人教版八年级数学下册18.1.2平行四边形的判定课件

18.1 平行四边形 18.1.2 平行四边形的判定 第一课时 第二课时 人教版 数学 八年级 下册 第三课时 利用平行四边形的定义、边、角、 对角线判定平行四边形 第一课时 返回 昨天初一的李明同学在生物实验室做实验时，不小心碰碎了 实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片,只剩下如图所示部 分,他想明天星期六回家去割一块赔给学校，带上玻璃剩下部分 去玻璃店不安全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画 出来?然后带上图纸去就行了，可原来的平行四边形怎么给它画 出来呢？(A,B,C为三顶点,即找出第四个顶点D) A B C 导入新知 1. 经历并了解平行四边形的判别方法探索过 程，逐步掌握说理的基本方法. 2. 掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不 同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证. 素养目标 3. 在探索过程中发展我们的合理推理意识、主 动探究的习惯. 如图，将两长两短的四根细木条用小钉绞合在一起，做成 一个四边形，使等长的木条成为对边，转动这个四边形，使它 形状改变，在图形变化过程中，它一直是一个平行四边形吗？ 由上面的过程你得到了什么结论 ？ 是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B 探究新知 知识点 1 平行四边形的判定定理平行四边形的判定定理11 如何证明这个 结论呢？ 已知： 四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC. 求证： 四边形ABCD是平行四边形. A B C D连接AC， 在△ABC和△CDA中, AB=CD (已知)， BC=DA(已知)， AC=CA (公共边)， ∴△ABC≌△CDA(SSS) ∴ ∠1=∠4 , ∠ 2=∠3， ∴AB∥ CD , AD∥ BC， ∴四边形ABCD是平行四边形. 证明： 1 4 2 3 探究新知 你能用平行四 边形的定义来 证明吗？ 由上述证明可以得到平行四边形的判定定理1： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 几何语言： AA BB CC DD A B C D 在四边形ABCD中， ∵AB=CD,AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 探究新知 例1 如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°.求证： 四边形PONM是平行四边形． 证明：在Rt△MON中， 由勾股定理得(x－5)2＋42＝(x－3)2， 解得x＝8. ∴PM＝11－x＝3，ON＝x－5＝3，MN＝x－3＝ 5. ∴PM＝ON，OP＝MN， ∴四边形PONM是平行四边形． 探究新知 素 养 考 点 1 利用两组对边分别相等识别平行四边形 1.如图, AD⊥AC,BC⊥AC,且AB=CD, 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：在Rt△ABC和Rt△CDA中， ∵AC=CA,AB=CD, ∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL), ∴BC=DA. 又∵AB=CD, ∴四边形ABCD是平行四边形． 巩固练习 一天，八年级的李明同学在生物实验室做实验时，不小心 碰碎了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片,只剩下如图 所示部分,他想去割一块赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店 不安全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来，然 后带上图纸去就行了，可原来的平行四边形怎么画出来呢？ A B C 探究新知 知识点 2 平行四边形的判定定理平行四边形的判定定理22 DA B C 观看上面的图形，李明想使∠B=∠D，∠A=∠C即可，你觉得可以 吗？对于两组对角分别相等的四边形的形状你的猜想是什么? 探究新知 DA B C 猜想：两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 猜想，对吗 ？ 