人教版九年级数学下册 28.1锐角三角函数课件

28.1 锐角三角函数/ 28.1锐角三角函数 第一课时 第二课时 第三课时 第四课时 人教版 数学 九年级 下册 28.1 锐角三角函数/ 正弦 第一课时 返回 28.1锐角三角函数/ 鞋跟多高合适 美国人体工程研究学人员调查发现， 当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11°左 右时，人脚的感觉最舒适，假设某成年人前脚掌到 脚后跟长为15厘米，请问鞋跟在几厘米高度为最佳？ 11˚ 导入新知 28.1锐角三角函数/ 1. 经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与 斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实. 2. 理解锐角正弦的概念，掌握正弦的表示方法. 素养目标 3. 会根据直角三角形的边长求一个锐角的正弦值， 并且能利用正弦求直角三角形的边长. 28.1锐角三角函数/ 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管， 在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平 面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的 水管？ 分析：这个问题可以归 结为，在Rt△ABC中， ∠C=90°，∠A＝30°， BC＝35m，求AB 根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半 ”，即 可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准备70m长的水管． A B C 探究新知 知识点 1 正弦的定义正弦的定义 解： B A C 30° 35m 28.1锐角三角函数/ 【思考】在上面的问题中，如果使出水口的高度为 50m，那么需要准备多长的水管？ A B C 50m35m B ' C ' AB'＝2B'C' ＝2×50＝100(m) 探究新知 在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三 角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 . 28.1锐角三角函数/ 在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所 以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得: 因此 在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角 三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 . 如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°， ∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比 ， 你能得出什么结论？ A BC 探究新知 28.1锐角三角函数/ 探究新知 归纳总结 综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A ＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定 值；当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ， 也是一个固定值. 28.1锐角三角函数/ 【思考】一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它 的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 探究新知 28.1锐角三角函数/ A B C A' B' C' 任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90° ，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系？你能解释 一下吗？ 探究新知 28.1锐角三角函数/ 因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α， 所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 因此 在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角 形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比都是一个固定值． 探究新知 28.1锐角三角函数/ 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的 对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A 即 例如，当∠A＝30°时，我们有 当∠A＝45°时，我们有 A B C c a b 对 边 斜边 归纳： 探究新知 ∠A的对边 斜边sin A = 28.1锐角三角函数/ 注意 • sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正弦， 记号里习惯省去角的符号“∠”； • sinA没有单位，它表示一个比值，即直角 三角形中∠A的对边与斜边的比； • sinA不表示“sin”乘以“A”. 