人教版高中数学必修4 2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示ppt课件

2.3.2-3平面向量正交分解及坐标表示 问题情境 火箭在飞行过程中的某一时刻速度可 以分解成竖直向上和水平向前的两个速度。 在力的分解的平行四边形过程中，我们看 到一个力可以分解为两个不共线方向的力 之和。 那么平面内的任一向量否可以用两 个不共线的向量来表示呢？ 动画演示 设 、 是同一平面内的两个不共 线的向量，a 是这一平面内的任一向量， 我们研究 a 与 、 之间的关系。 a 研究 平面向量基本定理 一向量 a 有且只有一对实数 、 使 共线向量，那么对于这一平面内的任 如果 、 是同一平面内的两个不 a = + 这一平面内所有向量的一组基底。 我们把不共线的向量 、 叫做表 （1）一个平面向量的基底有多少对？ （有无数对） 思考 E FF A N B a M O C N M M O C N a E 思考 (2)若基底选取不同，则表示同一 向量的实数 、 是否相同？ （可以不同，也可以相同） O CF M N a EE A B NOC = 2OB + ON OC = 2OA + OE OC = OF + OE 新课新课 O A BC · 例1 D C BA M 例2 如图，质量为10kg的物体A沿倾角θ=300的斜 面匀速下滑，求物体受到的滑动摩擦力和支持力。 F MN EG 练习1 如图，在平行四边形ABCD中，E，F 分别是BC，DC的中点，AB=a,AD=b,用a，b 表示BF和DE。 A CF E B D A CCBB AA DD EEFF GG 2、设G是△ABC的重心，若CA = a, CB = b 试用 a , b 表示AD。 CCBB AA DD EEFF GG 2、设G是△ABC的重心，若CA = a, CB = b 试用 a , b 表示AG。 CCBB AA DD EEFF GG 变式 2、设G是△ABC的重心，若CA = a, CB = b 那么GA+GB +GC=?。 设 a、b是两个不共线的向量， 已知AB = 2a + kb, CB = a + 3b, CD = 2a – b,若A、B、D三点共线， 求k的值。 A、B、D三点共线解： AB与BD共线，则存在实数 λ使得AB = λBD.λ使得AB = λBD. 思考 k = 8 . = a – 4b 由于BD = CD – CB =(2a – b) –(a +3b) 则需 2a + kb = (a – 4b ) 由向量相等的条件得 2 = k = 4 则需 2a + kb = (a – 4b ) 2 - = 0 k – 4 = 0 此处可另解： k = 8 . 即（2 - ）a +(k - 4 )b = 0 例5、 如图，已知梯形ABCD， AB//CD，且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB 的中点. 请大家动手, 在图中确一组 基底，将其他向 量用这组基底表 示出来。 A N M CD B 解析： BC = BD + DC = MN = DN-DM =(AN-AD)- DC (AD–AB)+DC A N M CD B DC = AB = 设AB = ,AD = ,则有： = - . = - + = = - - - + 评析 能够在具体问题中适当地选取 基底，使其他向量能够用基底来表 示，再利用有关知识解决问题。 例５ ABCD中，E、F分别是DC和AB 的中点，试判断AE,CF是否平行？ F BA D CE F BA D CEE、F分别是DC和 AB的中点, AE= AD+ DE = b+ a CF= CB+ BF = -b - a AE= - CF AE与CF共线，又无公共点 AE,CF平行. 解：设AB= a,AD= b. 1.平面向量基本定理可以联系物理 学中的力的分解模型来理解，它说明在 同一平面内任一向量都可以表示为不共 线向量的线性组合，该定理是平面向量 坐标表示的基础，其本质是一个向量在 其他两个向量上的分解。 课堂总结 本题在解决过程中用到了两向量 共线的充要条件这一定理，并借助平 面向量的基本定理减少变量，除此之 外，还用待定系数法列方程，通过消 元解方程组。这些知识和考虑问题的 方法都必须切实掌握好。 评析 2. 在实际问题中的指导意义在于 找到表示一个平面所有向量的一组基 底（不共线向量 与 ），从而将 问题转化为关于 、 的相应运算。 总结： 1、平面向量基本定理内容 2、对基本定理的理解 （1）实数对λ1、 λ２的存在和唯一 （２）基底的不唯一 （３）定理的拓展 ３、平面向量基本定理的应用 求作向量、解（证）向量问题、解（证） 平面几何问题 思考 在梯形ABCD中，E、F分别时AB、CD 的中点，用向量的方法证明： EF//AD//BC,且EF = (AD+BC) 设 、 是同一平面内的两个不共 线的向量，a 是这一平面内的任一向量， 我们研究 a 与 、 之间的关系。 