探究新知 已知：四边形ABCD, ∠A=∠C，∠B=∠D 求证：四边形ABCD是平行四边形 证明： ∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行的 四边形是平行四边形) 同理可证AB∥CD 又∵∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D =360 ° ∴ 2∠A+ 2∠B=360 ° ∵∠A=∠C，∠B=∠D（已知） 即∠A+ ∠B=180 ° ∴ AD∥BC （同旁内角互补，两直线平行） A B C D 探究新知 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 平行四边形的判定定理2: 符号语言： A B C D ∵∠A=∠C，∠B=∠D ∴四边形ABCD是平行四边形 （两组对角分别相等的四边形是平行四边形） 探究新知 A B CD 例2 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°， ∠1＝85°，∠2＝40°. (1)求∠D的度数； (2)求证：四边形ABCD是平行四边形． (1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°， ∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°； (2)证明：∵AB∥DC，∴∠2＝∠CAB， ∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°. ∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，又∵∠D＝∠B＝55°， 探究新知 素 养 考 点 1 利用平行四边形的判定定理2判定平行四边形 ∴∠DCB＝∠DAB＝125°. ∴四边形ABCD是平行四边形． 2.判断下列四边形是否为平行四边形： A D CB 110° 70° 110° A B C D 120° 60° 是 不是 3.能判定四边形ABCD是平行四边形的条件： ∠A:∠B:∠C:∠D的值为 （  ） A. 1:2:3:4 B. 1:4:2:3 C. 1:2:2:1 D. 3:2:3:2 D 巩固练习 如图，将两根木条AC、BD的中点重叠，用小钉绞合在一 起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形ABCD，转动 两根木条，四边形ABCD一直是一个平行四边形吗？ 猜想： 对角线互相平分的四边形是平行四边形. A B C D A CB D 探究新知 知识点 3 平行四边形的判定定理平行四边形的判定定理33 已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O ，OA=OC，OB=OD. ∴△ADO ≌△CBO OA=OC 证明： OB=OD ∠AOD=∠COB ∴四边形ABCD是平行四边形 求证：四边形ABCD是平行四边形. A C D B O 2 1在△ADO 和△CBO中， ∴ ∠1=∠2 ∴AD∥BC 同理 AB∥CD 探究新知 A D CB O 几何语言： ∵OA=OC OB=OD ∴四边形ABCD是平行四边形. （对角线互相平分的四边形是平行四边形） 探究新知 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 平行四边形的判定定理3: 例3 如图， □ABCD 的对角线AC,BD相交于点O,E,F是AC上的 两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形. B O DA C E F 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AO=CO,BO=DO. ∵AE=CF ， ∴ AO-AE=CO-CF,即EO=OF. 又∵BO=DO， ∴四边形BFDE是平行四边形. 探究新知 素 养 考 点 1 利用平行四边形的判定定理3判断平行四边形 4.根据下列条件,不能判定四边形为平行四边形的是( ) A.两组对边分别相等 B.两条对角线互相平分 C.两条对角线相等 D.两组对边分别平行 5.如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O. 如果AC=8cm,BD=10cm,那么当AO=_____cm, BO=_____cm时，四边形ABCD是平行四边形. B O DA C C 4 5 巩固练习 1.（2018•安徽）▱ABCD中，E，F的对角线BD上不同的 两点．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四 边形的是（  ） A．BE=DF B．AE=CF C．AF∥CE D．∠BAE=∠DCF 巩固练习 连 接 中 考 B 2.（2019•柳州）平行四边形的其中一个判定定理是：两组对边分 别相等的四边形是平行四边形．请你证明这个判定定理． 已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 巩固练习 连 接 中 考 证明：连接AC，如图所示： 在△ABC和△CDA中，， ∴△ABC≌△CDA（SSS）， ∴∠BAC＝∠DCA，∠ACB＝∠CAD， ∴AB∥CD，BC∥AD， ∴四边形ABCD是平行四边形． B DA C 1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列 条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( ) A. AB∥CD，AD∥BC B. OA＝OC，OB＝OD C. AD＝BC，AB∥CD D. AB＝CD，AD＝BC C C 课堂检测 基 础 巩 固 题 B O DA C 2.