人教版高中数学必修2 4.1.1圆的标准方程PPT课件

新课导入 两点确定一条直线。 一点和倾斜角也能确定一条直线。 α 4.1.1 圆的标准方程 教学目标 知识与能力 掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地 写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求 出圆心坐标和半径。 理解并掌握切线方程的探求过程和方法。 过程与方法 情感态度与价值观 通过运用圆的知识解决实际问题的学习，理解理 论来源于实践，充分调动学生学习数学的热情， 激发学生自主探究问题的兴趣，同时培养学生勇 于探索、坚忍不拔的意志品质。 进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力。 通过运用圆的标准方程解决实际问题的学习，培养学 生观察问题、发现问题及分析、解决问题的能力。 教学重难点 重点 难点 圆的标准方程的应用。 圆的标准方程的理解、掌握。 思考 在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？ xO y 当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了 ．因此一个圆最基本要素是圆心和半径。 A M r 如图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置用 坐标 (a,b) 表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x, y) 与圆心A (a,b) 的距离．圆心为A的圆就是集合 xO y A(a,b) M(x,y) r 根据两点间距离公式，圆上任意点M(x, y)与圆 心A (a,b)之间的距离表示为： 所以，有： 两边平方，得： 因为圆心是原点O(0, 0)，将x＝0，y＝0和半径 r 带入圆的标准方程： 圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是什么？ 得： 整理得： 思考 O x y A M r 圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程为： 是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这 个方程的坐标的点都在圆上？ 点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标 适合方程。 反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这就说明 点M与圆心的距离是 r ，即点M在圆心为A (a, b)， 半径为r 的圆上。 探究 把这个方程称为圆心为A(a, b)，半径长为r 的圆 的方程，把它叫做圆的标准方程（standard equation of circle）。 写出圆心为A（-1，4），半径长等于5的圆的方程， 并判断P（2，8），Q（-2，8）是否在这个圆上。 解：圆心是A（-1，4），半径长等于5的圆的 标准方程是： 例一 A xO y 把P（2，8）的坐标代入方程 左右两边相等，点P的坐标适合圆的方程，所以点P在 这个圆上。 把Q（-2，8）的坐标代入圆的方程，左右两边不 相等，点Q的坐标不适合圆的方程，所以点Q不在这个 圆上。 探究 判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点的 坐标带入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立， 则在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上。 xO y A 怎样判断点 在圆 内呢？还是在圆外呢？ 点到圆心的距离AM > 半径 r ，则点在圆内。 点到圆心的距离AM< 半径 r ，则点在圆外。 xO y A 分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个 圆，三角形有唯一的外接圆。 ABC的三个顶点的坐标分别A(3,4), B(-2,5)， C(-3, -6)，求它的外接圆的方程。 例二 解：设所求圆的方程为 ， 点A,B,C都在圆上，故都满足圆的方程，于是有 所以，ABC的外接圆的方程 解此方程组，得： 已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，且圆心 C在直线上l：x-y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程。 分析：已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置 与半径大小．圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2) ，由于圆心C与A, B两点的距离相等，所以圆心C在 线段AB的垂直平分线l‘ 上．又圆心C在直线l 上，因 此圆心C是直线l 与直线l’ 的交点，半径长等于|CA|或 |CB|。 例三 解：因为A(1, 1)和B(2, －2)，所以线段AB的中点 D的坐标 直线AB的斜率: 因此线段AB的垂直平分线l'的方程是 即 圆心C的坐标是方程组 的解。 所以圆心C的坐标是 解此方程组，得 圆心为C的圆的半径长 所以，圆心为C的圆的标准方程是 课堂小结 1.圆的基本要素：圆心位置、半径。 2.圆的标准方程： 3.圆心在原点的圆的标准方程： 4.判断点与直线的位置关系：点到圆心的距离与半径 的大小关系。 高考链接 1.（2009 重庆）圆心在y轴上，半径为1，且过点 （1，2）的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【解析】设圆心坐标为（0，b）,则由题意 知 ,解得b=2,故圆的方程为 A 随堂练习 1. 圆心为A（2，-3），半径长等于5的圆的方程为（ ） A. (x–2)2+(y–3)2=25 B. (x–2)2+(y +3)2=25 C. (x–2)2+(y +3)2=5 D. (x +2)2+(y–3)2=5 B 3. 已知圆 (x–2 )2+(y + 3)2=25 ，判断点P（5 ，-7）是否在圆上？ 2. 圆 (x－2)2+ y2=2的圆心C的坐标为________,半 径r =_________。 （2，0） 将点P（5，-7）代入圆的方程，得 左边等于右边，故点P在圆上。 解： （1）(x-3)2+(y-4)2=5 （2）(x-8)2+(y+3)2=25 4. 写出下列各圆的方程： (1)圆心在点C(3, 4)，半径是 (2)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3) 提示：代入圆的标准方程 5. 写出下列各圆的圆心坐标和半径： (1)(x-1)2+y2=6 (2)(x+1)2+(y-2)2=9 (3)(x+a)2+y2=a2 (-1,2) 3 (-a,0) |a| （1,0) 提示：与圆的标准方程比较即可得到。 习题答案 1. （1）点M1在圆内； （2）点M2在圆外； （3）点M3在圆上。 2. 点M在圆上，点N在圆外，点Q在园内。 4.解：如图，ABC是直角三角形，它的外接圆 的圆心是斜边的中点C，半径长 根据题意，得圆心C的坐标 半径长 所以，ABC外接圆的方程是