人教版八年级数学下册18.2.1矩形的性质课件

18.2 特殊的平行四边形 18.2.1 矩形 第一课时 第二课时 人教版 数学 八年级 下册 矩形的性质 第一课时 返回 在推动平行四边形的变化过程中，你有没有 发现一种熟悉的、更特殊的图形？ 我们都知道三角形具有稳定性，平行四边形 是否也具有稳定性？ 导入新知 1. 理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的 区别与联系.  2. 探索并证明矩形的性质，会用矩形的性质解 决简单的问题. 素养目标 3. 探索并掌握“直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半”这个定理. 一个角是 直角 两组对边 分别平行 平行 四边形 矩形 我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边 形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行 四边形来说也有特殊情况即特殊的平行四边形，这堂课我们就 来研究一种特殊的平行四边形—— 矩形 探究新知 知识点 1 矩形的定义矩形的定义 【思考】从图形上看,矩形是平行四边形吗?若是它们 之间有何关系呢? 探究新知 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 矩形的定义： 平行四 边形 矩形 有一个角   是直角 矩形是特殊的平行四边形 探究新知 具备平行四边形所有的性质. A B C D O 角 边 对角线 对边平行且相等 对角相等，邻角互补 对角线互相平分 矩形的一般性质： 知识点 2 矩形的性质矩形的性质 探究新知 矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四 边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？ A B C D 探究新知 做一做： 准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等. （1）请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本, 课桌,铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的 长度及夹角度数,并记录测量结果. 探究新知 A B C D O AB AD AC BD ∠BA D ∠ADC ∠ABC ∠BCD 橡皮 擦 课本 桌子 物体 测量 （实物） （形象图） （2）根据测量的结果,你有什么猜想？ 猜想1 矩形的四个角都是直角. 猜想2 矩形的对角线相等. 探究新知 你能证 明吗？ 求证：矩形的四个角都是直角． 已知：如图，四边形ABCD是矩形 求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90° A B C D 证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴ ∠A=90° 又 矩形ABCD是平行四边形 ∴ ∠A=∠C     ∠B = ∠D         ∠A +∠B = 180° ∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90° 即矩形的四个角都是直角. 探究新知 已知：如图,四边形ABCD是矩形 求证：AC = BD A B C D 证明：在矩形ABCD中 ∵∠ABC = ∠DCB = 90° 又∵AB = DC ， BC = CB ∴△ABC≌△DCB (SAS) ∴AC = BD     即矩形的对角线相等 . 求证:矩形的对角线相等 探究新知 矩形特殊的性质: 矩形的四个角都是直角． 矩形的两条对角线相等． 从角上看： 从对角线上看： 探究新知 矩形的两条对角线互相平分 矩形的两组对边分别相等 矩形的两组对边分别平行 矩形的四个 角都是直角 矩形的两条对角线相等 边 对角线 角 数学语言： ∵四边形ABCD是矩形 ∴AD ∥ BC ，CD ∥  AB ∴AD =BC ，CD =AB ∴AC= BD  A B C D O ∴AO= CO ，OD = OB 探究新知 矩 形 的 性 质 ∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90° 例1 如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O, ∠AOB=60°,AB=4 ,求矩形对角线的长. 解：∵四边形ABCD是矩形. ∴AC = BD， OA= OC=    AC,OB = OD =    BD ,        ∴OA = OB. 又∵∠AOB=60°,        ∴OA=AB=4， ∴AC=BD=2OA=8. A B C D O 探究新知 素 养 考 点 1 利用矩形的性质求线段的长 矩形的对角线相等且互相平分 ∴△OAB是等边三角形， 1.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别 交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形 ABCD面积的_________.               巩固练习 例2 将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，再折叠使AD与对 角线BD重合，得折痕DG，若AB=8，BC=6，求AG的长. G D C BA A′ 解:矩形纸片ABCD中，∠DAB=90°，AD=BC,      AB=CD， 又∵△ADG沿DG折叠得到△A′DG ∴△ADG≌ △ A′DG 方法点拨：在矩形中， 常遇到折叠问题，利 用勾股定理列方程是 解决问题的基本方法。 ∴x2+42=(8-x)2   解得：x=3. 设AG=x，则BG=AB-AG=8-x， 在Rt△GA′B中，由勾股定理得：A′B2+A′G2=BG2 ∴AD=A′D, AG=A′G，A′B=AB-A′D=10-6=4， 探究新知 素 养 考 点 2 利用矩形的性质解答折叠问题 2. 如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′ 交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠A＝90°， 又由折叠知∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3，∴BE＝DE. 设BE＝DE＝x，则AE＝8－x. ∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2， ∴42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，即DE＝5. ∴S△BED＝    DE·AB＝   ×5×4＝10. 