在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O， （1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=___ cm， CD= ____cm时， 四边形ABCD为平行四边形； （2）若AO=10cm，BO=18cm，那么当AC=___ cm， BD= ____cm 时，四边形ABCD为平行四边形． A B C D O 8㎝ 4㎝ 8 4 20 36 课堂检测 基 础 巩 固 题 3.如图，AC∥DE且AC＝DE，AD，CE交于点B，AF，DG分别 是△ABC，△BDE的中线，求证：四边形AGDF是平行四边形. 课堂检测 ∵AC∥DE，AC＝DE， ∴∠C＝∠E，∠CAB＝∠EDB. ∴△ABC≌△DBE. ∴AB＝DB，CB＝EB. ∵AF，DG分别是△ABC，△BDE的中线， ∴BG＝BF. ∴四边形AGDF是平行四边形. 基 础 巩 固 题 证明： 4.如图，已知E，F，G，H分别是▱ABCD的边AB，BC，CD ，DA上的点，且AE=CG，BF=DH． 求证：四边形EFGH是平行四边形． 在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC, 又∵BF=DH，∴AH=CF. 又∵AE=CG， ∴△AEH≌△CGF（SAS）， ∴EH=GF.同理得△BEF≌△DGH（SAS）， ∴GH=EF， ∴四边形EFGH是平行四边形． 课堂检测 基 础 巩 固 题 证明： 如图，五边形ABCDE是正五边形，连接BD、CE，交于点P． 求证：四边形ABPE是平行四边形． 证明：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴正五边形的每个内角的度数是 AB=BC=CD=DE=AE， ∴∠DEC=∠DCE= ×(180°-108°)=36°， 同理∠CBD=∠CDB=36°，∴∠ABP=∠AEP=108°-36°=72°， ∴∠BPE=360°-108°-72°-72°=108°=∠A， ∴四边形ABPE是平行四边形． A B C D EP 课堂检测 能 力 提 升 题 如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧 作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF. 试说明四边形DAEF是平行四边形． 证明：∵△ABD和△BCF都是等边三角形， ∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°， ∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF＝BC， ∴△DBF≌△ABC(SAS)，∴AC＝DF. 又∵△ACE是等边三角形，∴AC＝DF＝AE. 同理可证△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD， ∴四边形DAEF是平行四边形． 课堂检测 拓 广 探 索 题 平行四边 形的判定 定义法:两组对边分别平行的四边形叫平行四边形 . 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 课堂小结 利用一组对边判定平行四边形 第二课时 返回 取两根等长的木条AB、CD，将它们平行放置， 再用两根木条BC、AD加固，得到的四边形ABCD是平 行四边形吗？ 导入新知 2. 会综合运用平行四边形的判定方法和性质来 证明问题. 1. 掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边 形的方法 . 素养目标 以小组讨论的形式探讨这一问题. 我们知道两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形. 请同学们猜想一下，如果只考虑四边形的一组对边，当它满 足什么条件时这个四边形是平行四边形？ 探究新知 知识点 1 平行四边形的判定定理平行四边形的判定定理44 问题1：一组对边平行的四边形是平行四边形吗？如果是请 给出证明，如果不是请举出反例说明. xk 小学学习过的梯形满足一组对边平行的条件，但梯形 不是平行四边形. 问题2：满足一组对边相等的四边形是平行四边形吗？ 如图1 ，这个四边形EFGH满足一组对边 EF=HG相等的条件，但它不是平行四边形. 探究新知 问题3：如果一组对边平行，而另一组对边相等的四边形是 平行四边形吗？ 如图2，等腰梯形属于一组对边平行（上底和下底），而 另一组对边相等（两腰），但是等腰梯形不是平行四边形． 图2 E F G H 图1 我们在方格纸上利用手中的木棍，做一 个满足一组对边平行且相等的四边形，并 判断所做的四边形是否是平行四边形. 请你猜想，这个命题成立吗？ 命题：一组对边平行且相等的四边形 是平行四边形． 探究新知 命题：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 请你将上述命题改写成已知、求证，并画出图形， 然后思考如何证明. 已知：如图 ，在四边 形ABCD中，AB//CD， AB=CD. 求证：四边形ABCD是 平行四边形. 探究新知 B DA C 证明：方法1： 如图， 连接 AC. ∵AB //CD ， ∴∠1=∠2． 又 ∵AB =CD ， AC =CA ， ∴△ABC≌△CDA． ∴BC =DA ． ∴四边形ABCD是平行四边形． 探究新知 B DA C 2 1 证明：方法2： ∵AB //CD ， ∴∠1=∠2 ． 