我们知道，两点确定一条直线．一点能确定
一条直线的位置吗？已知直线 l 经过点P，直线 l
的位置能够确定吗？
X.p
Y
O
过一点P可以作
无数条直线l 1， l 2
， l 3 ，…它们都经
过点P （组成一个直
线束），这些直线区
别在哪里呢？
容易看出，它们的倾斜程度不同．怎样描述
直线的倾斜程度呢？
问题引入
x
y
O
l
l’l’’
P
可以用直线与X轴的夹
用描述它们的倾斜程度
当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基准，
x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直
线 l 的倾斜角（angle of inclination） ．
x
y
O
l 当直线l与x轴平行或重合时，
规定它的倾斜角为 .
直线的倾斜角 的取值范围为：
1.直线的倾斜角
下列四图中，表示直线的倾斜角的是(
)
练习：
A B
C D
A
直线倾斜角的定义的三个要点：
(1)以x轴的正方向作为参考方向(始边)；
(2)直线向上的方向作为终边； (3)最小正角.
直线倾斜角的意义
体现了直线对x轴正方向的倾斜程度
在平面直角坐标系中，每一条直线都
有一个确定的倾斜角。
倾斜角相同能确
定一条直线吗？
相同倾斜角可作无
数互相平行的直线
确定平面直角坐标系中一条直线位置的几
何要素是：
直线上的一个定点以及它的倾斜角， 二者
缺一不可．
确定直线的要素
x
y
O
l
P
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
前进量
升
高
量
2 3
2o
2-
y
x
2、直线的斜率
定义：直线倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
斜率通常用k表示，即：
倾斜角α不是90°的直线都有斜率，并且倾斜角不同，直线的斜
率也不同．因此，可以用斜率表示直线的倾斜程度．
从上可以看出直线的倾斜角与斜率之间的关系:
直线
形状
平行于
x 轴
像第二声 垂直
于x轴
像第四声
的
大小
的
范围
的
增减性
k=0
无
k>0
递增
不存在
无
k0 kk3>k1
3.直线的倾斜角为α，则直线的
斜率为tanα？
4.任意直线有倾斜角，则任意直线
都有斜率？
例2。已知直线的斜率K的变化范围为（ –1，1]，
求直线的倾斜角的取值范围。
分析：因为直线的斜率正负不同，直线的倾斜角范围
也不同，因此，应分斜率为负值和非负值两种
情况讨论。
当K∈ （ –1，0）时,
当K∈ [0，1] 时，
解： 直线斜率K的变化范围（ –1，1]=（ –1，0）∪ [0，1]，
所以直线的倾斜角范围为
练习
直线 的倾斜角 =30°，直线 ，
求 , 的斜率。
解： 的斜率为
的倾斜角为
的斜率为o
x
y
练习
解:
3、探究：由两点确定的直线的斜率
如图，当α为锐角时，
能不能构造
一个直角三
角形去求？
锐角
如图，当α为钝角是， 钝角
x
y
o
(3)
y
o x(4)
1、当 的位置对调时， 值又如何呢
？
当直线平行于y 轴，或与y 轴重合时，上述斜率公式还
适用吗？为什么？
已知直线上两点 ，运用上述公式
计算直线 斜率时，与 两点坐标的顺序有关吗
？
当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式
还适用吗？为什么？
答：不成立，
因为分母为0。
推导二:
练习：已知直线l的一个方向向量
解：
，求直线的斜率。
则直线的斜率为 :
直线的斜率公式：
综上所述，我们得到经过两点
的直线的斜率公式：
公式的特点
:(1)与两点的顺序无关;
(2) 公式表明,直线对于x轴的倾斜度,可以通过直线上
任意两点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角;
(3)当x1=x2时,公式不适用,此时直线与x轴垂直,α=900
例1 如图 ，已知 ，求
直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角
是锐角还是钝角．
解：直线AB的斜率
直线BC的斜率
直线CA的斜率
由 及 知，直线AB 与CA的倾斜角均
为锐角；由 知，直线BC的倾斜角为钝角．
求经过已知两点的直线的斜率和倾斜角：
方法：先用经过两点的直线的斜率公
式求斜率， 再求倾斜角。
例2
解:
例3. 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率
分别为1，-1，2及-3的直线 及 ．
即
解：取 上某一点为 的
坐标是 ，根据斜率公式
有:
设 ，则 ，于是 的坐标是 ．过
原点及 的直线即为 ．
x
y
类似可画出 的图像。
例4
解:
解:
练习. 已知a，b，c是两两不等的实数，求经过下列
每两个点的直线的倾斜角与斜率。
（1）A（a，c），B（b，c）
（2）C（a，b），D（a，c）
（3）P（b，b+c），Q（a，c+a） k=1
练习.证明A（1，3），B（5，7），C（10，12）三
点共线。
A，B，C三点共线
证明：
1、直线的倾斜角的定义
2、直线的斜率的定义
3、两点间斜率公式
当直线 l 与x轴相交时，
我们取x轴作为基准，
x轴正向与直线 l 向上
方向之间所成的角α
叫做直线 l 的倾斜角．
一条直线的倾斜角 的
正切值叫做这条
直线的斜率.
作业 已知点P(0,-2),A(-1,2),B(2,3)经过点
P的直线l与线段AB有公共点时,求直线l的斜率
k的取值范围.
O x
y
.
..
P
A
B已知三点A(2,3),B(a, 4),C(8, a)
三点共线,
求a 的值.
直线L的倾斜角是连接（3，-5），
（0，-9）两点的直线的倾斜角的两
倍，求直线L的斜率。
已知直线 和 的斜率分别是 和 ，求它们的
倾斜角及确定两条直线的位置关系。
由图可知
解:
Y
O X
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