探究新知 28.1锐角三角函数/ 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA 和sinB的值． 解：（1）在Rt△ABC中， 因此 （2）在Rt△ABC中， 因此 探究新知 素 养 考 点 1 利用正弦的定义求有关角的正弦值 A B C 3 4 （1 ） A B C 13 5（2 ） 求sinA就是 要确定∠A 的对边与斜 边的比；求 sinB就是要 确定∠B的 对边与斜边 的比 28.1锐角三角函数/ 1.判断对错: A 10m 6m B C (1) （ ） (2) （ ） (3)sin A=0.6m （ ） (4)sin B=0.8 （ ） √ √ × × sin A是一个比值（注意比的顺序），无单位； 2)如图②， （ ） × 巩固练习 A B C 1) 如图① 图① 图② 28.1锐角三角函数/ 2. 在 Rt△ABC中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100 倍，sinA 的值 ( ) A. 扩大100倍 B. 缩小 C. 不变 D. 不能 确定 C 巩固练习 28.1锐角三角函数/ 例2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP ，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值. 解：如图，设点 A (3，0)，连接 PA . A (3，0) 在Rt△APO中，由勾股定理得 因此 α 探究新知 素 养 考 点 2 在平面直角坐标系内求锐角的正弦值 28.1锐角三角函数/探究新知 方法点拨 结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值， 一般过已知点向 x 轴或 y 轴作垂线，构造直角三 角形，再结合勾股定理求解. 28.1锐角三角函数/ 3.在平面直角坐标系中,已知点A(3,0)和B(0,-4),则 sin∠OAB等于____ 3 4 5 巩固练习 28.1锐角三角函数/ 例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°， ， BC = 3，求 sinB 及 Rt△ABC 的面积. A B C 提示：已知 sinA 及∠A的对边 BC 的 长度，可以求出斜边 AB 的长. 然后 再利用勾股定理，求出 AC 的长度， 进而求出 sinB 及 Rt△ABC 的面积. 素 养 考 点 3 探究新知 利用正弦求直角三角形的边长 28.1锐角三角函数/ ∴ AB = 3BC =3×3=9. ∴ ∴ ∴ 探究新知 A B C 解：∵在 Rt△ABC 中， ∴ 28.1锐角三角函数/ 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k， sinB = h，AB = c，则 BC = ck， AC = ch. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k， sinB = h，BC=a，则 归纳： 探究新知 A B C ， . 28.1锐角三角函数/ 8 巩固练习 4.如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10， ， BC的长是 ． A Ｃ B 28.1锐角三角函数/ 例4 在 △ABC 中，∠C=90°，AC=24cm， ，求这个三角形的周长． 解：设BC=7x，则AB=25x，在 Rt△ABC中，由勾股定理 得 即 24x = 24cm，解得 x = 1 cm. 故 BC = 7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm. 所以 △ABC 的周长为 AB+BC+AC = 7+24+25 = 56 (cm). 探究新知 素 养 考 点 4 利用方程和正弦求直角三角形中线段 28.1锐角三角函数/ 5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, , AC=12. 求sinB的值. 5 13解:在Rt △ABC中, 设AB=13x，BC=5x, 由勾股定理得：(5x)2+122=(13x)2 A B C 12 巩固练习 解得x=1.所以AB=13，BC=5 因此 28.1锐角三角函数/ 1.（2018•柳州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4， AC=3，则sinB=（  ） A． B． C． D． 巩固练习 连 接 中 考 A A B C 28.1锐角三角函数/ 2.（2018•德州）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方 形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC 的正弦值是_______． 连 接 中 考 巩固练习 28.1锐角三角函数/ 1. 