人教版高中必修4 1.2.1任意角的三角函数ppt课件

1．2．1《任意角的三角函数》 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数 第一课时 问题提出 1.角的概念是由几个要素构成的，具体 怎样理解？ （1）角是由平面内一条射线绕其端点从一 个位置旋转到另一个位置所组成的图形. （2）按逆时针方向旋转形成的角为正角， 按顺时针方向旋转形成的角为负角，没有 作任何旋转形成的角为零角. （3）角的大小是任意的. 2.什么叫做1弧度的角？度与弧度是怎 样换算的？ （1）等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角. 3. 与角α终边相同的角的一般表达式 是什么？ β=α＋k·360°（k∈Z）或 （2）180°＝ rad. 下列叙述中中正确的是（ ） A。1弧度是1度的圆心角所对的弧 B。1弧度是长度等于半径的弧 C.。1弧度是1度的弧与1度的角之和 D。等于半径长的圆弧所对的圆心角 练习： 4.如图，在直角三角形ABC中，sinα， cosα，tanα分别叫做角α的正弦、余 弦和正切，它们的值分别等于什么？ A B C α 5.当角α不是锐角时，我们必须对 sinα，cosα，tanα的值进行推广， 以适应任意角的需要. 知识探究（一）：任意角的三角函数 思考1：为了研究方便，我们把锐角α 放到直角坐标系中，并使角α的顶点与 原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合. 在角α的终边上取一点P（a，b）,设点 P与原点的距离为r，那么，sinα， cosα，tanα的值分别如何表示？ 思考2：对于确定的角α，上述三个比值 是否随点P在角α的终边上的位置的改变 而改变呢？为什么？ x y o P(a，b) α r A B 三角函数定义（一）： 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边 上任意一点（除了原点）的坐标为(x,y)，它与 原点的距离为r，那么 思考3：为了使sinα，cosα的表示式更 简单，你认为点P的位置选在何处最好？ 此时，sinα，cosα分别等于什么？ x y o P(a，b) α 1 思考4：在直角坐标系中，以原点O为圆 心，以单位长度为半径的圆称为单位圆. 对于角α的终边上一点P，要使|OP|=1， 点P的位置如何确定？ α的终边 O x y P 思考5：设α是一个任意角，它的终边 与单位圆交于点P（x，y），为了不与 当α为锐角时的三角函数值发生矛盾， 你认为sinα，cosα，tanα对应的值 应分别如何定义？ α的终边 P(x，y) O x y 思考6：对于一个任意给定的角α，按 照上述定义，对应的sinα，cosα， tanα的值是否存在？是否惟一？ α的终边 P(x，y) O x y 任意角的三角函数定义 （二） 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 那么:（1） 叫做 的正弦，记作 ，即 ； （2） 叫做 的余弦，记作 ，即 ； （3） 叫做 的正切，记作 ，即 。 所以，正弦，余弦，正切都 是以角为自变量，以单位圆上点的 坐标或坐标的比值为函数值的函数 ，我们将他们称为三角函数. ﹒ 使比值有意义的角的集合 即为三角函数的定义域. x y o 的终边 说 明 （1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点 横坐标的比值. 的横坐标，正切就是 交点的纵坐标与 . （2） 正弦、余弦总有意义.当 的终边在 横坐标等于0， 无意义，此时 轴上时，点P 的 （3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系， 三角函数可以看成是自变量为实数的函数. 函 数 定 义 域 值 域 例1 求 的正弦、余弦和正切值. 解：在直角坐标系中，作 ，易知 的终边与单位圆的交点坐标为 所以 思考：若把角 改为 呢? ， ， 实例 剖析 ﹒ ﹒ 思考8：若点P（x，y）为角α终边上任 意一点，那么sinα，cosα，tanα对应 的函数值分别等于什么？ P(x，y) O x y 于是， 巩固 提高 练习 1、已知角 的终边过点 ， 求 的三个三角函数值. 解：由已知可得： （二）：三角函数符号的判断 与诱导公式 思考1：当角α在某个象限时，设其终 边与单位圆交于点P（x，y），根据三 角函数定义，sinα，cosα，tanα的 函数值符号是否确定？为什么？ α的终边 P(x，y) O x y 三、三角函数的符号三、三角函数的符号 由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知： x y o sinα x y o cosα x y o tanα + + + + + + – – – – – – 思考2：设α是一个任意的象限角，那么 当α在第一、二、三、四象限时，sinα 的取值符号分别如何？cosα，tanα的 取值符号分别如何？ 思考3：综上分析，各三角函数在各个象限 的取值符号如下表： 三角函数第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 + + + + － － － － + － + － 你有什么办法记住这些信息？ 例2. 求证：当且仅当下列不等式组成立时， 角 为第三象限角. ① ② 证明： 因为①式 成立,所以 角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上； 又因为②式 成立，所以角 的终边可能位于 第一或第三象限. 因为①②式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限. 于是角 为第三象限角. 反过来请同学们自己证明. 思考4：如果角α与β的终边相同，那么 sinα与sinβ有什么关系？cosα与cosβ有 什么关系？tanα与tanβ有什么关系？ 