1.6 三角函数模型的简单应用
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1.6 三角函数模型的简单应用
预
习
导
学
典
例
精
析
课
堂
导
练
课
堂
小
结
1．了解曲线y＝Asin(ωx＋φ)在物理上的应用，了解建
立该类问题的数学模型所应掌握的物理知识．
2．理解并掌握解数学应用问题的一般步骤，掌握将所
发现的规律抽象为恰当的三角函数问题的方法，并能正确选
择恰当的角作为变量建立函数关系．
基础梳理
三角函数模型的简单应用
1．建立三角函数模型解决实际问题
三角函数在数学中有着广泛的应用，在实际生活中也
可以解决很多问题，如某天某段时间内温度的变化规律等．
如果某种现象的变化具有________，根据三角函数的
性质，我们可以根据这一现象的特征和条件，利用三角函数
知识构建数学模型，从而把这一具体现象转化为一个特定的
数学模型——______________.
1．周期性 三角函数模型
思考应用
1．下面是钱塘江某个码头今年春季每天的时间(单位：时
)与水深(单位：米)的关系表：
请仔细观察表格中的数据，你能够从中得到一些什么信息
？
时
间 0∶00 3∶00 6∶00 9∶00 12∶00 15∶00 18∶00 21∶00 24∶00
水
深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
分析： 这是一道开放性试题，应该有多种不同答案．现
将部分答案列举如下．
答案：(1)水深的最大值是7.5米，最小值是2.5米．
(2)水的深度开始由5.0米增加到7.5米，后逐渐减少一
直减少到2.5，又开始逐渐变深，增加到7.5米后，又开始减
少．
(3)水深变化并不是杂乱无章，而是呈现一种周期性变
化规律．
(4) 学生活动：作图——更加直观明了这种周期性变化
规律．(研究数据的两种形式)
2．解三角函数应用题的基本步骤
第一步，阅读理解，审清题意．读题要做到逐字逐句，
，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在
此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的
数学问题．
第二步，搜集整理数据，建立数学模型．根据搜集到
的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知
识以及其它相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题
转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三
角函数模型．
第三步，利用所学的三角知识对得到的三角函数模型
予以解答，求得结果．
第四步，将所得结论转译成实际问题的答案．
思考应用
2．一艘如思考应用1中的货船的吃水深度(船底与水面
的距离)为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船
底与洋底的距离)，试问：该船何时能够进入港口？在港口能
呆多久？(已知当sin ＝0.2时， ≈0.2014，x≈0.3848)
分析：用数学的眼光看，这里研究的是一个怎样的数
学问题？
水深≥5.5米，得出2.5sin ＋5≥4＋1.5，即sin ≥0.2.
解析： 由题意得2.5sin ＋5≥4＋1.5，
即sin ≥0.2，
下面解三角不等式sin ≥0.2，
由已知当sin ＝0.2时，
≈0.2014，x≈0.3848，记为xA≈0.3848，结合图象
发现：在[0,24]范围内，方程sin ＝0.2的解一共有4
个，从小到大依次记为：
xA，xB，xC，xD，则xB≈6－0.3848＝5.6152，xC≈12＋
0.3848＝12.3848，
xD≈12＋5.6152＝17.6152.
因此货船可以在0时30分钟左右进港，早晨5时30分钟
左右出港；或者是中午12时30分钟左右进港，在傍晚17时30
分钟左右出港，每次可以在港口停留5小时左右．
自测自评
1．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的位移和时
间的函数关系式为：s＝6sin ，则单摆的运动周期为
________，最大位移是________．
2．设y＝f(t)某港口水的深度y(米)是时间t(0≤t≤24)(单位：
时)的函数，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与
水深y的关联数据：
经长期观察，y＝f(t)的曲线可近似地看成函数y＝Asin(ωx
＋φ)＋k的图象．下面的函数中，最能近似地表示表中数据间
对应关系的是( )
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 12.0 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1
解析： 对表中数据作近似处理，得下表：
可见k＝12，A＝3，且T＝12，∴ω＝ ，由此可排除C、
D，
又当t＝3时，y＝15，代入选项检验即知答案应选A.
答案：A
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 12 15 12 9 12 15 12 9 12
3．函数y＝－xcos x的部分图象是( )
解析： 从图中可以看到函数为奇函数，因此可以排除
A、C，注意到当x∈ 时，f(x)0，则应排除B，故答案选D.
答案：D
函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式
可能是( )
A．f(x)＝－x－cos x
B．f(x)＝－x－sin x
C．f(x)＝|x|sin x
D．f(x)＝|x|cos x
分析：本题是利用已知图象探求函数解析式的试题，也
称之为信息给予题．
由图象研究函数的性质
解析：从图中可以看到函数为奇函数，因此可以排除A、
D，注意到x＝±π时，f(±π)＝0的可能性，则应排除B，故答案
选C.
答案：C
点评：由函数图象寻求函数解析式是近几年的热点试题，
解决此类问题，一般是根据图象所反映出的函数性质来解决，
而性质，如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域，
还有零点、特殊点等都可以作为判断的依据．
跟踪训练
1．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O
的距离s厘米和时间t秒的函数关系为：s＝6sin ，那
么单摆来回摆动一次所需的时间为________秒．1
某港口水的深度y(米)是时间t，(0≤t≤24)(单位：
时)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据：
经长期观察，y＝f(t)的曲线可近似地看成函数y＝Asin ωt
＋B的图象．
(1)试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米
或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底
即可)，某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船
希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多
长时间？(忽略进出港所需时间)
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.0 7.0 10.0
已知函数模型解决实际问题
分析：首先由对表格中数据的综合处理可得函数的周期、
最值等，然后将(2)转化为简单的三角不等式．
解析：(1)由已知数据，知y＝f(t)的周期T＝12，振幅A＝
3，B＝10.
∴y＝3sin t＋10，(0≤t≤24)．
(2)由题意，知该船安全进出港时，水深应不小于5＋6.5
＝11.5(米)，
所以3sin t＋10≥11.5，
即sin t≥ ，
∴2kπ＋ ≤ t≤2kπ＋ ，(k∈Z)⇒
12k＋1≤t≤12k＋5，
又0≤t≤24，∴取k＝0或k＝1.
从而有1≤t≤5或13≤t≤17.
因此在一天中，该船最早能在凌晨1时进港，最晚在下
午17时出港，在港口内最多能停16个小时．
点评：(1)本题以应用题的形式考查热点题型，设计新
颖别致，独具匠心；
(2)此类“由已知条件或图象求函数的解析式”的题目，
实质上是用“待定系数法”确定A，ω，φ，B.ω与周期有关，
可通过T＝ 求得，而关键的一步在于如何确定φ.通常是将图
象上已知点的坐标代入函数解析式，得到一个关于φ的简单
三角方程，但φ到底取何值却值得考虑．若得方程sin φ＝
，那么φ是取 ，还是取 呢？这就要看所代入的点是在上
升的曲线上，还是在下降的曲线上了．若在上升的曲线上，
φ就取 ，否则就取 ，而不能同时取两个值．
跟踪训练
2．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t (0≤t≤24，单
位：小时)的函数，记作：y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据：
经长期观察，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt
＋b的图象．
(1)根据以上数据，求出函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T、
振幅A及函数表达式；
(2)依据规定，当海浪高于1米时才对冲浪爱好者开放，请
根据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，
有多少时间可供冲浪者进行运动？
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
分析：首先由对表格中数据的综合处理可得函数的周期、
最值等，然后将(2)转化为简单的三角不等式．
⇒12k－3
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