人教版高中数学必修2 3.2.2直线的两点式方程ppt课件

3.2.2 直线的两点式方程 1 1.了解由直线方程的点斜式推导出两点式方程及截距式方程. 2.初步学会用直线方程的知识解决有关实际问题. 2 1.已知直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),则直线l的 斜率为k=_______,代入点斜式方程,得 _________________________,当y1≠y2时,方程可以写成 _________________,这个方程是由直线上两个点确定的,所 以叫做直线的__________方程.两点式 3 2.若直线与x轴的交点为(a,0)(a≠0),与y轴的交点为 (0,b)(b≠0),则直线的方程为_____________,这个方程由直 线与坐标轴的截距确定,所以叫做直线的___________方程.截距式 4 名 师 讲 解 (学生用书P69) 5 1.直线的两点式方程 如果直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2,且y1≠y2),则 直线l的斜率为 由直线的点斜式方程得 6 若x1=x2,知P1P2与x轴垂直,此时的直线l的方程为x=x1. 若y1=y2,知P1P2与y轴垂直,此时的直线l的方程为y=y1. 另外,我们也可以按下面的思路推导. 7 说明:直线的两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线,若将 方程化为(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1),则可表示经过这两 个点的所有直线. 8 2.直线的截距式方程 直线的截距式方程是两点式的特殊情形,此时两点的坐标为 (a,0)和(0,b)(ab≠0),此时方程的形式为 截距式方程在画直线时非常方便. 说明:直线的截距式方程不能表示与坐标轴垂直或过原点的 直线. 9 典 例 剖 析 (学生用书P70) 10 题型一 直线的两点式方程 例1:已知三角形的三个顶点A(-2,2),B(3,2),C(3,0),求这个三 角形的三边所在直线的方程以及AC边上的高线所在直线的 方程. 分析:求直线的方程时要选好方程的形式,要注意方程的适 用范围. 11 解:如右图,直线AC过点 A(-2,2),C(3,0),由直线的两点式方程得 整理可得2x+5y-6=0, 这就是所求直线AC的方程. 直线AB经过A(-2,2),B(3,2),由于其纵坐标相等,可知其方程为 y=2,这就是所求直线AB的方程. 12 直线BC经过B(3,2),C(3,0),由于其横坐标相等,可知其方程为 x=3,这就是所求直线BC的方程. 由于A(-2,2),C(3,0),∴kAC= 由AC边上的高线与AC垂直,设其斜率为k, 则k•kAC=-1,得 根据直线的点斜式方程,得y-2= (x-3),即5x-2y-11=0,这就 是所求的AC边上的高线所在直线的方程. 规律技巧:当直线与坐标轴平行或重合时,不能用两点式,应 作特殊处理. 13 变式训练1:已知两点A(3,2),B(8,12). (1)求出直线AB的方程; (2)若点C(-2,a)在直线AB上,求实数a的值. 解:(1)由直线的两点式方程得 即为2x-y-4=0,这就是直线AB的方程. (2)∵点C(-2,a)在直线AB上, ∴2×(-2)-a-4=0.∴a=-8. 14 题型二 直线的截距式方程 例2:直线l过点P(-6,3),且它在x轴上的截距是它在y轴上截距 的3倍,求直线l的方程. 分析:设直线l在y轴上的截距为b,则在x轴上的截距为3b.因 为截距可正,可负,可为零,所以应分b=0和b≠0两种情况解 答. 15 解:(1)当直线在y轴上的截距为零时,直线过原点,可设直线l 的方程为y=kx, ∵直线l过点P(-6,3). ∴3=-6k,k=- . ∴直线l的方程为y=- x,即x+2y=0. 16 (2)当直线在y轴上的截距不为零时,由题意可设直线l的方程 为 又直线l过点P(-6,3), ∴ ,解得b=1. ∴直线l的方程为 +y=1. 即x+3y-3=0. 综上所述,所求直线l的方程为x+2y=0或x+3y-3=0. 17 变式训练2:根据条件,求下列各题中直线的截距式方程. (1)在x轴上的截距为-3,在y轴上的截距为2; (2)在x轴上的截距为1,在y轴上的截距为-4. 18 题型三 直线方程的应用 例3:求与两坐标轴围成的三角形面积为9,且斜率为-2的直线 方程. 分析:依题意知,截距不为0,故可设出直线的截距式方程,利 用待定系数法求解. 19 20 规律技巧:求直线方程关键是选择适当的直线方程的形式, 由于本题涉及到直线在两坐标上的截距,因此设出了直线的 截距式方程. 