又 ∵AB =CD ， AC =CA ， ∴△ABC≌△CDA ． ∴∠BCA=∠DAC ． ∴AD //BC ． ∴四边形ABCD是平行四边形． 如图，连接 AC． 探究新知 B DA C 2 1 平行四边形的判定定理4： 在四边形ABCD中， ∵AB//CD，AB =CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 符号语言： 提示：同一组对边平行且相等. 探究新知 B DA C 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB =CD，EB //FD． 又 ∵EB = AB ，FD = CD， ∴EB =FD ． ∴四边形EBFD是平行四边形． 例1 如图 ，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB， CD的中点.求证：四边形EBFD是平行四边形. 探究新知 素 养 考 点 1 直接利用平行四边形的判定定理直接利用平行四边形的判定定理44判定平行四边形判定平行四边形 证明： A B C D E F 证明：∵四边形AEFD和EBCF都 是平行四边形， ∴AD∥ EF，AD=EF， EF∥ BC， EF=BC. ∴AD∥ BC，AD=BC. ∴四边形ABCD是平行四边形. 1.四边形AEFD和EBCF都是平行四边形， 求证：四边形ABCD 是平行四边形. 巩固练习 例2 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在 直线AD的两侧，AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．求证：四边 形BFCE是平行四边形． ∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD， 在△ACE和△DBF中， AC＝BD ,∠A＝∠D, AE＝DF , ∴△ACE≌△DBF(SAS)， ∴CE=BF，∠ACE=∠DBF， ∴CE∥BF， ∴四边形BFCE是平行四边形． 素 养 考 点 2 探究新知 平行四边形的判定定理平行四边形的判定定理44和全等三角形判定平行四边形和全等三角形判定平行四边形 证明： 2. 如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE． （1）求证：△ACD≌△CBE； （2）求证：四边形CBED是平行四边形． 证明：（1）∵点C是AB的中点，∴AC=BC. 在△ADC与△CEB中， AD＝CE , CD＝BE , AC＝BC , ∴△ADC≌△CEB（SSS）， （2）∵△ADC≌△CEB，∴∠ACD=∠CBE， ∴CD∥BE.又∵CD=BE， ∴四边形CBED是平行四边形． 巩固练习 例3 如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DF∥BC，EF∥AC ，试问BF与CE相等吗？为什么？ 探究新知 素 养 考 点 3 平行四边形的性质和判定的综合题目平行四边形的性质和判定的综合题目 解：BF＝CE．理由如下： ∵DF∥BC，EF∥AC， ∴四边形FECD是平行四边形，∠FDB=∠DBE， ∴FD=CE. ∵BD平分∠ABC，∴∠FBD=∠EBD， ∴∠FBD=∠FDB. ∴BF=FD. ∴BF＝CE. 3.如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE， EF，BF，写出图中除▱ABCD以外的所有的平行四边形. 解：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC，AD=BC. ∵E，F分别是AB，CD的中点， ∴AE=BF=DE=FC， ∴四边形ADFE是平行四边形， 四边形EFCB是平行四边形， 四边形BEDF是平行四边形. 巩固练习 （2019•遂宁）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E， 使CE＝BC，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点． 求证：（1）△ADF≌△ECF． （2）四边形ABCD是平行四边形． 巩固练习 连 接 中 考 证明：（1）∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠E， ∵点F是CD的中点， ∴DF＝CF，在△ADF与△ECF中， ∴△ADF≌△ECF（AAS）； （2）∵△ADF≌△ECF，∴AD＝EC， ∵CE＝BC，∴AD＝BC， ∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形． ∠DAF= ∠E ， DF=CF， ∠AFD= ∠EFC ， 1.已知四边形ABCD中有四个条件：AB∥CD，AB=CD， BC∥AD，BC=AD，从中任选两个，不能使四边形ABCD成为 平行四边形的选项是（  ） A．AB∥CD，AB=CD B．AB∥CD，BC∥AD C．AB∥CD，BC=AD D．AB=CD，BC=AD C 课堂检测 基 础 巩 固 题 2.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个 条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从 中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有(   ) A．