巩固练习 ∴∠2＝∠3. 【思考】矩形ABCD是轴对称图形吗 ？ 它的对称轴有几条 ？矩形是中心对称图形吗？对称中心是什么？ A B CD E F G H.O 知识点 3 探究新知 矩形的对称性及相关性质 矩形的性质： 对称性：     . 对称轴： . 轴对称图形 2条 矩形的性质： 中心对称：     . 对称中心： . 中心对称图形 对角线的交点 边 角 对角线 对称性 平行四 边形 矩形 对边平行 且相等 对角相等 邻角互补 对角线互 相平分 中心对称 图形 对边平行 且相等 四个角 为直角 对角线互相 平分且相等 中心对称图形   轴对称图形 O 这是矩形所 特有的性质 探究新知 A B C D O  两对全等的等腰三角形. 你在矩形中还发现了哪些基本图形 ？ 探究新知 A B C D O  四个全等的直角三角形. 探究新知 A   B   C   D O   如图，一张矩形纸片，沿着对角线剪去一半，你能 得到什么结论？ B C O A   Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC 有什么关系？一般地，这个结论对所有直角三角形都成立吗？ 知识点 4 直角三角形的性质 探究新知 猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. O CB A D 证明:延长BO至D, 使OD=BO, 连接AD、DC. ∵AO=OC, BO=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形.  ∵∠ABC=90°, ∴平行四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD， 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线. 求证: BO=    AC . ∴BO=    BD=    AC. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 探究新知 例3 如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点． (1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长； 解：∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点， ∴DE＝AE＝   AB＝    ×10＝5， DF＝AF＝   AC＝    ×8＝4， ∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18 ； 探究新知 素 养 考 点 1 利用直角三角形的性质解答题目 (2)求证：EF垂直平分AD. 证明：∵DE＝AE，DF＝AF， ∴E、F在线段AD的垂直平分线上， ∴EF垂直平分AD. 探究新知 提示：当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时， 可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解． 3.三位学生正在做投圈游戏，他们分别站在一个直角 三角形的三个顶点处，目标物放在斜边的中点处．三个 人的位置对每个人公平吗？请说明理由． A B C O 巩固练习 答：公平.因 为直角三角形 斜边的中线等 于斜边的一半 . 1.（2018•株洲）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相 交于点O，AC=10，P、Q分别为AO、AD的中点，则 PQ的长度为_____． 巩固练习 连 接 中 考 2.5 2.（2019•福建）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD 上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝CE． 巩固练习 连 接 中 考 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC， ∴△ADF≌△CBE（SAS），             ∴AF＝CE． AD＝BC， ∠D＝∠B， DF＝BE， 在△ADF和△CBE中， 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错 误的是 （  ） A．AB∥DC                    B．AC=BD C．AC⊥BD                    D．OA=OB  A B C D O C 课堂检测 基 础 巩 固 题 2.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为 ( ) A.13                  B.6                     C.6.5                     D.不能确定 C 3.如图，在△ABC中,∠ABC = 90°,BD是斜边AC上的中线. (1)若BD=3cm,则AC =_____cm; (2)若∠C = 30° ,AB = 5cm,则AC =_____cm, BD =  _____cm.   A B C D 6 10 5 课堂检测 基 础 巩 固 题 4.如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足 为F.求证：DF=DC. A B C D E F 证明：连接DE. ∵AD =AE,∴∠AED =∠ADE. ∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠C=90°. ∴∠ADE=∠DEC,  ∴∠DEC=∠AED. 又∵DF⊥AE,   ∴∠DFE=∠C=90°. 又∵DE=DE, ∴△DFE≌△DCE, ∴DF=DC. 课堂检测 基 础 巩 固 题 如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE：∠BAE＝3：1 ，求∠BAE和∠EAO的度数． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝90°，AO＝   AC，BO＝   BD，AC＝BD， ∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO. 又∵∠DAE：∠BAE＝3：1，∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°. ∵AE⊥BD， ∴∠OAB＝∠ABE＝67.5° ∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°. 