人教版高中数学必修2 4.1.2圆的一般方程课件PPT

4.1 圆的方程 4.1.2 圆的一般方程 圆与方程 1．正确理解圆的一般方程及其特点． 2．会求圆的一般方程． 3．能进行圆的一般方程和标准方程的互化． 基础梳理 1．圆的一般方程的定义 当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程 ______________________称为圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 方程 条件 图形 x2＋y2＋ Dx＋Ey ＋F＝0 D2＋E2 －4F0 表示以____________为圆心，以 ______________为半径的圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 3.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.则 其位置关系如下表： 练习1.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，在什 么条件下表示圆的方程. 练习2.圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0的圆心为：________ ，半径为：________. 位置关系 代数关系 点M在圆外 x0 2＋y0 2＋Dx0＋Ey0＋F>0 点M在圆上 x0 2＋y0 2＋Dx0＋Ey0＋F＝0 点M在圆内 x0 2＋y0 2＋Dx0＋Ey0＋F0时，二元 二次方程就是圆的一般方程． 2．求圆的方程常用“待定系数法”，“待定系数法”的一般 步骤是什么？ 解析：(1)根据题意选择方程的形式——标准方程或一 般方程； (2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组； (3)解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方 程． 自测自评 1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为(  ) A．(4，－6)，r＝16 B．(2，－3)，r＝4 C．(－2,3)，r＝4 D．(2，－3)，r＝16 2．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)所 表示的曲线关于y＝x对称，则必有(  ) A．D＝E B．D＝F C．F＝E D．D＝E＝F 3．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取 值范围是(  ) A．R B．(－∞，1) C．(－∞，1] D．[1，＋∞) 解析：由D2＋E2－4F＝(－4)2＋22－4×5k＝20－20k>0得 k0，从而该圆的圆心为(a， )，半径为 求圆的方程 (多解题)求经过A(－2，－4)，且与直线l：x＋3y －26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程． 解析：根据题中条件，既可设标准方程，也可设一般 方程，有多种解法． 解法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 整理得 îï í ïì 2D＋4E－F＝20， 8D＋6E＋F＝－100， 3D－E＝－36， 解得 îï í ïì D＝－11， E＝3， F＝－30. ∴所求圆的方程为 x2＋y2－11x＋3y－30＝0. 解法二： 设圆心 C ( a ，b)且圆的方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2. ∵|CA|＝|CB|，CB⊥l， ∴ îï í ïì (a＋2)2＋(b＋4)2＝(a－8)2＋(b－6)2， b－6 a－8×(－1 3)＝－1. 解得 a＝11 2 ，b＝－3 2，从而 r＝ 125 2 . 故所求的方程为(x－11 2 )2＋(y＋3 2)2＝125 2 . 解法三：设圆心为C，则 CB⊥l， ∴CB 的方程为 y－6＝3(x－8)，即 3x－y－18＝0. 又 AB 的垂直平分线的方程为 x＋y－4＝0， 联立 îï íïì 3x－y－18＝0 x＋y－4＝0 . 得圆心 C(11 2 ，－3 2)． ∴半径 r＝ (11 2 －8)2＋(－3 2－6)2＝ 125 2 . ∴所求圆的方程为(x－11 2 )2＋(y＋3 2)2＝125 2 . 点评：(1)求圆的方程的基本方法： 确定圆的方程需要三个独立条件，“选标准，定参数 ”是解题的基本方法．其中，选标准是根据已知条件选恰 当的圆的方程的形式，进而确定其中三个参数．一般来讲， 条件涉及圆上的点多，可选择一般方程，条件涉及圆心与 半径，可选择标准方程． (2)求圆的方程的一般步骤： ①根据题意选用圆的两种形式的方程中的一种；②根 据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组；③解 方程组．求出D、E、F或a、b、r的值，并把它们代入所设 的方程中，得到所求的圆的方程． 跟踪训练 2．(1)已知圆经过A(2，－3)和B(－2，－5)，若圆心在 直线x－2y－3＝0上，求圆的方程． (2)求过点A(－1,0)、B(3,0)和C(0,1)的圆的方程． 解析：由题设三个条件，可利用待定系数法求方程， 如利用弦的中垂线过圆心，也可先确定圆心，再求圆的 半径． (1)法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0则 法三：线段AB中垂线的方程为2x＋y＋4＝0.它与直线x －2y－3＝0的交点(－1，－2)为圆心，由两点间距离得r2＝ 10， ∴圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 求轨迹方程 自圆x2＋y2＝4上的点A(2,0)引此圆的弦AB，求弦 AB的中点轨迹方程． 解析：设AB的中点P(x，y)，B(x1，y1)，则有 ＝4，且 ∴x1＝2x－2，y1＝2y. ∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，即(x－1)2＋y2＝1. 当A、B重合时，P与A点重合，不合题意， ∴所求轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠2)． 跟踪训练 3．设圆的方程为x2＋y2＝4，过点M(0,1)的直线l交圆于 点A、B，O是坐标原点，点P为AB的中点，当l绕点M旋转时， 求动点P的轨迹方程． 解析：设点P的坐标为(x，y)、A(x1，y1)、B(x2，y2)． 因为A、B在圆上，所以 ＝4，x2 2＋y2 2＝4， 两式相减得x1 2－x2 2＋y1 2－y2 2＝0， 所以(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0， 1．方程x2＋y2＝a2(a∈R)表示的图形是(  ) A．表示点(0,0) B．表示圆 C．当a＝0时，表示点(0,0)，当a≠0时表示圆 D．不表示任何图形 解析：注意分a＝0和a≠0两种情况讨论． 答案：C 2．x2＋y2－4y－1＝0的圆心和半径分别为(  ) A．(2,0)，5      B．(0，－2)， C．(0,2)， D．(2,2)，5 解析：x2＋(y－2)2＝5，圆心(0,2)，半径 . 答案：C 1．任何一个圆的方程都可写成x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝ 0的形式，但方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的曲线不一定 是圆，只有D2＋E2－4F>0时，方程才表示圆心为(－ ， － )，半径为r＝ 的圆． 2．在圆的方程中含有三个参变数，因此必须具备三 个独立条件才能确定一个圆．求圆的方程时是选用标准方 程还是一般方程的依据：当给出的条件与圆心坐标、半径 有关，或者由已知条件容易求得圆心和半径时，一般用标 准方程．当上述特征不明显时，常用一般方程，特别是给 出圆上三点，用待定系数法求圆的方程时，常用一般式， 这样得到的关于D、E、F的三元一次方程组，要比使用标 准方程简便得多． 3．要画出圆的图象，必须知道圆心和半径，因此应 掌握用配方法将圆的一般方程化为标准方程．