a 研究 平面向量基本定理 一向量 a 有且只有一对实数 、 使 共线向量，那么对于这一平面内的任 如果 、 是同一平面内的两个不 a = + 这一平面内所有向量的一组基底。 我们把不共线的向量 、 叫做表 （1）一个平面向量的基底有多少对？ （有无数对） 思考 E FF A N B a M O C N M M O C N a E 思考 (2)若基底选取不同，则表示同一 向量的实数 、 是否相同？ （可以不同，也可以相同） O CF M N a EE A B NOC = 2OB + ON OC = 2OA + OE OC = OF + OE 新课新课 如图1，在直角坐标系内，我们 分别取与x轴、y轴方向相同的两 个单位向量i、 j作为基底，任何 一个向量a，由平面向量基本定理 可知，有且只有一对实数x、y，使 得 a=xi+yj 我们把（x,y)叫做向量a 的（直 角）坐标，记作 a=(x，y), 其中x叫做a 在x轴上的坐标，y叫 做a在y轴上的坐标，（x ,y）叫做 向量的坐标表示。 一、平面向量的坐标表示 a y j iO 图 1 x i y xO y x j A（x,y） a a 图 2 如图2，在直角坐标平面内，以原 点O为起点作OA=a，则点A的位 置由a惟一确定。 设OA=xi+yj，则向量OA的坐标 （x,y)就是点A的坐标；反过来， 点A的坐标（x,y)也就是向量OA 的坐标。因此，在平面直角坐标 系内，每一个平面向量都可以用 一对实数惟一表示。 例1 如图3，用基底i，j分别表示向量a、b、c、 d ,并求出它们的坐标。 j y xO i a A1A A2 b c d 图 3 解：由图3可知a=AA1+AA2=2i+3j, ∴ a=(2,3) 同理，b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3) d=2i-3j=(2,-3) 二、平面向量的坐标运算 已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j 即 a+b=(x1+x2,y1+y2) 同理可得 a-b=(x1-x2,y1-y2) 这就是说，两个向量和与差的坐标分别等 于这两个向量相应坐标的和与差。 结论： 一个向量的坐标等于表示此向量 的有向线段的终点的坐标减去始点的 坐标。 y xO B(x2,y2) A(x1,y1) 如图，已知A(x1,y1),B(x2,y2), 根据上面的结论，有 AB= OB - OA = (x2,y2) - (x1,y1) = (x2-x1,y2-y1) 练习： 已知 ＝（x , y) , 点B的坐标为 （－2，1）求 的坐标. 已知 ＝（x , y) ,点A的坐标为（3，2）点B的 坐标为（－2，1）求 的坐标. 已知 ＝（-5 , -1) ,点A的坐标为（x，y）点B 的坐标为（－2，1）求 A 的坐标. 已知 ＝（-5 , -1) ,点A的坐标为（3，2）点B 的坐标为（x，y）求 B 的坐标. 2 、 1 、 3 、 4 、 已知a=(x,y)和实数λ，那么 λ a=(λ x, λ y) 即 λa=(λx, λy) • 这就是说，实数与向量的积的坐 标等于这个实数乘以原来向量的 相应坐标。 例2 已知 求 的坐标. 解： 2.3.3 平面向量的坐标运算 例3． 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为 （－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求顶点D的坐标． 解：设顶点D的坐标为（x，y） 例3 已知 (1)若 求x; (2)若 求x. 解： 解得： 评述：对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等。 例4 平行四边形ABCD的对角线交于点O,且知 求 坐标. A D B C O 分析： 的坐标，只要求得 的坐标即可. 解：由 要求得 评述：向量的、加减法，实数与向量的积是向量的基本运算， 对于用坐标表示的向量需运用向量的坐标运算法则，而几何图形中的 向量应结合向量加、减法的几何意义以方便寻找关系。 例5 下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有 向量的基底，正确的判断是 （ ） A.(1) B.(1)(3) C.(2)(3) D.(1)(2)(3) AA 三、向量平行的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,那么 可以知道，a//b的充要条件是存在 一实数λ，使 a= λb 这个结论如果用坐标表示，可写为 （x1,y1）= λ(x2,y2) 即 x1= λx2 y1= λy2 消去λ后得 也就是说，a//b(b0)的充要条件是 x1y2-x2y1=0 x1y2-x2y1=0 谢谢同学们谢谢同学们 再 见