课堂检测 能 力 提 升 题 ∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°， 如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是 BC，DE的中点，试说明GF⊥DE. 解：连接EG，DG.     ∵BD，CE是△ABC的高，     ∴∠BDC＝∠BEC＝90°. ∵点G是BC的中点，     ∴EG＝   BC，DG＝    BC.     ∴EG＝DG.  又∵点F是DE的中点， 课堂检测 拓 广 探 索 题 ∴GF⊥DE. 矩形的相 关概念及 性质 具有平行四边形的一切性质 四个内角都是直角， 对角线相等 既是轴对称图形也是 中心对称图形 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 课堂小结 定义 性质 矩形的判定 第二课时 返回 一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟，一天，师傅有 事外出，两徒弟就自已在家练习用两块四边形的废料各做了一扇 矩形式的门，做完之后，两人都说对方的门不是矩形，而自已的 是矩形. 你能想一个办法确定谁做的门是矩形吗？ 导入新知 2. 能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的 证明题和计算题. 1. 理解并掌握矩形的判定方法 . 素养目标 小明利用周末的时间，为自己做了一个相框． 问题1:请你利用直尺和三角板帮他 检验一下，相框是矩形吗？   除了矩形的定义外，有没有 其他判定矩形的方法呢？ 知识点 1 矩形的判定定理矩形的判定定理11 探究新知 类似地，那我 们研究矩形的 性质的逆命题 是否成立. 矩形是特殊的 平行四边形. 证明 逆命题 （修正） 问题2:你还记得学习平行四边形的判定时，我们是如何猜想并 进行证明的吗？ 性质  猜想  判定定理   探究新知 同样，小明通过研究矩形性质的逆命题，得到判定矩形的方法 呢？   小明的猜想: 对角线相等的四边形是矩形．       问题3 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过 来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？ 【讨论】你能证明这一猜想吗？ 探究新知 我猜想：对 角线相等的 平行四边形 是矩形. 不对，等腰 梯形的对角 线也相等. 不对，矩形是 特殊的平行四 边形，所以它 的对角线不仅 相等且平分. 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形. 已知：平行四边形ABCD中，AC=BD. 求证：四边形ABCD是矩形. A B C D 证明:  ∴ AB=DC ∴ △ABC≌ △DCB（SSS） ∵  AB//CD ∴ ∠ABC+∠DCB=180°             ∴ ∠ABC=∠DCB=90°    又∵四边形ABCD是平行四边形 ∴四边形ABCD是矩形. ∴ ∠ABC=∠DCB ∵四边形 ABCD是平行四边形 又∵ AC=DB，BC=CB 探究新知 对角线相等的平行四边形是矩形 . 矩形的判定定理1： 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形 且AC=BD ∴四边形ABCD是矩形. （对角线相等且互相平分的四边形是矩形 .） A B C D O （或OA=OC=OB=OD） 探究新知   例1 如图，在  ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且 OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．   A  B  C D  O 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC=    AC， OB=OD=    BD. 又∵OA=OD， ∴AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°. 又∵∠OAD=50°， ∴∠OAB=40°. 探究新知 素 养 考 点 1 利用对角线判定矩形利用对角线判定矩形 A B C D O1 2 1.如图 ABCD中, ∠1= ∠2.此时四边形ABCD是矩形吗 ？为什么？ 解：四边形ABCD是矩形. 理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AO=CO,DO=BO. 又∵∠1= ∠2， ∴AO=BO，∴AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形. 巩固练习 问题1:前边我们学习了矩形的四个角，知道它们都是直角， 它的逆命题是什么？成立吗？ 逆命题：四个角是直角的四边形是矩形. 成立. 问题2:四边形至少有几个角是直角就是矩形呢 ？ A B D C (有一个角是直角) A B D C (有二个角是直角 ) A B D C (有三个角是直角 ) 探究新知 知识点 2 矩形的判定定理矩形的判定定理22 做一做：李芳同学由“边— —直角、边——直角、边— —直角、边”这样四步，画 出了一个四边形，她说这就 是一个矩形，她的判断对吗 ？为什么？ 猜想：有三个角是直角的四边形是矩形 . 你能证明上述结论吗？ 探究新知 已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°， ∴AD∥BC,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形. A B C D 探究新知 有三个角是直角的四边形是矩形. A B C D ∵ ∠A=∠B=∠C=90°      ∴四边形ABCD是矩形. 几何语言： 探究新知 矩形的判定定理2： 探究新知 归纳总结 矩形的几种判定方法: 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形 . （对角线相等且互相平分的四边形是矩形.） 有三个角是直角的四边形是矩形 . 方法1： 方法2： 方法3： 例2 如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线 MN∥BC,若MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线 于点F. A B C M NO )1)2(5 (4 (3 ( 6 (1)求证:OE=OF E F 证明：∵CF平分∠ACD，             ∴∠1=∠2  又∵ MN∥BC，              ∴∠1=∠3             ∴ ∠2=∠3， 同理可证：OC=OE             ∴OE=OF D (2)当O运动到何处时, 四边形AECF为矩形? 素 养 考 点 1 利用角判断四边形是矩形利用角判断四边形是矩形 探究新知 ∴OC=OF (1) 答：当点O为AC的中点时，四边形AECF是矩形. 