第十六章 二次根式
16.1 二次根式
第1课时
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传得越
远，从而能收看到电视节目的区域越广，电
视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传
播半径r（单位：km）之间存在近似关系
，其中地球半径R≈6400 km．如
果两个电视塔的高分别是h1 km、h2 km，
那么它们的传播半径之比是 ，你能化
简这个式子吗？
式子 表示什么？公式中 中的
表示什么意义？
问题（1） ：
面积为3 的正方形的边长为_______，
面积为S 的正方形的边长为_______．
提出问题：
上述问题（1）中式子你是怎么得到？得到的两个
式子有什么不同？
问题（2） ：
一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为
130 m2，则它的宽为______m．
提出问题：
请问上述问题（2）中得到的式子有什么意义？
问题（3）：
一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t
（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关
系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，则_____．
（3）中当h 的值分别为0，10，15，20，25时，得
到的结果分别是什么？ 表示的数怎样变化？
（1）这些式子分别表示什么意义？
（2）这些式子有什么共同特征？
这些式子的共同特征是：
都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负
数）的算术平方根．
分别表示 3，S ，65， 的算术平方根．
上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ， ．
（3）根据你的理解，请写出二次根式的定义．
把形如 ， ， ， 用来表示一个非负数的
算术平方根的式子，叫做二次根式．
被开方数a≥0；
根指数为2．
二次根式
二次根式：
一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次
根式，“ ”称为二次根号．
练习1 指出下列哪些是二次根式？
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ．
≥
＜
√
√
√
练习2 二次根式和算术平方根有什么关系？
二次根式都是非负数的算术平方根；带有根号的
算术平方根是二次根式．
∴ 当x≥-2时， 在实数范围内有意义．
解：要使 在实数范围有意义，
必须 x+2≥0，
∴ x≥ -2．
例1 当x 是怎样的实数时， 在实数范围内有
意义？
思考 当x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意
义？ 呢？
（1） ；（2） ；（3） ．
解：（1）由a+1≥0，得 a≥ -1；
（2）由1-2a＞0，得 a＜ ；
（3）由 ≥0，得a为任何实数．
例2 a 取何值时，下列根式有意义？
（1） ；（2） ．
答案：（1） a为任何实数；
（2） a =1．
变式演练 a 取何值时，下列根式有意义？
总结：被开方数不小于零．
当a＞0 时， 表示a 的算术平方根，因此 ＞0；
这就是说， （a≥0）是一个非负数．
当a =0 时， 表示0 的算术平方根，因此 =0；
探究 请比较 和0 的大小． 分类讨论思想
双重非负性
（1）本节课你学到了哪一类新的式子？
（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的
范围是什么？
（3）二次根式与算术平方根有什么关系？
一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次
根式，“ ”称为二次根号．
双重非负性 ≥ ．中的a≥0；
二次根式都是非负数的算术平方根，带有根号的算
术平方根是二次根式．
第十六章 二次根式
16.1 二次根式
第2课时
复习练习1 判断下列各式哪些是二次根式：
（1） ；
（2） ；
（3） ．≤
×
√
√
复习练习2 当x 是什么实数时，下列各式有意义．
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
复习练习3 若 是整数，则自然数n 的值为
___________.0，3，4
归纳归纳
即非负数的算术平方根的平方等于它的本身.
探究探究11
参考如图所示,完成以下填空:
面积
一般地,二次根式有下面的性质:
一般地,二次根式有下面的性质:
一般地,二次根式有下面的性质:
当 时, ; 当 时,
请比较左右两边的式子,议一议: 与 有什么关系?
探究2
2.从运算顺序来看：
先开方,后平方
先平方,后开方
=a
= ∣a∣
1.从读法来看：
3.从取值范围来看：
a取任何实数
a≥0
根号a的平方
根号下a平方
4.从运算结果来看:
=|4x|
∵x
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