 相交直线 有且仅有一 个公共点 有公共点 平行直线 共面且没有 公共点 异面直线 异面直线 不同在任何 一个平面内 没有公共 点 共面直线 2个平面的位置关系 3种关系 位置关系 定义 公共点个数 两个平面平行 没有公共点 0个 两个平面相交 有一条公共直线 无数 直 线 和 平 面 的 位 置 关 系 3种关系 1、直线在平面α外，则二者的公共点个数是（ ） A.一个 B.至少一个 C.至多一个 D.无数个 C 练习 2、两条直线没有公共点，则它们的关系是（ ） 平行或异面 线 面 平 行 线 线 平 行 面 面 平 行 判定判定11：： 如果平面外一条直线与平面内的一条直线平如果平面外一条直线与平面内的一条直线平 行，则这条直线和这个平面平行。行，则这条直线和这个平面平行。 判定判定22：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面 平行，则这平行，则这22个平面平行个平面平行 平行问题3种问题 判定1 判定2 性质1 性质2 线 面 平 行 线 线 平 行 面 面 平 行 性质性质11：： 如果直线如果直线aa与平面与平面αα平行，若经过平行，若经过aa的平面的平面ββ与与αα 的交线为的交线为bb，则，则aa∥∥bb 性质性质22：如果：如果22个平面平行，则它们被第三个平面所截个平面平行，则它们被第三个平面所截 得的两条交线平行得的两条交线平行 平行问题3种问题 判定1 判定2 性质1 性质2 如果平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线和如果平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线和 这个平面平行。这个平面平行。 直线与平面平行的判定定理 a b α 平行问题3种问题 注意3个条件要写全 a 线∥线的证明是关键！ 如何证明两条直线平行？ (1)利用三角形的中位线; (3)平行的传递性 (2)利用平行四边形； 平行问题3种问题 平行的传递性： a∥ b， a∥ c，则b∥ c 如何证明一个四边形是平行四边形？ （1）一组对边平行且相等； （2）两组对边分别平行 平行问题3种问题 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平 行四边形，E、F是所在侧棱中点， 求证：EF∥平面PAB 证明：设PA的中点为M，连接ME,MB, 在△PAD中，ME平行且等于AD的一半， 故ME平行且等于BF，故四边形MEFB是 平行四边形，于是EF∥MB, 又EF在平面PAB外， MB在平面PAB内， 故EF∥平面PAB 平行问题3种问题 典型例题 1.平行于同一平面的二直线的位置关系是( ） （A） 一定平行 （B） 平行或相交 （C） 相交 （D） 平行，相交，异面 D 2 判断： 直线a∥平面α，则直线a平行于α内的任意直线 错 平行问题3种问题 练习 （（AA）） 平行平行 （（BB）） （（CC）） （（DD）） 相交相交 平行或相交平行或相交 平行或异面平行或异面 3、直线直线a//a//平面平面，那么直线，那么直线aa与平面与平面内直线内直线bb的位的位 置关系是：置关系是： 平行问题3种问题 AA BB CC DD EE FF GG HH 44、空间四边形、空间四边形ABCDABCD中中EE，，FF，，GG ，，HH分别是各边中点。则图中与分别是各边中点。则图中与 面面EFGHEFGH平行的边有平行的边有  （（            ）条。）条。 （（AA））1 1  （（BB））22 （（CC））00 （（DD））44 B 平行问题4种问题 5、平行于同一平面的二直线的位置关系是 （ ） （A） 一定平行 （B） 平行或相交 （C） 相交 （D） 平行，相交，异面 D 平行问题4种问题 6、点A是平面外的一点，过A和 平面平行的直线有 条。无数 平行问题3种问题 线 线 垂 直 线 面 垂 直 面 面 垂 直性质1 判定2 判定判定11：如果一条直线与平面内的：如果一条直线与平面内的22条相交直线垂直，条相交直线垂直， 则这条直线和这个平面垂直则这条直线和这个平面垂直 判定判定22：如果一个平面内经过另一个平面的垂线，则这：如果一个平面内经过另一个平面的垂线，则这 22个平面垂直个平面垂直 性质2 垂直问题3种问题 判定1 线 线 垂 直 线 面 垂 直 面 面 垂 直性质1 判定2 性质性质11：如果两条直线都与一个平面垂直，则这两条直：如果两条直线都与一个平面垂直，则这两条直 线平行线平行 性质性质22：如果两个平面垂直，则在一个平面内与交线垂：如果两个平面垂直，则在一个平面内与交线垂 直的直线垂直于另一个平面直的直线垂直于另一个平面 性质2 垂直问题3种问题 判定1 直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 则直线与平面垂直。 