理由：由（1）知OE=OF 又AO=CO ∴四边形AECF是平行四边形 又∵EC、FC分别平分∠ACB 、∠ACD          ∴∠2+∠4=90°即∠ECF=90°          ∴四边形 AECF是矩形 探究新知 (2) A B C M NO )1)2(5 (4 (3 ( 6E F D 2. 如图， □ ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G 、H，求证：四边形 EFGH为矩形． 证明：在□ ABCD中，AD∥BC, ∴∠DAB+∠ABC=180°. ∵AE与BG分别为∠DAB、∠ABC的平分线 , A B D C H E F G ∴四边形EFGH是矩形．同理可证∠AED=∠EHG=90°, ∴∠AFB=90°， ∴∠GFE=90°. ∴ ∠BAE+ ∠ABF=    ∠DAB+     ∠ABC=90°. 巩固练习 1.（2018•上海）已知平行四边形ABCD，下列条件中， 不能判定这个平行四边形为矩形的是（  ） A．∠A=∠B                 B．∠A=∠C C．AC=BD                        D． AB⊥BC 巩固练习 连 接 中 考 B 2.（2019•怀化）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD， E，F分别为垂足． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：四边形AECF是矩形． 巩固练习 连 接 中 考 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°， 在△ABE和△CDF中，                ∴△ABE≌△CDF（AAS）； （2）证明：∵AD∥BC， ∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°， AB＝CD，∠B＝∠D，∠AEB＝∠CFD， ∴四边形AECF是矩形．  ∴∠EAF＝∠AEB＝90°， ∵AE⊥BC，CF⊥AD， 1.如图，在▱ABCD中，AC和BD相交于点O，则下面 条件能判定▱ABCD是矩形的是 （  ） A．AC=BD            B．AC=BC C．AD=BC            D．AB=AD A 基 础 巩 固 题 课堂检测 A B C D O 2.如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD 、AD分别是∠EAC、 ∠MCA、 ∠ ACN、∠CAF的平分线,则 四边形ABCD是 （ ） A.梯形               B.平行四边形         C.矩形               D.不能确定 D E F M NQ PA B C C 课堂检测 基 础 巩 固 题 3.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H 分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH. 求证:四边形EFGH是矩形. B C D E F G H O A证明： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，AO=BO=CO=DO， ∵ AE=BF=CG=DH， ∴OE=OF=OG=OH ，∴四边形EFGH是平行四边形， ∵EO+OG=FO+OH，即EG=FH ，∴四边形EFGH是矩形. 课堂检测 基 础 巩 固 题 4.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5 ，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形． 证明：四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°， ∴∠ADC=90°. 又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，满足132=52+122， 即 ∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°， ∴四边形ABCD是矩形． A B C D 课堂检测 基 础 巩 固 题 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是 △ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E， 求证：四边形ADCE为矩形． 证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，  ∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝   ∠BAC. 又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线， ∴∠MAE＝∠CAE＝   ∠CAM, ∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝  (∠BAC＋∠CAM)＝90°. 又∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC＝∠CEA＝90°,∴四边形ADCE为矩形． 课堂检测 能 力 提 升 题 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm， BC＝26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运 动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动． 点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另 一点随之停止运动． (1)经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？ 解：设经过xs，四边形PQCD为平行四边形， 即PD＝CQ， 所以24－x＝3x， 解得x＝6. 即经过6s，四边形PQCD是平行四边形； 拓 广 探 索 题 课堂检测 (2)经过多长时间，四边形PQBA是矩形？ 解：设经过ys，四边形PQBA为矩形， 即AP＝BQ， ∴y＝26－3y， 解得y＝6.5， 即经过6.5s，四边形PQBA是矩形． 课堂检测 拓 广 探 索 题 有一个角是直角的平行四 边形是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形 . 有三个角是直角的四边形是矩形. 运用定理进行计算和证明 矩形的判定 定义 判定 定理 课堂小结 课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习