人教版高中必修4 2.3.1平面向量基本定理ppt课件

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理 课 标 点 击 2.3.1 平面向量基本定理 预 习 导 学 典 例 精 析 课 堂 导 练 课 堂 小 结 1．准确理解平面向量的基本定理． 2．理解能成为向量基底的条件是不共线． 3．理解向量的夹角前提条件是共起点． 4．理解平面向量的正交分解． 基础梳理 一、平面向量的基本定理 1．如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么 对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使 _________________． 2．我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有 向量的一组________． 练习1：已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a＝ λ1e1＋λ2e2，则a与e1________，a与e2________(填共线或不共 线)． 练习2：已知a、b不共线，且c＝λ1a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，若 c与b共线，则λ1＝________. 0 不共线 a ＝ λ1e1＋λ2e2 基底 不共线  不共线 思考应用 1．平面内的基底是否是唯一的？ 解析：平面内的基底可以有无数多个，只要 两个不共线的向量都可以作为平面向量的一组基底 ． 二、向量的夹角 1．不共线向量的夹角 显然，不共线的向量存在夹角，关于向量的夹角，我们 规定：已知两个非零向量a，b，作 则__________ 叫做向量a与b的夹角． 如果∠AOB＝θ，则θ的取值范围是__________． 2．共线向量的夹角 当__________时，表示a与b同向； 当__________时，表示a与b反向． 3．垂直向量 如果__________________就称a与b垂直，记作a⊥b.a与b的夹角是90° ∠AOB＝θ [0°,180°] θ＝0° θ＝180° 思考应用 自测自评 1．下面四种说法中，正确的是(   ) ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面 内所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平 面内所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量； ④对于平面内的任一向量a和一组基底e1，e2，使a＝ λ1e1＋λ2e2成立的实数对一定是唯一的． A．②④         B．②③④ C．①③ D．①③④ B 2．设O是平行四边形ABCD的两对角线的交点，下列 向量组： 其中可作为表示这个平行四边形所在平面内的所有向量的 基底是(   ) A．①②    B．①③    C．①④    D．③④ B 3．设e1，e2为两个不共线的向量，若a＝2e1－e2与 b＝e1＋λe2(λ∈R)共线，则(   ) 4．已知a，b是两个不共线的向量，m，n∈R 且 ma＋nb＝0，则(   ) A．a＝0且n＝0 B．m，n的值不确定 C．m＝n＝0 D．m，n不存在 B C 设e1，e2是同一平面内所有向量的一组基 底， a ＝λ1e1＋e2，b＝4 e1＋2e2，并且a，b共线，则下 列各式正确的是(  ) A.λ1＝1 B.λ1＝2 C.λ1＝3 D.λ1＝4 解析：a，b共线，则存在实数k，使得a＝kb即可求解 ．但作为选择题，看到a ＝λ1e1＋e2中e2的系数为1，而b＝4 e1＋2e2中e2的系数为2，所以λ1＝2. 答案：B 点评：若两个向量共线，则作为基底的两个向量相应 系数成比例． 向量共线问题 1．设 ＝a＋5b， ＝－2a＋8b， ＝3a－3b，那么 下列各组的点中三点一定共线的是(  ) A．A、B、C B．A、C、D C．A、B、D D．B、C、D 跟踪训练 已知AD是△ABC的BC边上的中线， 用基底表示向量 跟踪训练 2．如图，设点P、Q是线段AB的三等分点，若 ＝a ， ＝b，则 ＝________， ＝____________ (用a、b表 示)． 如图，平行四边形ABCD中，M、N分别是 DC、BC的中点，已知 ＝a， ＝b，试用a，b表示 和 . 分析：可以根据“正难则反”的思想求解，即改为 用 、 来表示向量a、b，然后将 、 看做未知量， 加以方程思想，以求 、 . 点评：本题若利用向量的加减法法则，结合M、N为 DC、BC中点的性质，可直接用a、b表示 和 ，但有 一定的困难，解题过程繁琐．所以就可以根据“正难则 反”的思想求解，即改为用 、 来表示向量a、b，然后 将 、 看做未知量，加以方程思想，求得 、 ，就容 易多了． 跟踪训练 分析： 和 是两个不共线向量，可以看作是一 组基底，一定可以把平面中的任一向量用 和 表示， 关键是找到λ1和λ2两个系数． 向量共线的其它表达形式 跟踪训练 1．(2010年成都高一检测)已知e1，e2是同一平面内两个 不共线的向量，那么下列两个结论中正确的是(   ) ①λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量； ②若有实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0. A．①         B．② C．①② D．以上都不对 2．如果3e1＋4e2＝a,2e1＋3e2＝b，其中a，b为已知向量， 则e1＝_____________，e2＝_______________. C e1＝3a－4b  e2＝－2a＋3b 1．任一平面的直线型图形，根据平面向量的基本 定理，都可以表示成某些向量的线性组合，这样要解答 几何问题时，就可以把已知和结论表示为向量的形式， 然后通过向量的运算，达到解题的目的． 2．在解具体问题时，要适当地选取基底，使其它 向量能够用基底来表示，选择了不共线的两个向量e1， e2，平面上的任何一个向量a都可以用e1，e2唯一表示为 a＝λ1e1＋λ2e2，这样的几何问题转化为代数问题，转化 为只含有基底的代数运算.