人教版高中数学必修4 3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式ppt课件

3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 课 标 点 击 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 预 习 导 学 典 例 精 析 课 堂 导 练 课 堂 小 结 1．理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公 式及其推导过程． 2．灵活运用二倍角公式及其不同变形，能正 用、逆用公式，进一步树立化归思想方法． 基础梳理 2sinαcosα cos2α－sin2α  2cos2α－1  1－2sin2α 思考应用 1. 公式中的角是否为任意角？ 思考应用 2．试应用二倍角的正弦、余弦公式化简并讨论函 数 的奇偶性与周期性． 自测自评 分析：本题考查二倍角公式以及弦化切方法的简 单应用． 二倍角公式的简单应用 跟踪训练 1．(1)已知 求sin 2α， cos 2α，tan 2α之值． (2)(2011年江苏卷)已知 的 值为________． 已知sinθ＋cosθ= 求 sin 2θ，cos 2θ的值． 利用二倍角公式化简与求值 跟踪训练 已知tan2β＝tan2α＋ 求证 ： cos 2α－2cos 2β＝1. 分析：本题考查利用二倍角公式证明．首先要降 幂，然后才可以寻找到二倍角的形式，进而寻找到它 们的关系． 利用二倍角公式化简与证明 点评： 有条件的等式证明，常常先观察条件式 及欲证式中左右两边的三角函数式的区别与联系，灵 活使用条件变形即可得证． 跟踪训练 分析：本题考查利用二倍角公式证明． (1)直接利用二倍角公式将原式化为的三角函数 形式； (2)首先看分母，利用“1”与三角函数的关系， 将已知条件化简后再向右边靠近． 点评： 无条件的等式证明，常用综合法(执因索果) 和分析法(执果索因)，证明的形式有化繁为简、左右归 一、变更论证等．不论采用什么证明方式和方法，都要 认真分析等式两边三角函数的特点、角度和函数关系， 找出差异，寻找证明的突破口． 已知α，β∈ ，tan α与tan β是方 程x2＋3 x＋4＝0的两根，求α＋β. 分析：本题考查三角函数公式在方程中的应用 问题．利用韦达定理求得根与系数的关系代入求解 是常用方法之一． 二倍角公式与其他知识的综合问题 跟踪训练 4．在半圆形钢板上截取一块矩形材料，怎样截取能 使这个矩形的面积最大？ 解析：如右图所示，设∠AOB＝θ，且θ为锐角，半 圆的半径为R，则面积最大的矩形ABCD必内接于半圆O ，且两边长分别为 |AB|＝Rsin θ， |DA|＝2|OA|＝2Rcos θ. 则这个矩形的面积为 S矩形ABCD＝|AB|·|DA|＝Rsin θ·2Rcos θ＝R2sin 2θ. 所以，当sin 2θ＝1(θ为锐角)，即θ＝45°时，矩形 ABCD的面积取得最大值R2. 答案：当这个矩形的长和宽与半圆的半径的比是2∶1∶ 时，所截矩形的面积最大． 1．函数y＝cos2x－sin2x的最小正周期是(  ) 解析：∵y＝cos 2x， ∴函数的最小正周期T＝π. 答案：A 2．(2010年广州高一统考)y＝(sin x－cos x)2－1 是(  ) A．最小正周期为2π的偶函数 B．最小正周期为2π的奇函数 C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为π的奇函数 解析：y＝1－2sin xcos x－1＝－sin 2x，为 奇函数， 且所求最小正周期 答案：D 1．利用同角三角函数基本关系式求值常有两类题： 一类是已知角α的某个三角函数值，求其它三角函数值 ．解法是直接利用三角函数基本关系式求解． 另一类是已知tanα的值，求关于sinα，cosα的齐次分式 的值的问题，比如求 的值，因为cosα≠0，所以用 cosnα除之，将待求式化为关于tan α的表达式，可整体代入 tan α＝m的值，从而完成待求式的求值． 2．关于化简与证明：(1)sin2α＋cos2α＝1及2＝1＋ 2sin αcos α是常用的技巧；同时应注意正切化两弦．(2)利 用同角三角函数关系式证明时，要熟悉公式，方法有从左 至右或从右至左或从两侧同时证明．