如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 sinα 等于( ) O x y P (a，b) α A. B. C. D. D 课堂检测 基 础 巩 固 题 28.1锐角三角函数/ 2. 在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大 2 倍，则 锐角 A 的正弦值 （ ） A. 扩大 2 倍 B.不变 C. 缩小 D. 无法确定 B 课堂检测 基 础 巩 固 题 28.1锐角三角函数/ D A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 2 课堂检测 3. 在Rt△ABC中，∠C=90°， ，BC=6，则 AB 的长为 （ ） 4. 在△ABC中，∠C=90°，如果 ，AB=6， 那么BC=_____. 基 础 巩 固 题 28.1锐角三角函数/ 5. 如图，在正方形网格中有 △ABC，则 sin∠ABC 的值为 . 课堂检测 解析：∵ ， ， ， ∴ ∴ AB 2 ＝ BC 2＋AC 2，∴ ∠ACB＝90°， 基 础 巩 固 题 28.1锐角三角函数/ 如图，在 △ABC中， AB= BC = 5， ，求 △ABC 的面积. D 5 5 C B A 解：作BD⊥AC于点D， ∴ 又∵ △ABC 为等腰三角形，BD⊥AC，∴ AC=2AD=6， ∴S△ABC=AC×BD÷2=12. 课堂检测 能 力 提 升 题 ∵ ， 28.1锐角三角函数/ 求一个角的正弦值，除了用 定义直接求外，还可以转化 为求和它相等角的正弦值。   如图, ∠C=90°，CD⊥AB. sinB可以由哪两条线段之比得 到? 若AC=5,CD=3,求sinB的值. ┌ A C BD 解: ∵∠B =∠ACD ∴sinB = sin∠ACD 在Rt△ACD中， 课堂检测 拓 广 探 索 题 ∴ ∴ 28.1锐角三角函数/ 正弦函数 正弦函数的概念 正弦函数的应用 已知边长求正弦值 已知正弦值求边长 ∠A的对边 斜边sin A = 课堂小结 28.1 锐角三角函数/ 余弦和正切 第二课时 返回 28.1 锐角三角函数/ 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°. A C B 对边a 邻边b 斜边c 当∠A确定时，∠A的对边与斜边的比就确定， 此时，其他边之间的比是否也确定呢？ 导入新知 28.1 锐角三角函数/ 2. 能灵活运用锐角三角函数进行相关运算. 1. 通过类比正弦函数，理解余弦函数、正切函 数的定义，进而得到锐角三角函数的概念 . 素养目标 3. 通过锐角三角函数的学习，培养学生类比 学习的能力. 28.1 锐角三角函数/ 如图， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则 成立吗？为什么？ A B C D E F 探究新知 知识点 1 余弦的定义余弦的定义 28.1 锐角三角函数/ 我们来试着证明前面的问题： ∵∠A=∠D，∠C=∠F=90°， ∴ ∠B=∠E， 从而 sinB = sinE， 因此 A B C D E F 探究新知 28.1 锐角三角函数/ 在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐 角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的 大小无关． 如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A的邻 边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即 归纳： A B C 斜边c 邻边b 探究新知 ∠A的邻边 斜边cos A = 28.1 锐角三角函数/ 探究新知 归纳总结 从上述探究和证明过程，可以得到互余两角的三 角函数之间的关系： 对于任意锐角α，有 cos α = sin (90°－α), 或sin α = cos (90°－α). 28.1 锐角三角函数/ 1. sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注 意数形结合，构造直角三角形). 2. sinA、 cosA是一个比值（数值）. 3. sinA、 cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三 角形的边长无关. 如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°， 正弦 余弦 探究新知 注意： A B C 斜边c ∠A的邻边b ∠A的对边a 28.1 锐角三角函数/ 1．Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=2，BC=1， 那么cosB的值为（ ） A. B. C. D. A 巩固练习 2. Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=4，BC=3， 那么cosB的值为_______ 28.1 锐角三角函数/ 如图， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则 成立吗？为什么？ A B C D E F 探究新知 知识点 2 正切的定义正切的定义 28.1 锐角三角函数/ 证明：∵∠C=∠F=90°， ∠A=∠D， ∴Rt△ABC ∽ Rt△DEF 探究新知 A B C D E F ∴ 即 28.1 锐角三角函数/ 当直角三角形的一个 锐角的大小确定时，其 对边与邻边比值也是唯 一确定的吗？ 