n, m , m与n相交， l m, l n,  l  1、如果直线和平面垂直，则直线垂直面内的任意直线 L 性质定理 2、如果两条直线都和某平面垂直，则这两直线平行 垂直问题3种问题 线 线 垂 直 平面几何的方法 立体几何的方法 1、勾股定理 2、等腰（边）三角形底边 上的中线与底边垂直 3、正（长）方形的特点 两条平行线中的一条与 某直线，则另一条也垂 直于该直线 直线a与平面α垂直，则a 垂直于α内的任意直线） 4、直径对的圆周角为90度 垂直问题3种问题 在正方体AC1中，O为下底面的中心， 求证：AC⊥面D1B1BD 证明： ∵ABCD为正方形，所以ACBD, 又因为在正方体中，BB1⊥平面 ABCD，所以AC BB1, 又BD∩BB1=B, 故AC⊥面D1B1BD 垂直问题3种问题 典型例题 （1）l  , m  l m （2） n, m , l m, l n,  l  （3）l  , m   l m （4）l //m , l   m   //  判断 对 错 对 对 垂直问题3种问题 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线， 则这两个平面互相垂直 A B D C 两个平面垂直的判定定理 α β AB  β AB α  β 垂直问题3种问题 线⊥面得到面⊥面 在正方体ABCD－A1B1C1D1中， 求证： A B CD A1 B1 C1D1 垂直问题3种问题 典型例题 证明：因为是正方体，所以 AC⊥BD， 又AA1⊥平面ABCD，故AA1⊥BD， 因为AC∩BD=O, 所以BD⊥平面ACC1A1 故命题得证 O 四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA 的中点， 求证：平面EBD⊥平面ABCD. 证明：连接AC，BD，交点为F， 连接EF，EF是△SAC的中位线， ∴ EF//SC. 直线EF⊥平面ABCD 直线EF在平面EBD内 故平面EBD⊥平面ABCD 垂直问题3种问题 （1）两条异面直线成的角 将两条异面直线平移为相交直线，所成的不大于 90°的角即为二者所成的角 a b （1）作，作出所求的角； （2）证明该角是所求； （3）在三角形中计算该角 的大小或用余弦定理计算余 弦； 若异面直线a，b成的角为直角，则称a垂直b，记 为a⊥b 成角问题3种问题 特殊角度的三角函数值 角 0o 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o sin  0 cos  tan  成角问题3种问题 在求解异面直线所成的角时有时需要用到 余弦定理 △ABC中， a b c C 成角问题3种问题 例： 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1中， 异面直线AC与BC1所成角的大小是（ ）． A．30° B．45° C．60° D．90° 解：在图形中，将AC平行移 动到A1C1，再连接A1B，则 △A1BC1是一个等边三角形， A1C1与BC1所成的角为60°,所 以AC与BC1所成角的大小也是 60°，选C. 成角问题3种问题 （2）A1B1与CC1所成的角是多少度？ 例  正方形ABCD－A1B1C1D1．求： BB1∥CC1,所以∠A1BB1为所求， 大小为45° BB1∥CC1,所以∠A1B1B为所求， 大小为90° （3）A1B与B1C所成的角是多少度？ A1B∥D1C,所以∠D1CB1为所求，易 知△D1B1C为正三角形，故所求角大 小为60° （1）A1B与CC1所成的角是多少度？ 成角问题3种问题 2、四棱柱 求异面直线A1B与AD1所成的角的余弦 成角问题3种问题 正方体中，E,M为所在棱中点，求AE与BM所成角的余弦 成角问题3种问题 （2）线面角---直线和平面所成的角  A B 直线L是的斜线时, 作AB⊥α于B， 直线L与平面α的交点是O ∠AOB（锐角）即为 与所成的角 成角问题3种问题 直线与平面所成角 斜线与平面所成角注意: 成角问题3种问题 判断 ①两平行线和同一平面所成的角相等 ②两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条直线是平 行直线 ③一条直线和两个平行平面所成的角相等 √ × √ 成角问题3种问题 （1）A1B与平面ABCD所成的角 在正方体中，求 （2）A1B与平面BDD1B1所成的角 ∠A1BA=45° ∠A1EB=30° E 成角问题3种问题 E F G 正三棱柱，AC=1,A’A=2,求A’C与 平面ABB’A’成的角的正弦 解：取A’B’的中点为D,则C’D垂直 于平面ABB’A’,角C’AD为所求的角 成角问题3种问题 3、二面角 成角问题3种问题 成角问题3种问题 α βA B C DO 以二面角的棱上任意一点为O端点, 在两个面内 分别作垂直于棱的两条射线OA,OB, 这两条射线所成 的∠AOB叫做二面角的平面角,求二面角即求其平面角 二面角的范围是[0,π] 平面角的特征 （1）顶点在棱上； （2）两条边分别在2个平 面内，且均垂直于棱； 二面角的平面角 成角问题3种问题 正方体棱长为2，求二面角A-B’C-B的正切 解：取B’C的中点O，连AO，BO, ∵AB’=AC,所以AO⊥B’C, 又因为是正方体，所以BO⊥B’C； 故∠AOB为所求二面角的平面角 成角问题3种问题 二面角的计算： 1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 1中的角就是所求的角 3、计算出此角的大小(往往要用锐角的 三角函数或余弦定理） 一“作”二“证”三“计算” 成角问题3种问题