第一章 空间几何体
章末归纳总结
一、几何图形的识读与描绘
1．现实生活中接触到的各种物体，大多是由柱、锥、
台、球形状的物体组成，我们研究空间几何体，不仅要了
解其结构，从复杂的几何体中分解出我们熟悉的简单几何
体，而且要画出三视图和直观图，定量研究需要计算的面
积和体积．通过侧面展开，计算空间几何体表面积，体现
出转化的思想．
由空间几何体画出其三视图和直观图，或由三视图和
直观图想象出空间几何体，两者之间相互转化，可以培养
我们几何直观能力、空间想象能力．
2．图形的画法
几何图形主要有三种画法：一是斜二测画法，二是三
视图画法，三是中心投影法．
(1)斜二测画法
主要用于水平放置的平面图画法或立体图形的画法．
它的主要步骤：①画轴，用右手法则画，∠x′O′y′成45°或
135°，②平行于x、y、z轴的线段分别画为平行于x′，y′，z′
轴的线段，③截线段：平行于x、z轴的线段的长度不变，
平行于y轴的线段的长度变为原来的一半．
(2)三视图画法
它包括正视图、侧视图，俯视图三种．画图时要遵循“
长对正、高平齐、宽相等”的原则，同时还要注意被挡住的
轮廓线画成虚线．
(3)中心投影法
一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形
的影子就是它在平面上的中心投影．立体几何中的图形很
少用中心投影画法．画效果图时，主要用中心投影画法．
识画图形是立体几何的一项重要基本功．通过本章的
学习，要能够熟练进行三视图、直观图和实物的相互转化，
熟练识读图形和画出图形．
[例1] 一个几何体的三视图如图所示，画出它的直观
图(不写画法)，并求其表面积．
[解析] 由三视图可知，该几何体下面是一个四棱柱，
上面是一个同底的四棱锥，底面为一个正方形，棱柱的侧
棱垂直于底面，侧棱长(即高)为4，棱锥顶点在底面射影为
底面正方形的中心，高为2，因此它是一个正四棱柱和正四
棱锥的组合体，其直观图如图．
[例2] 一个不透明的正四面体物体被一束垂直于桌面
的平行光线照射，则此正四面体在桌面上的正投影可能是
下列的__________．(要求把可能图形的序号都填上)
①正三角形 ②正方形
③等腰梯形 ④对角线不相等的菱形
[解析] 本题是平行投影问题，考查想象能力．
当正四面体如图(1)放置于桌面上时，投影为正三角形，
如图(2)位置时，投影为正方形(此时A、B两点到桌面距离
相等)．
[答案] ①②
二、柱、锥、台、球的表面积与体积
1．①棱柱的所有侧面面积的和为棱柱的侧面积，侧面
积与两底面积的和为棱柱的表面积，特别地
S直棱柱侧＝ch(其中c、h分别为直棱柱的底面周长和高)
S正n棱柱侧＝nah(a、h分别为正n棱柱的底面边长和高)
②圆柱的侧面积S圆柱侧＝2πrl，表面积S表＝2πr(r＋l)(其
中r、l分别为圆柱底面半径和母线长)
③柱体的体积V＝sh(其中s、h分别为柱体的底面积和
高)
V圆柱＝πr2h(r、h分别为圆柱底面半径和高)
5．①计算空间几何体的侧面积(或表面积)一般采用侧
(或表)面展开的方法．
②空间几何体的体积计算的基本原理即理论基础是祖
暅原理，要特别注意．
等底等高的三角形(平行四边形)的面积相等；
等底面积、等高的两个柱体(锥体)的体积相等．
一切几何体的面积、体积计算都以熟记常见简单几何
体(即柱、锥、台、球)的面积、体积公式为基础，记熟公
式是解题的前提．
[例3] 如图，一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm
，在其中有一个高为xcm的内接圆柱．
(1)试用x表示圆柱的侧面积；
(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？
三、折、展、卷、转、割补、等积变换是立体几何解
决问题的特有技巧、方法和题型．应细细揣摩体会、把握
．
[例4] (1)把边长为6π和4π的矩形卷成圆柱的侧面，则
圆柱的体积为________．
(2)把半径为2的半圆卷成圆锥的侧面，则圆锥的体积
为________．
[答案] B
[例6] 如图，一扇形半径为4，中心角为240°，沿实
线AB、BC、CD、DA′将阴影部分剪去，再沿虚线折成一个
四棱锥O－ABCD，则四棱锥的体积为________．
[例7] 一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角
形，在这容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时
水面恰好和球面相切，问将球从圆锥容器内取出后，圆锥
容器内水面的高是多少？
[例8] 把直径分别为6cm,8cm,10cm的三个铜球熔制成
一个较大的铜球，再把球削成一个棱长最大的正方体，求
此正方体的体积．
[点评] 将三个小球熔制成一个大球，这是一个等积
变换问题，因此V变形前＝V变形后；在球与它的内接正方体所
组成的几何体中，有一条线段有着双重身份；它既是正方
体的对角线，又是球的直径，这是正确解答本题的关键．
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