探究新知 A B C 斜边c ∠A的邻边b ∠A的对边a 28.1 锐角三角函数/ 如图：在Rt △ABC中，∠C＝90° ，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 ∠A的 正切，记作 tanA. 探究新知 在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角 形的大小如何，∠A的对边与邻边的比是一个固定值. A B C 斜边c ∠A的邻边b ∠A的对边a 28.1 锐角三角函数/ 1.如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系 ？ 【想一想】 探究新知 2.锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？ 可以大于1吗？ 28.1 锐角三角函数/ 3．在Rt∆ABC中，∠C＝90°，如果 那么tanB的值为（ ） A. B. C. D. D 巩固练习 4. 在Rt∆ABC中，∠C＝90°，如果 那么tanA的值为_______. 28.1 锐角三角函数/ 锐角A的正弦、余弦、和正切统称∠A的锐角三角函数. sin A= cos A= tan A= 脑中有“图”，心中有 “式” 探究新知 知识点 3 锐角三角函数的定义锐角三角函数的定义 A B C 斜边c ∠A的邻边b ∠A的对边a ∠A的邻边 斜边 ∠A的对边 斜边 ∠A的对边 ∠A的邻边 28.1 锐角三角函数/ 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10 ，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值. A B C 10 6 解：由勾股定理得 因此 探究新知 素 养 考 点 1 已知直角三角形两边求锐角三角函数的值 28.1 锐角三角函数/探究新知 方法点拨 已知直角三角形中的两条边求锐角三角函数值的一 般思路是：当所涉及的边是已知时，直接利用定义求锐 角三角函数值；当所涉及的边未知时，可考虑运用勾股 定理的知识求得边的长度，然后根据定义求锐角三角函 数值． 28.1 锐角三角函数/ 5．Rt△ABC中，∠C为直角，AC=5，BC=12，那么下 列∠A的四个三角函数中正确的是( ) 6．如图：P是∠ α的边OA上一点， 且P点的坐标为（3，4），则cos α ______，tan α = ________. B 巩固练习 A. B． C． D． α A 28.1 锐角三角函数/ A B C 6 又 在直角三角形中， 如果已知一边长及一个 锐角的某个三角函数值， 即可求出其它的所有锐 角三角函数值. 探究新知 素 养 考 点 2 已知一边及一锐角三角函数值求函数值 例2 如图，在 Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 6 ， ，求 cosA、tanB 的值． ∴ 解：∵在Rt△ABC中， ∴ 28.1 锐角三角函数/ A B C 8 解：∵在 Rt△ABC中， ∴ ∴ ∴ 巩固练习 7. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 8， ， 求sinA，cosB 的值． 28.1 锐角三角函数/ 1.（2018•广州）如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子 长BC=16m，则tanC=______． 巩固练习 连 接 中 考 A BC 28.1 锐角三角函数/ 2. （2018•贵阳）如图，A、B、C是小正方形的顶点， 且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（  ） A． B．1 C． D． B 巩固练习 连 接 中 考 28.1 锐角三角函数/ 1. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 12，AB =13. sinA=______，cosA=______，tanA=____， sinB=______，cosB=______，tanB=____. 基 础 巩 固 题 课堂检测 28.1 锐角三角函数/ 2. 如图，△ABC 中一边 BC 与以 AC 为直径的 ⊙O 相切与点 C，若 BC=4，AB=5，则 tanA=___. A B C 课堂检测 基 础 巩 固 题 28.1 锐角三角函数/ 3. 已知 ∠A，∠B 为锐角， (1) 若∠A =∠B，则 cosA cosB； (2) 若 tanA = tanB，则∠A ∠B. (3) 若 tanA · tanB = 1，则 ∠A 与 ∠B 的关系 为： . = = ∠A +∠B = 90° 课堂检测 基 础 巩 固 题 28.1 锐角三角函数/ 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB ，垂足为 D. 若 AD = 6，CD = 8. 求 tanB 的值. 解: ∵ ∠ACB＝∠ADC =90°， ∴∠B+ ∠A=90°， ∠ACD+ ∠A =90°， ∴∠B = ∠ACD， 能 力 提 升 题 ∴ 课堂检测 28.1 锐角三角函数/ 如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=6. 