人教版高中数学必修2 2.3.1直线与平面垂直的判定课件PPT

高中数学人教版必修2课件 2．3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 高中数学人教版必修2课件 1．下面四个命题，其中真命题的个数是( )B ①垂直于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一直线的 两个平面平行；③平行于同一平面的两个平面平行；④平行于 同一直线的两条直线平行． B．3 个 D．1 个 A．2 个 C．4 个 解析：②、③、④正确． 高中数学人教版必修2课件 2．下列命题(a、b 表示直线，α表示平面)中的真命题是( )A 3．下列命题中，假命题是( )D A．过一点有一个平面与已知直线垂直 B．过一点至多只有一个平面与已知直线垂直 C．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 D．过一点可能有两个平面与已知直线垂直 高中数学人教版必修2课件 4．直线 l 和平面α内无数条直线垂直，则( )D A．l 和α相互平行 B．l 和α相互垂直 C．l 在α内 D．不确定 解析：直线 l 和平面α内无数条直线垂直，可能是 l∥α， l ⊂α，或 l 和α相交(也可能垂直)，即 l 和α的位置关系不确定． 高中数学人教版必修2课件 重点 线面垂直的判定 1．判定直线和平面是否垂直，通常有三种方法： (1)定义法：如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直， 则直线 l 与平面α互相垂直，记作 l⊥α.l－平面α的垂线，α －直线 l 的垂面，它们的唯一公共点 P 叫做垂足(线线垂直→线 面垂直)； (2)一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条 直线与该平面垂直．用符号语言表示为：若 l⊥m，l⊥n，m∩n ＝B，m⊂α，n⊂α，则 l⊥α； (3)若两条平行直线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直 于这个平面． 高中数学人教版必修2课件 2．根据线面垂直的定义知：线面垂直可以得到大量线线垂 直；由线面垂直的判定定理知：要得到线面垂直就需要线线垂 直．要深切体会线面垂直与线线垂直的相互转化． 3．定理：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一 点有且只有一个平面与已知直线垂直． 难点 直线与平面所成的角 斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和 它在平面内的射影的夹角．求直线和平面所成的角，一般先定 斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简 述为“作(作出线面角)→证(证所作为所求)→求(解直角三角形)”． 通常，过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，并连接垂足和 斜足是产生线面角的关键． 高中数学人教版必修2课件 线面垂直判定定理的应用 例 1：已知：如图 1，空间四边形 ABCD 中，AB＝AC，DB ＝DC，取 BC 中点 E，连接 AE、DE，求证：BC⊥平面 AED. 图 1 证明：∵AB＝AC，DB＝DC，E 为BC 中点， ∴AE⊥BC，DE⊥BC. 又∵AE 与DE 交于E，∴BC⊥平面AED. 由判定定理可知要证明直 线垂直平面，只需证明直线与平面内的任意两 条相交直线垂直即可． 高中数学人教版必修2课件 下面结论成立的是( ) 1－1.如图 2(1)，在正方形 SG1G2G3 中，E、F 分别是边 G1G2、 G2G3 的中点，D 是 EF 的中点，现沿 SE、SF 及 EF 把这个正方 形折成一个几何体(如图 2(2))，使 G1、G2、G3 三点重合于点 G， (1) (2) 图2 A．SG⊥平面 EFG C．GF⊥平面 SEF B．SD⊥平面 EFG D．GD⊥平面 SEF 解析：在题图(1)中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，在题图(2)中， SG⊥GE，SG⊥GF，∴SG⊥平面 EFG. A 高中数学人教版必修2课件 1－2.如图 3，在四棱锥 P－ABCD 中，PA ⊥底面 ABCD，AC ⊥CD，E 是 PC 上的任一点(除 P 和 C 点外)，证明：CD⊥AE. 图 3 证明：在四棱锥 P－ABCD 中， ∵PA ⊥底面 ABCD，CD⊂平面 ABCD， ∴PA ⊥CD. 又∵AC⊥CD，PA ∩AC＝A. ∴CD⊥平面 PAC. 而 AE⊂平面 PAC，∴CD⊥AE. 