人教版八年级数学下册18.2.2菱形课件

18.2 特殊的平行四边形 18.2.2菱形 第一课时 第二课时 人教版 数学 八年级 下册 菱形的性质 第一课时 返回 下面的图形中有你熟悉的吗？ 导入新知 越王勾践剑，一把在地下埋藏了2000多年的 古剑，出土时依然寒气逼人，毫无锈蚀，锋利无比， 稍一用力，便可将多层白纸划破，剑身上整齐排列 的黑色菱形暗花纹. 导入新知 菱形有哪 些性质呢 ？ 1. 理解菱形的概念，会用菱形的性质解决简单 的问题.  2. 探索并证明菱形的性质定理. 素养目标 3. 经历类比矩形探究菱形性质的过程，通过观 察、类比、猜想、证明等活动，体会几何图形 研究的一般步骤和方法. 两组对边 分别平行 平行 四边形 矩形 前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了如果平行四边 形有一个角是直角时,成为什么图形? (矩形,由角变化得到) 如果从边的角度,将平行四边形特殊化,让它有一组邻边相 等,这个特殊的四边形叫什么呢? 四边形 ? 探究新知 知识点 1 菱形的定义菱形的定义 在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变 边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？``x``xk 平行四边形 有一组邻边相等的平行四边形 菱形邻边相等 探究新知 有一组 的 邻边相等 平行四边形叫做 A D C B ∵四边形ABCD是平行四边形，   AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形. 菱形. 探究新知 菱形的定义： 几何语言： 菱形就在我们身边！ 探究新知 三菱汽车标志欣赏 探究新知 可以这样做：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿 图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？ 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形 的纸片？ 做一做： 探究新知 知识点 2 菱形边的性质菱形边的性质 画出菱形的两条折痕,并 通过折叠手中的图形回答以 下问题： 探究新知 问题：菱形的四条边在数量上有什么关系? 猜想：菱形的四条边都相等. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD ，对角线AC与BD相交于点O. 求证:AB = BC = CD =AD； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB = CD，AD = BC（平行四边形的对边相等）. 又∵AB=AD, ∴AB = BC = CD =AD. A B CO D 探究新知 探究新知 菱形的性质： 菱形的四条边都相等. B D A C 符号语言： ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=BC=CD=AD 1.已知菱形的周长是36cm，那么它的边长是______. 巩固练习 9cm 2.已知一个正方形花坛的周长是48m，菱形花坛的边 长是正方形花坛边长的2倍，则菱形花坛的周长是（ ） A.24m           B.12m            C.96m             D.48m C 观察：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚 线剪下，打开即得一个菱形. 探究新知 知识点 3 菱形对角线的性质菱形对角线的性质 操作：在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图 形(如图），并回答以下问题: 问题1 :菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴. 是，两条对角线所在直线都是它的对称轴. 问题2:根据上面折叠过程，菱形的两对角线有什么关系? 猜想:菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平 分一组对角. 探究新知 已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线 AC与BD相交于点O. 求证:AC⊥BD；∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，     ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD. A B CO D 探究新知 证明：∵AB = AD, ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OB = OD （平行四边形的对角线互相平分）. 在等腰三角形ABD中, ∵OB = OD， ∴AO⊥BD，AO平分∠BAD， 即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC. 同理可证∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD. 探究新知 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线 平分一组对角. B D A C 菱形的性质： 符号语言: ∵四边形ABCD是菱形 ∴ AC⊥BD AC平分∠BAD和∠BCD ； BD平分∠ABC和∠ADC 对边相等 四个角都是直角 对角线互 相平分且 相等 四边相等 对角相等 两条对角线互相 垂直平分，并且 每一条对角线平 分一组对角 平行四边形的性质 矩形的性质 菱形的性质 对边相等 对角相等 对角线互相平分 比一比，猜一猜，填写下表： 探究新知 例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O， BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长． 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝   AC，BO＝  BD. ∵AC＝6cm，BD＝12cm， ∴AO＝3cm，BO＝6cm. 在Rt△ABO中，由勾股定理得 ∴菱形的周长＝4AB＝4×       ＝        (cm)． 探究新知 素 养 考 点 1 利用菱形的性质求线段的长 3.菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，已知AB＝5cm, AO=4cm，求两对角线AC、BD的长. O C B D A 解：∵四边形ABCD是菱形 ∴OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∵Rt△AOB中，OB2+OA2=AB2                  AB= 5，AO= 4 ∴OB= 3 ∴BD= 2OB = 6 cm， AC= 2OA = 8  cm. 5 4 3 巩固练习 例2 如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE， AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB. A B C D O E 证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴AD∥BC，AD=BA，∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB ， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB， ∴∠ABC=∠DAE，  ∵∠DAE＝2∠BAE，  又∵AD＝BA ， ∴△AOD≌△BEA ， 素 养 考 点 2 利用菱形的性质求证线段相等 探究新知 ∴AO＝BE . ∴∠BAE＝∠ADB. 4. 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F ，求证：AE＝AF. 证明：连接AC. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC平分∠BAD， 即∠BAC＝∠DAC.    ∵CE⊥AB，CF⊥AD，    ∴∠AEC＝∠AFC＝90°. 又∵AC＝AC，    ∴△ACE≌△ACF.  ∴AE＝AF. 巩固练习   菱形是特殊的平行四边形, 那么能否利用平行四边形 面积公式计算菱形的面积呢? 菱 形 A B C DO E 【思考】计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角 线能计算菱形的面积吗? 探究新知 知识点 4 菱形的面积 S菱形=BC× AE 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用 对角线表示出菱形ABCD的面积. A B C DO 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD, ∴S菱形ABCD =   S△ABC +   S△ADC =    AC·BO+   AC·DO =     AC(BO+DO) =   AC·BD. 菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半 探究新知 例3 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿 着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长 和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2）. A   B   C   D  O   解：∵花坛ABCD是菱形， 探究新知 素 养 考 点 1 利用菱形的面积公式解答问题 在Rt△OAB中， 5.菱形ABCD的两条对角线BD、AC长分别是6cm和 8cm，求菱形面积. C B D A O 解： 巩固练习 O (cm2) 1.（2018•淮安）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的 长分别为6和8，则这个菱形的周长是（  ） A．20                      B．24 C．40                      D．48 巩固练习 连 接 中 考 A O D C A B 巩固练习 连 接 中 考 证明：∵四边形ABCD是菱形，             ∴AD＝CD， 在△ADF和△CDE中，             ∴△ADF≌△CDE（SAS），             ∴∠1＝∠2． 2.（2019•岳阳）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为 AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2． AD＝CD， ∠D＝∠D， DF＝DE， 1.如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm， 则这个菱形的高DE为（  ） A.2.4cm      B.4.8cm       C.5cm           D.9.6cm B 2.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD 的周长等于（  ） A.18           B.16          C.15           D.14 B 课堂检测 基 础 巩 固 题 3.如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD 的周长是 (  )    A.10               B.12                C.15                   D.20 C 4.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点， E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长为_______. 第3题图 第4题图 6cm 课堂检测 基 础 巩 固 题 A B C D O A B C DE 5.如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在 △AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h. 解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12， ∴S△AOB＝   OA·OB＝   ×5×12＝30， ∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120. ∵ 又∵菱形两组对边的距离相等， ∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h，∴13h＝120，得h＝       . 课堂检测 基 础 巩 固 题 A B C DO 如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周 长是8cm．求： （1）两条对角线的长度； （2）菱形的面积． 解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD=180°. ∵∠ABC与∠BAD的度数比为1：2， ∴∠ABC=    ×180°=60°，∴∠ABO=    ×∠ABC=30°，△ABC是 等边三角形. 