求cosB 及 tanB 的值. 解：过点 A 作 AD⊥BC 于 D. ∵ AB = AC， ∴ BD = CD = 3， 在 Rt△ABD 中, A B CD 提示：求锐角的三角函数值问题，当图形 中没有直角三角形时，可用恰当的方法构 造直角三角形. 拓 广 探 索 题 ∴ ∴ 课堂检测 28.1 锐角三角函数/ 余弦函数 和 正切函数 余弦 正切 性质 课堂小结 ∠A的邻边 斜边cos A = ∠A的对边tan A =∠A的邻边 ∠A的大小确定的情况下， cosA，tanA为定值，与三 角形的大小无关 30°、45°、60°角的三角函数值 第三课时 返回 导入新知 还记得我们推导正弦关系的时候所得到的结论吗？即 ， ，你还能推导出sin60°的值及 30°、45°、60°角的其它三角函数值吗？ 1. 理解特殊角的三角函数值的由来. 3. 熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加 以运用，根据一个特殊角的三角函数值说出这个角. 素养目标 2. 运用三角函数的知识，自主探索，推导出 30°、45°、60°角的三角函数值. 两块三角尺中有几个不同的 锐角？分别求出这几个锐角的正 弦值、余弦值和正切值？ 设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a ，另一条直角边长＝ 30° 60° 45° 45° 30° 探究新知 知识点 1 特殊角（特殊角（3030°°、、4545°°、、6060°°）的三角函数值）的三角函数值 ∴ 设两条直角边长为a，则斜边长＝ 60° 45° 探究新知 ∴ ∴ 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 锐角a 30° 45° 60° sin a cos a tan a 探究新知 三角函数 仔细观察,说说 你发现这张表有 哪些规律? 例1 求下列各式的值： （1）cos260°＋sin260° （2） 解： （1） cos260°＋sin260° = 1 （2 ） =0 探究新知 素 养 考 点 1 特殊角的三角函数值的运算 提示：sin260°表示（sin60°）2 这道例题的两个 式子中包含几种 运算？运算顺序 是怎样的？ 探究新知 方法点拨 含特殊角三角函数值的计算注意事项： （1）熟记特殊角的锐角三角函数值是关键； （2）注意运算顺序和法则； （3）注意特殊角三角函数值的准确代入． 1.计算： (1) sin30°+ cos45°； 解：（1）原式 (2) sin230°+ cos230°－tan45°. 巩固练习 （2）原式 ＝1-1 ＝0 解：在 Rt△ABC中 A B C∴ ∠A = 45°. ∵ 探究新知 素 养 考 点 2 利用三角函数值求特殊角 例2 (1) 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°， ， ，求 ∠A 的度数； 解：在 Rt△ABO中 A BO∴ α = 60°. 探究新知 (2) 如图，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径， ，求 α 的度数. ∵ 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°， 求∠A、∠B的度数． A B C 解： 由勾股定理 ∴ ∠ A=30° ∠B = 90°－ ∠ A = 90°－30°= 60° 巩固练习 ∴ 例3 已知 △ABC 中的 ∠A 与 ∠B 满足 (1－tanA)2 ＋ |sinB－ |＝0，试判断 △ABC 的形状． ∴ tanA＝1， ， ∠C＝180°－45°－60°＝75°， ∴ △ABC 是锐角三角形． 探究新知 素 养 考 点 3 特殊角的三角函数值的应用 解：∵ (1－tanA)2 ＋ | sinB－ |＝0， ∴ ∠A＝45°，∠B＝60°， 3. 已知： 求∠A，∠B的度数。 解 ： 巩固练习 即 ∴ ∴ ∵ 连 接 中 考 巩固练习 A1.（2018•大庆）2cos60°=（   ） A．1 B． C． D． 2.（2019•大庆）计算：（2019-π）0 ＋ －sin60° 解 ： 原式＝1＋ －1 － ＝ 1．下列各式中不正确的是（ ） A． B．sin30°+cos30°=1 C．sin35°=cos55° D．tan45°>sin45° 2．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（ ） A．2 B． C．-1 D．1 B D 课堂检测 基 础 巩 固 题 sin260°+cos260°=1 3.求满足下列条件的锐角 α . (1) 2sinα － = 0； (2) tanα－1 = 0. ∴ ∠α = 60°. (2) tanα =1， 课堂检测 解：(1) ， ∴ ∠α = 45°. 基 础 巩 固 题 4．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且 ， ，则△ABC的形状是（ ） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 B 课堂检测 5. 在 △ABC 中，若 ， 则∠C = . 120° 基 础 巩 固 题 6. 