高中数学人教版必修2课件 直线与平面所成的角 例2：如图 4，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，求 A1B 与平 面 A1B1CD 所成的角． 图 4 解：连接 BC1 交 B1C 于 O，连接 A1O，在正方体 ABCD－ A1B1C1D1 中各个面为正方形，设其棱长为 a. 高中数学人教版必修2课件 ⇒A1O 为 A1B 在平面 A1B1CD 内的射影 ⇒∠BA1O 为 A1B 与平面 A1B1CD 所成的角． ⇒A1B 与平面 A1B1CD 所成的角为 30°. 高中数学人教版必修2课件 求直线和平面所成的角时，应注意的问题 是：(1)先判断直线和平面的位置关系．(2)当直线和平面斜交时， 常有以下步骤：①作——作出或找到斜线与射影所成的角；② 证——论证所作或找到的角为所求的角；③算——常用解三角 形的方法求角；④结论——说明斜线和平面所成的角值． 高中数学人教版必修2课件 图 5 2－1.如图 5，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中， AB＝BC＝2， AA1＝1，则 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值为( ) 高中数学人教版必修2课件 A 2－2.若斜线段 AB 是它在平面α内的射影长的 2 倍，则 AB 与α所成的角为( ) A．60° B．45° C．30° D．120° 答案：D 解析：如图22 ，连接 A1C1 ，则∠AC1A1 为 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角． 图 22 高中数学人教版必修2课件 证明：∵PA ⊥⊙O 所在平面， BC⊂⊙O 所在平面，∴PA ⊥BC， ∵AB 为⊙O 直径， ∴AC⊥BC， 又 PA ∩AC＝A， ∴BC⊥平面 PAC， 又 AE⊂平面 PAC，∴BC⊥AE， ∵AE⊥PC, PC∩BC＝C，∴AE⊥平面 PBC. 线面垂直判定定理的应用 例 3：如图 6，已知 PA ⊥⊙O 所在平面，AB 为⊙O 直径， C 是圆周上任一点，过 A 作 AE⊥PC 于 E， 求证：AE⊥平面 PBC. 图 6 高中数学人教版必修2课件 3－1.PA 是垂直于以 AB 为直径的圆所在的平面，C 为圆上 )B异于 A、B 的任一点，则下列关系不正确的是( A．PA ⊥BC B．AC⊥PB C．BC⊥平面 PAC D．PC⊥BC 高中数学人教版必修2课件 图 7 正解：∵PA ⊥a，a∥b，∴PA ⊥b. 又∵AB⊥b，且 PA ∩AB＝A， ∴b⊥平面 PAB. 又∵PB⊂平面 PAB，∴PB⊥b. 错因剖析：没有正确使用线面垂直的判定定理． 例 4：如图 7，a∥b，点 P 在 a、b 所确定的平面外，PA ⊥a 于点 A，AB⊥b 于点 B，求证：PB⊥b. 高中数学人教版必修2课件 4－1.P 为△ABC 所在平面外一点，O 为 P 在平面 ABC 上的 射影． (1)若 PA ＝PB＝PC，则 O 是△ABC 的_____； (2)若 PA ⊥BC，PB⊥AC，则 O 是△ABC 的_____； (3)若 P 到△ABC 三边的距离相等，且 O 在△ABC 内部，则 O 是△ABC 的______； (4)若 PA 、PB、PC 两两互相垂直，则 O 是△ABC 的_____． 外心 垂心 内心 垂心 高中数学人教版必修2课件 解析：(1)如图 23，∵PO⊥平面 ABC， ∴PA 、PB、PC 在平面 ABC 上的射影分别是 OA、OB、OC. 又∵PA ＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC. ∴O 是△ ABC 的外心． 图 23 图 24 (2)如图 24，∵PO⊥平面 ABC， ∴PA 在平面 ABC 上的射影是 OA. ∵BC⊥PA ，∴BC⊥OA. 同理可证 AC⊥OB， ∴O是△ ABC 的垂心．故填垂心． 高中数学人教版必修2课件 (3)如图 25， 图 25 P到△ ABC 三边的距离分别是 PD、PE、PF， 则 PD＝PE＝PF. ∵PO⊥平面 ABC，∴PD、PE、PF 在平面 ABC 上的射影 分别是 OD、OE、OF. ∴OD＝OE＝OF，且 OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC. ∴O是△ ABC 的内心，故填内心． 高中数学人教版必修2课件 ∵PO⊥平面 ABC， ∴OA 是 PA 在平面 ABC 上的射影． 又∵PA ⊥PB，PA ⊥PC， ∴PA ⊥平面 PBC. 又∵BC⊂平面 PBC， ∴PA ⊥BC.∴OA⊥BC. 同理可证 OB⊥AC. ∴O是△ ABC 的垂心．故填垂心． (4)如图 26， 图 26