21 变式训练3:求与两坐标围成的三角形面积为32,且斜率为-4的 直线l的方程. 22 易错探究 例4:已知直线l经过点(3,-2),且在两坐标轴上的截距相等,求 直线l的方程. 错解:错解1:由于直线l的截距相等,故直线l的斜率为±1. 若k=1,则直线方程为:y+2=x-3, 即为x-y-5=0; 若k=-1,则直线方程为:y+2=-(x-3), 即为x+y-1=0. 23 错解2:由题意,直线在两轴上的截距相等,可设直线的方程为: 由于直线过点(3,-2),则有 所以a=1. 即所求的方程为x+y-1=0. 24 错因分析:在上述两种错解中,错解1忽视了截距的意义,截距 不是距离,它可正可负,也可以为0.当k=1时,直线x-y-5=0在 两轴上的截距分别为5和-5,它们是不相等的.另外,这种解法 还漏掉了直线在两轴上的截距均为0时的特殊情形;错解2中, 没有注意到截距式方程的适用范围,同样也产生了漏解. 25 正解:解法1:依题意,直线l的斜率存在且不为0,设其斜率为k, 则可得直线的方程为:y+2=k(x-3). 令x=0,得y=-2-3k;令y=0,得 由题意得-2-3k=3+ 解得k=-1,或k=- 所以l的方程为:y+2=-(x-3), 或y+2=- (x-3). 即为x+y-1=0,或2x+3y=0. 26 解法2:设直线l在两轴上的截距均为a. (1)若a=0,则直线l过原点,此时l的方程为:2x+3y=0; (2)若a≠0,则l的方程可设为: 因为l过点(3,-2),知 =1,即a=1. 所以直线l的方程为x+y=1,即为x+y-1=0. 综合(1)､(2)可知:直线l的方程为2x+3y=0,或x+y-1=0. 27 技 能 演 练(学生用书P71) 28 基础强化 1.过两点(2,5),(2,-5)的直线方程是( ) A.x=5 B.y=2 C.x=2 D.x+y=2 答案:C 29 2.在x,y轴上截距分别为4,-3的直线方程是( ) 答案:A 30 3.过(x1,y1)和(x2,y2)两点的直线方程是( ) C.(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0 D.(x2-x1)(x-x1)-(y2-y1)(y-y1)=0 答案:C 31 4.直线ax+by=1与两坐标轴围成的三角形的面积是( ) 答案:D 32 5.直线ax-y+a=0(a≠0)在两坐标轴上截距之和是( ) A.a-1 B.1-a C.a+1 D. 解析:令x=0,得y=a.令y=0,得x=-1,故直线在两坐标轴上截距 之和为a-1. 答案:A 33 6.过(3,0)点与x轴垂直的直线方程为__________,纵截距为- 2且与y轴垂直的直线方程为______________. x=3 y=-2 34 7.过(5,7)及(1,3)两点的直线方程为__________,若点(a,12) 在此直线上,则a=__________. 解析:过点(5,7)及(1,3)两点的直线方程为 即x-y+2=0.∵点(a,12)在x-y+2=0上, ∴a-12+2=0.∴a=10. x-y+2=0 10 35 8.已知直线l的斜率为6.且在两坐标轴上的截距之和为10,求此 直线l的方程. 解法1:设直线方程为y=6x+b, 令x=0,得y=b,令y=0得 由题意 =10.∴b=12. 所以所求直线方程为6x-y+12=0. 36 37 能力提升 9.求斜率为 且与两坐标轴围成的三角形的周长为12的直 线l的方程. 38 10.已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为3,且在两坐标轴 上的截距之和为5,求这样的直线有几条? 39 40 品 味 高 考(学生用书P72) 41 11.(2010·安徽文4)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线 方程为( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 解析:所求直线可设为x-2y+c=0. ∵过点(1,0),∴1+c=0,∴c=-1. ∴所求直线为x-2y-1=0. 答案:A 42 12.(2009·上海)已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x- 2y+3=0平行,则k的值是( ) A.1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2 解析:当k=3时,l1:y+1=0,l2:-2y+3=0.显然平行; 验证当k=1时,l1:-2x+3y+1=0, l2:-4x-2y+3=0,显然不平行. 因此,选C. 答案:C 43