3种   B．4种   C．5种   D．6种 B O DA C B 课堂检测 基 础 巩 固 题 3.在▱ABCD中，E、F分别在BC、AD上，若想要使四边形AFCE 为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是 （  ） A．AF=CE B．AE=CF C．∠BAE=∠FCD D．∠BEA=∠FCE B 课堂检测 基 础 巩 固 题 4.如图，点E，C在线段BF上，BE=CF，∠B=∠DEF， ∠ACB=∠F，求证：四边形ABED为平行四边形． ∵BE=CF， ∴BE+EC=CF+EC．即BC=EF． 又∵∠B=∠DEF,∠ACB=∠F， ∴△ABC≌△DEF，∴AB=DE. ∵∠B=∠DEF，∴AB∥DE． ∴四边形ABED是平行四边形． 基 础 巩 固 题 课堂检测 证明： 如图，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上 的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE．求证：四边形 BCED′是平行四边形. 由题意得∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA， ∠D=∠AD′E， ∵DE∥AD′，∴∠DEA=∠EAD′， ∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA， ∴∠DAD′=∠DED′， ∴四边形DAD′E是平行四边形， ∴DE=AD′. 课堂检测 能 力 提 升 题 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB=DC， ∴CE∥D′B，CE=D′B， ∴四边形BCED′是平行四边形. 能 力 提 升 题 课堂检测 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，BC=15cm ，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C 向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运 动时间为t(s)． （1）用含t的代数式表示： AP=_____； DP=________； BQ=________；CQ=________； tcm (12-t)cm (15-2t)cm 2tcm 课堂检测 拓 广 探 索 题 （2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？ 解：根据题意有AP=tcm，CQ=2tcm， PD=(12-t)cm，BQ=(15-2t)cm． ∵AD∥BC， ∴当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形． ∴t=15-2t， 解得t=5s． ∴t=5s时四边形APQB是平行四边形； 课堂检测 拓 广 探 索 题 解：由PD=(12-t)cm，CQ=2tcm， ∵AD∥BC， ∴当PD=QC时，四边形PDCQ是平行四边形． 即12-t=2t，解得t=4s， ∴当t=4s时，四边形PDCQ是平行四边形． （3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形 ？ 拓 广 探 索 题 课堂检测 平 行 四 边 形 的 判 定 平行四边形的性质与判定 的 综 合 运 用 一组对边平行且相等的四边 形 是 平 行 四 边 形. 课堂小结 三角形的中位线 第三课时 返回 我们探索平行四边形时，常常转化为三角形，利用三角形 的全等性质进行研究，今天我们一起来利用平行四边形来探索 三角形的某些问题吧！ 【想一想】如图，有一块三角形蛋糕，准备平分给四个小朋 友，要求四人所分的形状大小相同，该怎样分呢？ 导入新知 1. 理解三角形中位线的概念，掌握它的性质. 2. 掌握三角形与平行四边形的相互转换，学会 基本的添辅助线法. 素养目标 3. 能利用三角形的中位线定理解决有关证明和 计算问题. 1.什么叫三角形的中线？有几条？ 2.三角形的中线有哪些性质？ A B CD EF   连结三角形的顶点和对边中点的线段叫三角形的中线. ①三角形的每一条中线把三角形的面积平分 . ②三角形的中线相交于同一点.…… 探究新知 知识点 1 三角形的中位线 三角形有3条中线. A B C D E DE是△ ABC的中位线 什么叫 三角形的中 位线呢？ 探究新知 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 . A B C D E 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE.则 线段DE就称为△ABC的中位线. 探究新知 问题1：一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所 有的中位线吗？ A B C D E F 有三条，如图，△ABC的中位线是 DE、DF、EF. 问题2：三角形的中位线与中线有什么区别？ 中位线是连接三角形两边中点的线段 . 