课堂检测 能 力 提 升 题 O A B C D ∴OA=    AB=1cm，AC=AB=2cm， ∴BD=2OB=       cm； （2）S菱形ABCD=     AC•BD =      ×2×                                 =      （cm2）． 课堂检测 能 力 提 升 题 ∵菱形ABCD的周长是8cm． ∴AB=2cm， O A B C D 如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．  求证：∠AFD=∠CBE．  证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴CB=CD， CA平分∠BCD． ∴∠BCE=∠DCE． 又 CE=CE，∴△BCE≌△DCE（SAS）． ∴∠CBE=∠CDE． ∵在菱形ABCD中，AB∥CD，  ∴∠AFD=∠EDC.∴∠AFD=∠CBE． A D C B F E 课堂检测 拓 广 探 索 题 菱形的 性质 菱 形 的 性 质 有关计算 边 1.周长=边长的四倍 2.面积=底×高=两条对角 线乘积的一半 角 对 角 线 1.两组对边平行且相等； 2.四条边相等 两组对角分别相等， 邻角互补 1.两条对角线互相垂直平分； 2.每一条对角线平分一组对角 课堂小结 菱形的判定 第二课时 返回 菱形的两条对角线互相平分 菱形的两组对边平行且相等边 对角线 角 菱形的四条边相等 菱形的两组对角分别相等 菱形的邻角互补 菱形的两条对角线互相垂直平分， 并且每一条对角线平分一组对角。 A D C B O 导入新知 菱 形 的 性 质 怎样判断一 个四边形是 菱形？ 2. 经历菱形判定定理的探究过程，渗透类比 思想，体会研究图形判定的一般思路. 1. 掌握菱形的三种判定方法，能根据不同的已 知条件，选择适当的判定定理进行推理和计算 . 素养目标 根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定方法： ∵四边形ABCD是平行四边形 且AB=AD ∴四边形ABCD是菱形 数学语言： 有一组邻边相等的平行四边形叫做 菱形. 还有其他的 方法吗? 探究新知 知识点 1 菱形的判定定理菱形的判定定理11 O A B C D 用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小 钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做 成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱 形? 猜想： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 探究新知 求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 已知：在                   中，AC ⊥ BDABCD 求证：  ABCD是菱形 A B C DO ∟ 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC 又∵AC⊥BD; ∴BA=BC 探究新知 ∴ ABCD是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 AC⊥BD 几何语言： ∵在□ABCD中，AC⊥BD, ∴ □ABCD是菱形. A B C D 菱形ABCD A B C D □ABCD 菱形的判定定理1： 探究新知 A B C D O 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∵ OA=4,OB=3,AB=5 ， 即AC⊥BD， ∴ AB2=OA2+OB2， ∴△AOB是直角三角 形， ∴四边形ABCD是菱形. 探究新知 素 养 考 点 1 利用对角线判定菱形利用对角线判定菱形 例1 如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O ，AB=5，AO=4，BO=3. 求证：四边形ABCD是菱形. 证明： 1.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分， 若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这 个条件可以是 （   ） A．∠ABC=90°              B．AC⊥BD C．AB=CD D．AB∥CD B 巩固练习 猜想：四条边都相等的四边形是菱形 . A  B  C D  李芳同学先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D 为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就 得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？ 探究新知 知识点 2 菱形的判定定理菱形的判定定理22 证明：∵AB=BC=CD=AD;                  ∴AB=CD , BC=AD. ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB=BC, ∴四边形ABCD是菱形. A B C D 已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD. 求证：四边形ABCD是菱形. 探究新知 四条边都相等的四边形是菱形. AB=BC=CD=AD A B C D 菱形ABCD四边形ABCD A B C D 菱形的判定定理2： 探究新知 几何语言： ∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD， ∴四边形 ABCD是菱形. 文字语言 图形语言 符号语言 判定 方法1 判定 方法2 判定 方法3 菱形的判定： A B C D ∵AB=BC=CD=D A ∴四边形ABCD是菱形 ∵在□ABCD中 AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形 ∵在□ABCD中 AB=AD ∴四边形ABCD是菱形 A B C DO A B C D      一组邻边相 等的平行四 边形是菱形 探究新知 对角线互相垂直 的平行四边形是 菱形 四边相等的四 边形是菱形 H G F E D CB A 证明：连接AC、BD. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD. ∵点E、F、G、H为各边中点， ∴EF=FG=GH=HE， ∴四边形EFGH是菱形. 例2 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH ，求证：四边形EFGH是菱形. 素 养 考 点 1 探究新知 利用边相等判断四边形是菱形利用边相等判断四边形是菱形 2.