思考5：上述结论表明，终边相同的角的同 名三角函数值相等，如何将这个性质用一组 数学公式表达？ 公式一： （ ) 思考6：若sinα=sinβ，则角α与β的 终边一定相同吗？ 思考7：在求任意角的三角函数值时，上 述公式有何功能作用？ 可将求任意角的三角函数值，转化为求0～ （或0°～360°)范围内的三角函数值. 思考8：函数的对应形式有一对一和多对一两 种，三角函数是哪一种对应形式？ 例3、 确定下列三角函数值的符号： （1） （2） （3） 解：（1）因为 是第三象限角，所以 ； （2）因为 = ， 而 是第一象限角，所以 ； 练习 确定下列三角函数值的符号 （3）因为 是第四象限角，所以 . 例5 求下列三角函数值： （1） （2） 解：（1） 练习 求下列三角函数值 （2） 小结作业 1.三角函数都是以角为自变量，在弧度 制中，三角函数的自变量与函数值都是 在实数范围内取值. 2.三角函数的定义是三角函数的理论基 础，三角函数的定义域、函数值符号、 公式一等，都是在此基础上推导出来的. 4.一个任意角的三角函数只与这个角的 终边位置有关，与点P（x，y）在终边上 的位置无关.公式一揭示了三角函数值呈 周期性变化，即角的终边绕原点每旋转 一周，函数值重复出现. 3.若已知角α的一个三角函数符号，则 角α所在的象限有两种可能；若已知角 α的两个三角函数符号，则角α所在的 象限就惟一确定. 作业： P15 练习：1，2，5，7. 3，4，6 做在书上 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数 第二课时 问题提出 1.设α是一个任意角，它的终边与单位 圆交于点P（x，y），角α的三角函数 是怎样定义的？ 2.三角函数在各象限的函数值符号分别 如何？ 一全正，二正弦，三正切，四余弦. 3.公式 ， ， ( ).其数学意义如何 ？ 4.角是一个几何概念，同时角的大小也 具有数量特征.我们从数的观点定义了 三角函数，如果能从图形上找出三角函 数的几何意义，就能实现数与形的完美 统一. 终边相同的角的同名三角函数值相等. 知识探究（一）：正弦线和余弦线 思考1：如图，设角α为第一象限角，其 终边与单位圆的交点为P（x，y），则 ， 都是正数，你能分 别用一条线段表示角α的正弦值和余弦 值吗？ P（x，y） O x y M 思考2：若角α为第三象限角，其终边 与单位圆的交点为P（x，y），则 ， 都是负数，此时 角α的正弦值和余弦值分别用哪条线 段表示？ P（x，y） O x y M 思考3：为了简化上述表示，我们设想 将线段的两个端点规定一个为始点，另 一个为终点，使得线段具有方向性，带 有正负值符号.根据实际需要，应如何 规定线段的正方向和负方向？ 规定：线段从始点到终点与坐标轴同向 时为正方向，反向时为负方向. 思考4：规定了始点和终点，带有方向的线 段，叫做有向线段.由上分析可知，当角α 为第一、三象限角时，sinα、cosα可分 别用有向线段MP、OM表示，即MP= sinα， OM=cosα，那么当角α为第二、四象限角 时，你能检验这个表示正确吗？ P（x，y） O x y M P（x，y） O x y M 思考5：设角α的终边与单位圆的交点 为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，称 有向线段MP，OM分别为角α的正弦线和 余弦线.当角α的终边在坐标轴上时， 角α的正弦线和余弦线的含义如何？ P O x y M O x y P P 思考6：设α为锐角，你能根据正弦线和 余弦线说明sinα＋cosα>1吗？ P O x y M MP＋OM>OP=1 知识探究（二）：正切线 A T 思考1：如图，设角α为第一象限角，其 终边与单位圆的交点为P（x，y），则 是正数，用哪条有向线段表示 角α的正切值最合适？ P O x y M A T 思考2：若角α为第四象限角，其终边 与单位圆的交点为P（x，y），则 是负数，此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合适？ P O x y M A T A T P O x y M 思考3：若角α为第二象限角，其终边 与单位圆的交点为P（x，y），则 是负数，此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合适？ 思考4：若角α为第三象限角，其终边 与单位圆的交点为P（x，y），则 是正数，此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合适？ P O x y MA T A T 思考5：根据上述分析，你能描述正切线 的几何特征吗？ 过点A（1，0）作单位圆的切线，与角α 的终边或其反向延长线相交于点T，则 AT=tanα. A T O x y P A T O x y P 思考6：当角α的终边在坐标轴上时，角 α的正切线的含义如何？ O x y P P 当角α的终边在x轴上时，角α的正切线 是一个点；当角α的终边在y轴上时，角 α的正切线不存在. 思考7：观察下列不等式： 你有什么一般猜想？ 思考8：对于不等式 （其中α为锐角），你能用数形结合 思想证明吗？ P O x y M A T 理论迁移 例1 作出下列各角的正弦线、余弦 线、正切线： （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 例2 在0～ 内，求使 成立的α的取值范围. O x y P M P1P2 例3 求函数 的定义域. O x y P2 M P1 P 小结作业 1.三角函数线是三角函数的一种几何表示， 即用有向线段表示三角函数值，是今后进一 步研究三角函数图象的有效工具. 2.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变 化，余弦线和正切线的始点都是定点，分别 是原点O和点A（1，0）. 3.利用三角函数线处理三角不等式问题， 是一种重要的方法和技巧，也是一种数形 结合的数学思想. 作业： P17 练习：1，2. P21习题1.2A组：5，7.