人教版高中必修4数学2.5.1平面几何中的向量方法ppt课件

2.5.1平面几何中的向量的方法 向量概念和运算，都有明确的物理背景和 几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向 量的运算就可以完全转化为“代数”的计算， 这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大 的方便。 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜 明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、 全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性 运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法 可以解决平面几何中的一些问题。 引入 问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几 何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的 长度与两条邻边长度之间的关系吗？ A B CD猜想： 1.1.长方形对角线的长度长方形对角线的长度 与两条邻边长度之间有与两条邻边长度之间有 何关系？何关系？ 2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？ 例1 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型 BA D C分析 涉及长度问题常常考虑向量的数量积 BA D C 解 ①+② 平行四边形两条对角线的平方 和等于两条邻边平方和的两倍 变式1、证明平行四边形两对 角线互相平分 A B D C 例题 M 用向量法解平面几何问题的基本思路 （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关 系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： 简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形 想一想 A D C B E F R T 例2 如图,连接□ABCD的一个顶点至AD、DC 边的中点E、F,BE、BF分别与AC交于R、T两点, 你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？ 分析: 由于AR,RT,TC在AC上, 只要判断AR,RT,TC与AC的关系 A B CD E F R T 解：第一步：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问 题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 第二步：通过向量运算，研究几何元素 之间的关系，如距离、夹角等问题； 又因为 解得 第三步：把运算结果“翻译”成几何元素。 AR=RT=TC 平面几何简单定理 （1）三角形中位线定理 （2）勾股定理 （3）圆周角定理 A B C O 练习 证明直径所对的圆周角是直角 A B C O 如图所示，已知⊙O，AB为直径，C为 ⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° 分析：要证∠ACB=90°，只须证 向量 即 解：设 则 ， 由此可得： 即 ，∠ACB=90° 练习 利用向量的数量 积可解决长度、 角度、垂直等问 题 你能从数学的角度解释 这种现象吗？ 在日常生活中，你是否有这样的经验： 两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力； 在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小 越省力。 例3 ～ ～ （1） θ为何值时， |F1|最小，最小值是 多少？ （2） |F1|能等于|G|吗？为什么？ 例4 思考题:已知船在静水中的速度是3km/h,它 要横渡30m的河流,已知水流的速度是 4km/h,思考: 1.这只船可以沿着垂直于河岸的航线到达 正对岸吗? 思考题 解：|v|= = （km/h），所以 t= = ×60=3.1（min）. 答：行驶航程最短时，所用时间是3.1min. 分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的 方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短，考 虑到水的流速，要使船行驶最短航程，那么船的速度 与水流速度的合速度v 必须垂直于对岸，如图 （1）行驶航程最短,是否就是航程时间 最短呢? （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关 系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” ： 小结 物理问题 (实际问题） 向量问题 (数学模型) 数学问题 的解决 解释和验证相 关物理现象 小结 课本习题2.5A组 第2题 作业