人教版高中数学必修2 2.3.4平面与平面垂直的性质PPT课件

复习回顾： （１）利用定义 ［作出二面角的平面角，证明平面角是直角］ （２）利用判定定理［线面垂直   面面垂直 ］   A B 线面垂直 面面垂直线线垂直 面面垂直的判定 α βE F 思考2 如图，长方体中，α⊥β, (1)α里的直线都和β垂直吗？ (2)什么情况下α里的直线和β垂直？ 与AD垂直 不一定 思考3 垂足为B，那么直线AB与平面β的位置关系如何？ 为什么？ α β AB D C E 垂直 ∵ , ∴AB⊥BE. 又由题意知AB⊥CD, 且BE CD=B 垂足为B. ∴AB⊥ 则∠ABE就是二面角 的平面角. 证明:在平面 内作BE⊥CD, α β AB D C E 平面与平面垂直的性质定理 符号表示: DC A B 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一 个平面垂直． （线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线） 面面垂直 线面垂直 作用： ①它能判定线面垂直. ② 它能在一个平面内作与这个平面垂 直的垂线. 关键点： ①线在平面内. ②线垂直于交线. DC A B 思考4 设平面 ⊥平面 ，点P在平面 内，过点P作平 面 的垂线a，直线a与平面 具有什么位置关系? a a 直线a在平面 内 β α P β α P α β A b a l B 垂直 α β A b a l 分析：寻找平面α内与a平行的直线. 解：在α内作垂直于 交线 的直线b， ∵ ∴ ∵ ∴a∥b. 又∵ ∴a∥α. 即直线a与平面α平行. 结论：垂直于同一平面的直线和平面平行（ ）. α β A b a l 分析：作出图形. a b α β l γ m n a b α β l γ n m A （法二）（法一） 在α内作直线a ⊥n 证法1：设 在β内作直线b⊥m α β l γ ab m n 在γ内过A点作直线 a ⊥n， 证法2：设 在γ内过A点作直线 b⊥m， 同理 在γ内任取一点A（不在m,n上）， a b α β l γ n m A 如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个 平面的交线垂直于这个平面. 结论 α β γ l 判断线面垂直的两种方法： ①线线垂直→线面垂直； ②面面垂直→线面垂直. 如图： 两个平面垂直应用举例 例题1  如图4，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，过动 点C的直线VC垂直于⊙O所在平面，D、E分别是VA、VC的中点， 直线 DE与平面VBC有什么关系？试说明理由． 解：由VC垂直于⊙O所在平面，知VC⊥AC ，VC⊥BC，即 ∠ACB是二面角A-VC-B的 平面角．由∠ACB是直径上的圆周角，知 ∠ACB =90°。 因此，平面 VAC⊥平面VBC．由DE是 △VAC两边中点连线，知 DE∥AC，故 DE⊥VC．由两个平面垂直的性质定理，知 直线DE与平面VBC垂直。 注意：本题也可以先推出AC垂直于平面VBC，再由DE∥AC， 推出上面的结论。 例2．S为三角形ABC所在平面外一点，SA⊥平面 ABC，平面SAB⊥平面SBC。 求证：AB⊥BC。 S C B A D 证明：过A点作AD⊥SB于D点. ∵平面SAB ⊥ 平面SBC, ∴ AD⊥平面SBC， ∴ AD⊥BC. 又∵ SA ⊥ 平面ABC， ∴SA ⊥ BC. AD∩SA=A ∴BC ⊥ 平面SAB. ∴BC ⊥AB. 练习1：如图，以正方形ABCD的对角线AC为折 痕，使△ADC和△ABC折成相垂直的两个面， 求BD与平面ABC所成的角。 A B C D D A B CO O 折成 2.如图，平面AED ⊥平面ABCD，△AED 是等边三角形，四边形ABCD是矩形， （1）求证：EA⊥CD M D E C A B （2）若AD＝1，AB＝ ，求EC与平面ABCD 所成的角。 (2012·北京模拟)如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的 平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的 中点. (1)求证：BM∥平面ADEF； (2)求证：平面BDE⊥平面BEC. 【证明】(1)取DE中点N，连接MN，AN. 在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点， 所以MN∥CD，且MN= CD. 由已知AB∥CD，AB= CD， 所以MN∥AB,且MN=AB, 所以四边形ABMN为平行 四边形.所以BM∥AN. 又因为AN平面ADEF，且BM 平面ADEF， 所以BM∥平面ADEF. (2)因为四边形ADEF为正方形， 所以ED⊥AD， 又因为平面ADEF⊥平面ABCD， 且平面ADEF∩平面ABCD=AD. 又因为ED 平面ADEF， 所以ED⊥平面ABCD. 所以ED⊥BC. 在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4， 可得BC= ， 在△BCD中，BD=BC= ，CD=4，所以BC⊥BD， BD∩ED=D, 所以BC⊥平面BDE， 又因为BC平面BCE， 所以平面BDE⊥平面BEC. ［总结提炼］ ☆ 已知面面垂直易找面的垂线，且在某一个平面内 ☆ 解题过程中应注意充分领悟、应用 ☆ 证明面面垂直要从寻找面的垂线入手 ☆ 理解面面垂直的判定与性质都要依赖面面垂直的定义 ☆ 定义面面垂直是在建立在二面角的定义的基础上的 线面垂直 面面垂直线线垂直 面面垂直 线面垂直 线线垂直 α β a A B 线线垂直 线面垂直 线线平行 面面平行 面面垂直 垂直、平行关系小结 2.面面垂直的性质推论： 1.平面与平面垂直的性质定理： 面面垂直 线面垂直 α β γ l α β A b a l β α P a a∥α DC A B