中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段. 探究新知 问题3：如图，DE是△ABC的中位线，DE与BC有怎样的关系 ？ D E 两条线段的关系 位置关系 数量关系分析： DE与BC的关系猜想： DE∥BC ？ 探究新知 度量一下你手中的三角形， 看看是否有同样的结论？并 用文字表述这一结论． 平行 角 平行四边形或 线段相等 一条线段是另一条线段 的一半 倍长短线 分析1 ： D E 猜想：三角形的中位线平行于三角 形的第三边且等于第三边的一半． 问题4：如何证明你的猜想？ 探究新知 分析2 ： D E 互相 平分 构 造 平行四边形倍长 DE 探究新知 证明： D E 延长DE到F，使EF=DE． 连接AF、CF、DC ． ∵AE=EC，DE=EF ， ∴四边形ADCF是平行四边形． F ∴四边形BCFD是平行四边形， ∴CF AD , ∴CF BD , 又∵ ， ∴DF BC ． ∴ DE∥BC， ． 如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC边的中点， 求证： 探究新知 D E 延长DE到F，使EF=DE． F ∴四边形BCFD是平行四边形． ∴△ADE≌△CFE． ∴∠ADE=∠F， 连接FC． ∵∠AED=∠CEF，AE=CE， 证法2： AD=CF, ∴BD CF． 又∵ ， ∴DF BC ． ∴ DE∥BC， ． ∴CF AD , 探究新知 证明： A B C D E 如图，D、E、F分别是△ABC的三 边的中点，那么，DE、DF、EF都是 △ABC的中位线. F DE∥BC且DE= BC 同理:DF∥AC且DF= AC； EF∥AB且EF= AB 探究新知 三角形的中位线平行于三角形的第三边， 且等于第三边的一半. 三角形中位线定理： A B C D E ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC且DE= BC 符号语言： 有何作用？ （ ∵AD=BD, AE=CE ) 这个定理提供了证明线段平行以及线段成倍分关系的根据. 探究新知 A B C D E F 提示： ①中位线DE、EF、DF把△ABC分成 四个全等的三角形；有三组共边的平 行四边形，它们是四边形ADFE和 BDEF，四边形BFED和CFDE，四边 形ADFE和DFCE. ②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的 周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之 一. 探究新知 由此你知 道怎样分 蛋糕了吗 ? 例1 如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF 平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，求AC的长. 解：∵D、E分别为AC、BC的中点， ∴DE∥AB，∴∠2＝∠3. 又∵AF平分∠CAB， ∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠2， ∴AD＝DF＝3， ∴AC＝2AD＝2DF＝6. 探究新知 素 养 考 点 1 利用中位线定理求线段利用中位线定理求线段 1. 三角形各边的长分别为6 cm、10 cm 和12cm ， 连接各边中点所成三角形的周长是________. A B C D E F 66 10 10 12 12 14 cm 6 6 55 33 巩固练习 A BC 测出MN的长，就可知A、B两点的距离. M N 分别找出AC和BC的中点M、N. 若MN=36 m，则AB=2MN=72 m 如果，MN两点之间还有阻 隔，你有什么解决办法？ 2. 如图， A 、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC 和BC，怎样测出A、B两点的实际距离？根据是什么？ 巩固练习 例2 如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，点O是 △ABC内部任意一点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、 OC的中点，顺次连接点D、G、F、E. 求证：四边形DGFE是平行四边形. A B CG F ED O ∴四边形DGFE是平行四边形 = = = 证明： 探究新知 素 养 考 点 2 利用三角形的中位线判断平行四边形利用三角形的中位线判断平行四边形 在△ABC中，∵AD=BD,AE=CE 在△OBC中，∵OG=BG,OF=CF 3.已知: 如图,点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点， 求证：四边形EFGH为平行四边形. 证明：连接AC. ∵ E、F是AB、BC边中点 ∴EF∥AC且EF＝ AC 同理：HG ∥ AC且HG ＝ AC ∴EF ∥ HG且EF ＝ HG ∴四边形EFGH为平行四边形. E F G H A B CD 巩固练习 例3 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、 BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数． 