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC 于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD. 求证：四边形ADCE是菱形. C A D O E M N ∵ MN是AC的垂直平分线 ∴AD=CD，OA=OC，AE=CE ∵ CE∥AB，∠DAO=∠ECO  ∴  △ADO ≌ △CEO ∴ AD=CE  ∴AD=CD=CE=AE ∴四边形ADCE是菱形 巩固练习 证明： B 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE， 延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF. (1)求证：四边形BCFE是菱形； (1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE∥BC且2DE＝BC. 又∵BE＝2DE，EF＝BE， ∴EF＝BC，EF∥BC， ∴四边形BCFE是平行四边形． 又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形； 探究新知 知识点 3 菱形性质和判定的综合应用菱形性质和判定的综合应用 (2)解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°， ∴△EBC是等边三角形， 过点E作EH⊥BC, 则HE= ∴菱形的边长为4，高为         ， ∴菱形的面积为                         . (2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积． 探究新知 H 探究新知 方法点拨 判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵 活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直 接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对 角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是 平行四边形． 3.如图，在平行四边形ABCD中，AC平分 ∠DAB，AB=2，求平行四边形ABCD的周长. 解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BAC=∠ACD， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC=∠BAC， ∴∠DAC=∠ACD， ∴AD=DC，∴四边形ABCD为菱形， ∴四边形ABCD的周长=4×2=8． 巩固练习 A B C D （2019•兰州）如图，AC＝8，分别以A、C为圆心，以长度5为半 径作弧，两条弧分别相交于点B和D．依次连接A、B、C、D，连 接BD交AC于点O． （1）判断四边形ABCD的形状并说明理由； （2）求BD的长． 巩固练习 连 接 中 考 解：（1）四边形ABCD为菱形； 由作法得AB＝AD＝CB＝CD＝5，所以四边形ABCD为菱形； （2）∵四边形ABCD为菱形， 在Rt△AOB中，OB＝                  ， ∴OA＝OC＝4，OB＝OD，AC⊥BD， ∴BD＝2OB＝6． 1.下列命题中正确的是（        ） A.一组邻边相等的四边形是菱形  B.三条边相等的四边形是菱形 C.四条边相等的四边形是菱形      D.四个角相等的四边形是菱形 C 2.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ） A.AC⊥BD,AC与BD互相平分 B.AB=BC=CD=DA C.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BD        D.AB=CD,AD=BC,AC⊥BD C 课堂检测 基 础 巩 固 题 24cm² 菱形 3.一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为 6cm和8cm，则这个平行四边形为 ，其面积为 . A B C D E F 4.如图，在菱形ABCD中,CE⊥AB,CF⊥AD. 则CE CF，BE DF. 课堂检测 ＝ ＝ 基 础 巩 固 题 证明：∵ ∠1= ∠2, 又∵AE=AC,AD=AD,             ∴ △ACD≌ △AED (SAS). 同理△ACF≌△AEF(SAS) .            ∴CD=ED, CF=EF. 又∵EF=ED,            ∴四边形ABCD是菱形. 2 5.如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E、F分别在AB、 AD上, 且AE=AC,EF = ED. 求证：四边形CDEF是菱形. A C B E D F 1 课堂检测 基 础 巩 固 题 ∴CD=ED=CF=EF, 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将 △ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对 应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形． 由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm，DF＝AC. ∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm， ∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm， ∴四边形ACFD是菱形． 课堂检测 能 力 提 升 题 证明： 已知：如图,□ ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD， BC分别交于E，F． 求证：四边形AFCE是菱形. A B F C DE O ∟ ∵EF垂直平分AC ∴AO=CO, ∠AOE=90° ∴∠FOC=∠AOE=90° ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD∥BC     ∴AE∥FC ∴∠AEO=∠CFO ∴△AEO≌△CFO ∴OE=OF 又∵AO=CO ∴四边形AFCE是平行四边形 又∵EF⊥AC ∴四边形AFCE是菱形 课堂检测 拓 广 探 索 题 证明： 有一组邻边相等的平行四边形是 菱形. 对角线互相垂直的平行四 边形是菱形. 四边相等的四边形是菱形 . 运用定理进行计算和证明 菱形的 判定 定义法 判定 定理 课堂小结 课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习