第10章 一次方程组
10.2 二元一次方程组的解法10.2.1 代入消元法
第10章 一次方程组
•10.2 二元一次方程组的解法新知探究
在上一节中,我们列出了二元一次方程组
并且知道x=40,y=20是这个方程组的一个解.这个解
是怎么得到的呢?
大家都会解一元一次方程,可是现在方程
①和方程②中都含有两个未知数,该如何
解决呢?
②
①方程①和②中的x都表示一月份的天然气费,y都表
示一月份的水费,因此方程中②中的x,y分别与方
程①中的x,y的值相同.
由②式可得 x=y+20. ③
于是可以把③代入①式,得 (y+20)+y=60, ④
解方程④,得y=20.把y的值代入③式,得x=40.
因此原方程组的解是同桌同学讨论,解二元一次方程组的基本思想法是
什么?
讨论【例1】解二元一次方程组:
②
①
解:由②式得 y= -3x+1. ③
把③代入①式,得5x-(-3x+1)=-9.
解得 x= -1.
把x= -1代入③式,得 y=4.
因此原方程组的解是
可以把求得的x
,y的值代入原
方程组检验,
看是否为方程
组的解.代入消元法
解二元一次方程组的基本思想是:消去一个未知数
(简称消元),得到一个一元一次方程,然后解这
个一元一次方程.
在上面的例子中,消去一个未知数的方法是:把其
中一个方程的某一个未知数用含有另一个未知数的
代数式表示,然后把它代入到另一个方程中,便得
到一个一元一次方程.这种解方程组的方法叫作代入
消元法,简称代入法.【例2】用代入法解方程组:
②
①
解:由①式得 ③
把③代入②式,得
解得 y=2.
把y=2代入③式,得 x=3.
因此原方程组的解是1. 把下列方程改写为用含x的代数式表示y的形式.
(1)2x-y=-1; ( 2)x+2y-2=0.
答案:(1)y=2x+1.
(2)
练习2.用代入法解下列二元一次方程组.
(1) (2)
(3) (4)
答案:(1) (2)
(3) (4)通过本节课,你有什么收获
?
你还存在哪些疑问,和同伴
交流。
我思 我进步10.2.2 加减消元法
第10章 一次方程组
•10.2 二元一次方程组的解法新知探究
如何解下面的二元一次方程组?
②
①
我们可以用学过的代
入消元法来解这个方
程组,得还有没有更简单的解法呢?
我们知道解二元一次方程组的关键是消去一个未知
数,使方程转化为一个一元一次方程.
分析方程①和②,可以发现未知数x的系数相同,因
此只要把这两个方程的两边分别相减,就可以消去
其中一个未知数x,得到一个一元一次方程.
即①-②,得 2x+3y-(2x-3y)=-1-5,
解得y=-1. 把y=-1代入①式,解得x=1.
因此原方程组的解是分析方程①和②,可以发现未知数y的系数互为相反
数,因此也可以把这两个方程的两边分别相加,就
可以消去其中一个未知数y,得到一个一元一次方程.【例1】解二元一次方程组:
②
①
解:①+②,得 7x+3y+2x-3y=1+8,
解得 x=1.
把x=1代入①式,可求出 y= -2.
因此原方程组的解是加减消元法
消去一个未知数的方法是:如果两个方程中有一个未
知数的系数相等,那么把这两个方程相减(或相加);
否则,先把其中一个方程乘以适当数,将所得方程与
另一个方程相减(或相加),或者先把两个方程分别
乘以适当的数,再把所得到的方程相减(或相加).
这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法简称加
减法.【例2】解二元一次方程组:
②
①
解:①×3,得 6x+9y=-33. ③
②-③,得 -14y=42,
解得 y=-3.
把y=-3代入①式,可求出 x=-1.
因此原方程组的解是在例2中如果先消去y应如何解?会与上述结果一致
吗?
讨论用加减法解一元二次方程组:
(1) (2)
(3) (4)
答案:(1) (2) (3) (4)
练习加减消元法和代入消元法是解二元一次方程的两种方
法,它们都是通过消去其中一个未知数(消元),使
二元一次方程组转化为一元一次方程,从而求解,只
是消元的方法不同,我们可以根据方程组的具体情况
来灵活选择适合它的消元方法.【例3】解二元一次方程组:
②
①
解:①×10,得 2m-5n=20. ③
②-③,得 3n-(-5n)=4-20,
解得 n=-2.
把n=-2代入①式,可求出 m=5.
因此原方程组的解是【例4】解二元一次方程组:
②
①
解:①×4,得 12x+16y=32. ③
②×3,得 12x+9y= -3. ④
③-④,得 16y-9y=32-(-3), 解得 y=5.
把y=5代入①式,可求出 x=-4.
因此原方程组的解是【例5】在方程y=kx+b中,当x=1时,y= -1;当x= -1时,
y=3.试求k和b的值.
解:根据题意得
①+②,得 2=2b,
解得 b=1.
把b=1代入①式,得k=-2.
所以k=-2,b=1.
②
①1.解下列二元一次方程组:
(1) (2)
答案:(1) (2)
练习2.已知 和 都是方程y=ax+b的解,求a
,b的值.
答案:通过本节课,你有什么收获
?
你还存在哪些疑问,和同伴
交流。
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