解：∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点， ∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线， ∴PM= AB，PN= DC，PM∥AB，PN∥DC， ∵AB=CD，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形， ∵PM∥AB，PN∥DC， ∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°， 素 养 考 点 3 利用三角形的中位线求角度利用三角形的中位线求角度 探究新知 ∴∠MPN=∠MPD+(180°−∠NPB)=130°， ∴∠PMN=(180°−130°)÷ 2 =25°． A CB D E 5cm 5.如图， △ABC中,D、E分别是AB、AC的中点， ∠A=50°, ∠B=70°,则∠AED= .60° 巩固练习 60° 4.如图, MN 为△ABC 的中位线,若∠ABC =61° 则∠AMN = . 61° A M B C N 1.（2018•宁波）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于 点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC=60°， ∠BAC=80°，则∠1的度数为（  ） A．50° B．40° C．30° D．20° 连 接 中 考 巩固练习 B 2.（2019•铜仁市）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD， AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、 CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为（  ） A．12 B．14 C．24 D．21 连 接 中 考 巩固练习 A 1.如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，点D，E，F分 别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为 （  ） A.8 B.10 C.12 D.16 D 课堂检测 基 础 巩 固 题 2.如图，点 D、E、F 分别是 △ABC 的三边AB、BC、AC的中 点. （1）若∠ADF=50°，则∠B= ； （2）已知三边AB、BC、AC分别为12、10、8， 则△ DEF的周 长为 . 50° 15 A B C D F E 课堂检测 基 础 巩 固 题 3.如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点 E是CD的中点，BD=12，求△DOE的周长． 解：∵▱ABCD的周长为36， ∴BC+CD=18． ∵点E是CD的中点， ∴OE是△BCD的中位线，DE= CD， ∴OE= BC， ∴△DOE的周长为OD+OE+DE= （BD+BC+CD）=15. 课堂检测 基 础 巩 固 题 4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长 线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE. 证明：取AC的中点F，连接BF. ∵BD＝AB， ∴BF为△ADC的中位线，∴DC＝2BF. ∵E为AB的中点，AB＝AC， ∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB. ∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB, ∴CE＝BF， ∴CD＝2CE. F 基 础 巩 固 题 课堂检测 如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点． 求证：四边形EFGH为平行四边形. 证明：如图，连接BD. ∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点， ∴EH是△ABD的中位线， FG是△BCD的中位线， ∴EH∥BD且EH= BD， FG∥BD且FG= BD， ∴EH∥FG且EH=FG， ∴四边形EFGH为平行四边形. 能 力 提 升 题 课堂检测 G 如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD=12， AC=16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长． 解：取BC边的中点G，连接EG、FG． ∵E，F分别为AB，CD的中点， ∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线， 又BD=12，AC=16，AC⊥BD， ∴EG=8，FG=6，EG⊥FG， ∴ ∴EG∥AC, FG∥BD, 拓 广 探 索 题 课堂检测 三角形的 中位线 三角形中位线平 行于第三边，并 且等于它的一半 三角形的中 位线定理 三角形的中位 线定理的应用 课堂小结 课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习