人教版必修4数学2.4.1平面向量数量积的物理背景及其意义ppt课件

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其 含义 向量的夹角 两个非零向量a 和b ，作 ， ，则 叫做向量a 和b 的夹角． O A B a b O ABb a 若 ，a 与b 同向 O AB b a 若 ，a 与b 反向 O A B a b 若 ，a 与b 垂直， 记作 复习回顾 我们学过功的概念，即一个物体在力F 的作用下产生位移s（如图） θ F S 力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角 从力所做的功出发，我们引入向量“ 数量积”的概念。 问题：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一 般向量，其结果又该如何表述？ 两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。   功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积； 已知两个非零向量a与b，它们的 夹角为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做 a与b的数量积（或内积），记作a·b a·b=|a| |b| cosθ 规定:零向量与任一向量的数量积为0。 |a| cosθ（|b| cosθ）叫 做向量a在b方向上（向 量b在a方向上）的投影。 平面向量的数量积的定义 说明： 已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a · b ，即 （2） a · b中间的“ · ”在向量的运算中不能省略，也不能写 成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算（外积）． 规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 0．（1） 向量的数量积是一个数量，那么它什 么时候为正，什么时候为负？ a·b=|a| |b| cosθ 当0°≤θ ＜ 90°时a·b为正； 当90°＜θ ≤180°时a·b为负。 当θ =90°时a·b为零。 设 是非零向量， 方向相同的 单位向量， 的夹角，则 特别地 O A B θ a b B1 解：a·b = |a| |b|cosθ= 5×4×cos120° =5×4×（-1/2）= －10 例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角 θ=120°，求a·b。 例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。 解： |a| =√2, |b|=2, θ=45 ° ∴ a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 ° = 2 例1 . 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ， ③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ. 解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ ＝０°， ∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°， ∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－ 18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０； ③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有 ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6× ＝9 练习: O A B θ |b|cosθ a b B1 等于 的长度 与 的乘积。 练一练： 练习： 1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0． 2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a · b≠0． 3．若a ≠0，a · b =0，则b=0 4．若a · b=0，则a · b中至少有一个为0． 5．若a≠0，a · b= b · c，则a=c 6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a=0 时成立． 7．对任意向量 a 有 √ × × × × × √ 二、平面向量的数量积的运算律： 数量积的运算律： 其中， 是任意三个向量， 注： 则 (a + b) ·c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = a·c + b·c . O NM a+b b a c 向量a、b、a + b 在c上的射影的数量 分别是OM、MN、 ON, 证明运算律(3) 例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. 证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) ＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b ＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2. 例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. 证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b ＝a·a＋b·a－a·b－b·b ＝a2－b2. 例4、 的夹角为 解: 利用平面向量数量积求解长度问题 变式： 利用平面向量数量积求解夹角问题 例： 已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a  5b 垂直，a  4b与7a  2b垂直，求a与b的夹角 小 结 1. 向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加 法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何 意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运 算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量. 2. 实数的运算性质与向量的运算性质不完全一致，应用 时不要似是而非. 3. 常用︱a︱＝ 求向量的模.      常用      求向量的夹角. 2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义