2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.3 平面向量的坐标运算
1.掌握平面向量的坐标表示，会进行平面向量的正交分解;
2.了解平面内的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来
表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；
3.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用
基底来表达.
4.会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算.
1.思考平面向量基本定理的内容.
如果 是同一平面内的两个不共线的向量，那
么对于这一平面内的任一向量 有且只有一对实数λ1,
λ2 使得
不共线的两向量 叫做这一平面内所有向量的
一组基底.
2.什么叫平面的一组基底?
3.平面的基底有多少组?
无数组
思考：1.平面内建立了直角坐标系,点A可以用什么来表示
?
2.平面向量是否也有类似的表示呢?
A (a,b)
a
b
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量
正交分解.
由平面向量的基本定理，对平面上任意向量 ，均可
以分解为不共线的两个向量 和 ，使
如图，光滑斜面上一个木块
受到重力 的作用，产生两个效
果，一是木块受平行于斜面力
的作用，沿斜面下滑；一是木块
产生垂直于斜面的压力
叫做把重力 分解.
思考：如图在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),
D(5,7).设 ，填空：
（1）
（2）若用 来表示 ，则：
1 1
5
3 5
4
7
平面向量的坐标表示
如图， 是分别与x轴、y轴方向相同
的单位向量，若以 为基底，则
（3）向量 能否由 表示出来？
可以的话，如何表示？
3 5
4
7
①
其中，x叫做 在x轴上的坐标，y叫做 在y轴上的坐标，
①式叫做向量的坐标表示.
这样，平面内的任一向量 都可
由x、y唯一确定，我们把有序数对
（x,y）叫做向量 的坐标，记作
显然，
O x
y
A
在直角坐标平面中，以原点O为起点作 ，则点
A的位置由向量 唯一确定.
设 ，则向量 的坐标（x,y）就是终点A的
坐标；反过来，终点A的坐标(x,y)也就是向量 的坐标.
因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一个
有序实数对唯一表示.
例1.如图，分别用基底 ， 表示向量 、 、 、 ，并求出
它们的坐标.
A A1
A2
解：如图可知
同理
平面向量的坐标运算
思考：已知 ，你能得出
的坐标吗？
由向量线性运算的结合律和分配律可得
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应
坐标的和（差）.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标.
即
同理可得
例2.如图，已知 ，求 的坐标.
x
y
O
B
A
解：
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点
的坐标减去起点的坐标.
2. 若A ，B ，则
小结：平面向量的坐标运算
例3.已知 ，求 的坐标.
例4.如图，已知□ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是
（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。
A
B
C
D
x
y
O
解法１：设点D的坐标为（x,y）
解得 x=2,y=2
所以顶点D的坐标为（2，2）
A
B
C
D
x
y
O
解法2：由平行四边形法则可得
而
所以顶点D的坐标为（2，2）
则点B的坐标为_________.
1.下列说法正确的有（ ）个
（1）向量的坐标即此向量终点的坐标
（2）位置不同的向量其坐标可能相同
（3）一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标
（4）相等的向量坐标一定相同
A．1 B．2 C．3 D．4
B
（5，4）
3.已知：点A(2，3)、B(5，4)、C(7，1)若
，试求λ为何值时,
（1）点P在一、三象限角平分线上?
（2）点P在第三象限内?
，
， ，
.
（1）若点P在一、三象限角平分线上,则 5+5λ=4+7λ，
（2）若点P在第三象限内，
∴λ＜-1,即只要λ＜-1,点P就在第三象限内.
则 ，
， ∴
，
．
一、知识技能
2.平面向量的坐标运算
二、思想方法
数形结合思想、分类讨论思想、方程思想.
1.平面向量的坐标表示
要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就
如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。
——兰斯顿•休斯
微信/支付宝扫码支付