3．2.2 直线的两点式方程
1．过 P1(－1，－3)，P2(2,4)两点的直线的方程是( )B
2．过 P1(2,0)，P2(0,3)两点的直线方程是( )C
)
)
D3．过点(－43,49)，(－43,2 012)的直线方程是(
A．y＝49 B．y＝2 012
C．x＝49 D．x＝－43
4．若直线 l 的横截距与纵截距都是负数，则(
A．l 的倾斜角为锐角且不过第二象限
B．l 的倾斜角为钝角且不过第一象限
C．l 的倾斜角为锐角且不过第四象限
D．l 的倾斜角为钝角且不过第三象限
B
难点 直线的两点式方程
1．直线的两点式方程由点斜式方程导出．从两点式方程
(直线方程为 x＝x1)或斜率为 0 时(直线方程为 y＝y1)，不能用两
点式．
2．若把两点式化为(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)，就可以
利用它求平面内过任意两点的直线方程．
重点 直线的截距式方程
的截距确定的，其中 a 叫做横截距，b 叫做纵截距．
2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线
以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面
积比较方便．
3．中点公式：
已知 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段 P1P2 的中点
利用两点式求直线的方程
例 1：已知三角形的顶点为 A(2,4)，B(0，－2)，C(－2,3)，
求 AB 边上的中线 CM 所在直线的方程．
程是y－1
3－1＝ x－1 ，即 2x＋3y－5＝0.－2－1
解：AB 的中点 M 的坐标是 M(1,1)，中线 CM 所在直线的方
1－1.已知△ABC 的顶点为 A(2,8)，B(－4,0)，C(6,0)，求过
点 B 且将△ABC 面积平分的直线方程．
y－0
4－0＝x＋4
4＋4，即 x－2y＋4＝0.
解：AC 中点 D 的坐标为 D(4,4)，
则直线 BD 即为所求，由直线的两点式方程得
思维突破：设出截距式方程，根据题意列方程求解．
利用截距式求直线的方程
例 2：根据下列条件，求直线的方程：
(1)在 x 轴上的截距为－2，在 y 轴上的截距为 2；
(2)过点(1,4)，在两坐标轴上的截距之和为 10.
解：(1) x
－2＋y
2＝1，即 x－y＋2＝0.
此题求直线 l 的方程有两种方法：①用直线
方程的点斜式求 k；②用直线方程的截距式求 a、b.而第②种解
法较为简便．
(2)设x
a＋y
b＝1，由题意得 1
a＋4
b＝1
a＋b＝10
，
解得 a＝2
b＝8 或 a＝5
b＝5 ，
∴所求直线方程为x
2＋y
8＝1 或x
5＋ y
5 ＝1，
即 4x＋y－8＝0 或 x＋y－5＝0.
2－1.直线 l 过点(1,2)和第一、二、四象限，若直线 l 的横截
距与纵截距之和为 6，求直线 l 的方程．
综上所述，所求直线方程为
2x＋y－4＝0 和 x＋y－3＝0.
中点公式的应用
例 3：过点 P(3,0)作一直线 l，使它被两直线 l1：2x－y－2
＝0 和 l2：x＋y＋3＝0 所截的线段 AB 以 P 为中点，求此直线 l
的方程．
思维突破：过点 P 的直线 l 显然不与 y 轴平行，故可设点
斜式，求待定系数 k；也可设出 A 点坐标，利用中点坐标关系表
示出 B，再把 A、B 坐标分别代回到 l1、l2 方程中求出未知数．
故所求的直线 l 为 y＝8(x－3)，即 8x－y－24＝0.
l2 的方程联立，得：
解法一：设直线 l 的方程为 y＝k(x－3)，将此方程分别与 l1、
解法二：设 l1 上的点 A 的坐标为(x1，y1)，
∵P(3,0)是线段 AB 的中点，
则 l2 上的点 B 的坐标为(6－x1，－y1)，
由两点式得 l 的方程为 8x－y－24＝0.
3－1.直线被两直线 l1：4x＋y＋6＝0，l2：3x－5y－6＝0 截
得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程．
①＋②得：x0＋6y0＝0，
即点 A 在直线 x＋6y＝0 上，
又直线 x＋6y＝0 过原点，
所以直线 l 的方程为 x＋6y＝0.
解：设所求直线与 l1、l2 的交点分别是 A、B，
设 A(x0，y0)，则 B 点坐标为(－x0，－y0)
因为 A、B 分别在 l1、l2 上，
例 4：经过点 A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相
等的直线有几条？请求出这些直线的方程．
错因剖析：易忽略截距的绝对值都为零的情况．
由直线过点 A(1,2)，可得k＝2，即y＝2x；
当截距不为0 时，设直线方程为
正解：当截距为 0 时，设 y＝kx，
∵直线过点 A(1,2)，则得a＝3 或a＝－1，
即x＋y－3＝0 或x－y＋1＝0.
故这样的直线有3 条：
2x－y＝0，x＋y－3＝0，x－y＋1＝0.
解得 a＝－7.∴所求直线方程为 x－y＋7＝0.
当直线 l 在坐标轴上的截距都为零时，设其方程为 y＝kx.
4－1.求经过 A(－3,4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直
线 l 的方程．
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