求下列各式的值： (1) 1－2 sin30°cos30°； (2) 3tan30°－tan45°+2sin60°； (3) ； (4) 答案：(1) (2) (3) 2 (4) 课堂检测 基 础 巩 固 题 已知 α 为锐角，且 tanα 是方程 x2 + 2x －3 = 0 的一个根，求 2 sin2α + cos2α － tan (α+15°)的值． 解：解方程 x2 + 2x － 3 = 0，得 x1 = 1，x2 = －3. ∵ tanα ＞0，∴ tanα =1，∴ α = 45°. ∴ 2 sin2α + cos2α － tan (α+15°) = 2 sin245°+cos245°－ tan60° 能 力 提 升 题 课堂检测 如图，在△ABC中，AD⊥BC，M为AB的中点，∠B=30°， . 求tan∠BCM. E M DC BA 解：过点M作ME⊥BC于点E 课堂检测 拓 广 探 索 题 ∴CD=AD,又∵M是AB的中点 ∴BE=DE，AD=2ME. 又∵∠B=30°， ∵AD⊥BC， ∴ ∴ ∴ 30°、45°、60°角的三角函数值 通过三角函数值求角度 特殊角的三 角函数值 课堂小结 28.1 锐角三角函数/ 用计算器求锐角三角函数值 第四课时 返回 28.1 锐角三角函数/ 锐角a 三角 函数 30° 45° 60° sin a cos a tan a 1 填写下表： 导入新知 28.1 锐角三角函数/ 前面我们学习了特殊角30°，45°，60°的三角函数值, 一些非特殊角(如17°，56°，89°等)的三角函数值又怎么 求呢? 这一节课我们就学习借助计算器来完成这个任务. 导入新知 28.1 锐角三角函数/ 1. 会使用科学计算器求锐角的三角函数值. 2. 会根据锐角的三角函数值，借助科学计算器 求锐角的大小. 素养目标 3. 熟练运用计算器解决锐角三角函数中的问题. 28.1 锐角三角函数/ 例如 (1) 用计算器求sin18°的值； 解：第一步：按计算器 键；sin 第二步：输入角度值18； 屏幕显示结果 sin18°= 0.309 016 994. 不同计算器操作的步 骤可能不同！ 知识点 1 利用计算器求三角函数值、角的度数利用计算器求三角函数值、角的度数 探究新知 28.1 锐角三角函数/ (2) 用计算器求 tan30°36′ 的值； 解：方法①： 第二步：输入角度值30.6 (因为30°36′ = 30.6°)； 屏幕显示答案：0.591 398 351. 第一步：按计算器 键；tan 探究新知 28.1 锐角三角函数/ 屏幕显示答案：0.591 398 351. 方法②： 第一步：按计算器 键；tan 探究新知 第二步：输入角度值30，分值36 (使用 键)；° ′ ″ 28.1 锐角三角函数/ (3) 已知 sinA = 0.501 8，用计算器求锐角∠A的度数 . 第二步：输入函数值0. 501 8； 屏幕显示答案： 30.119 158 67°(按实际需要进行 精确). 解：第一步：依次按计算器 键；2nd F sin 还可以利用 键，进一步得到 ∠A = 30°07′08.97 ″ (这说明锐角 A 精确到 1′ 的结果 为 30°7′，精确到 1″ 的结果为0°7′9″). 2nd F ° ′ ″ 探究新知 28.1 锐角三角函数/ 1. 用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)： (1) sin47°； (2) sin12°30′； (3) cos25°18′；(4) sin18°＋cos55°－tan59°. 答案：(1) 0.7314 (2) 0.2164 (3) 0.9041 (4) －0.7817 巩固练习 28.1 锐角三角函数/ 2. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角 ∠A， ∠B的度数 (结果精确到0.1°)： (1) sinA＝0.7，sinB＝0.01； (2) cosA＝0.15，cosB＝0.8； (3) tanA＝2.4，tanB＝0.5. 答案：(1) ∠A ≈ 44.4°；∠B ≈ 0.6°. (2) ∠A ≈ 81.4°；∠B ≈ 36.9°. (3) ∠A ≈ 67.4°；∠B ≈ 26.6°. 巩固练习 28.1 锐角三角函数/ （1）通过计算 (可用计算器)，比较下列各组数的大小， 并提出你的猜想： ① sin30°____2sin15°cos15°； ② sin38°____2sin19°cos19°； ③ sin45°____2sin22.5°cos22.5°； ④ sin60°____2sin30°cos30°； ⑤ sin84°____2sin42°cos42°. 猜想：已知0°＜α＜45°，则sin2α___2sinαcosα. = 探究新知 知识点 2 利用计算器探索三角函数的性质利用计算器探索三角函数的性质 = = = = = 28.1 锐角三角函数/ (2) 如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝ 2α， 请利用面积方法验证 (1) 中的结论．证明：∵ S△ABC = AB · sin2α · AC = sin2α ， S△ABC = ×2ABsinα · ACcosα = sinα · cosα， ∴sin2α＝2sinαcosα. 探究新知 2α 28.1 锐角三角函数/ （1）sin35°= ，cos35°= ， sin235°= ，cos235°= ； 猜想： 已知0°＜α＜90°，则 sin2α + cos2α = . 0.3420 0.5735 0.9397 0.1170 0.8830 0.8192 0.3290 0.6710 3.利用计算器求值，并提出你的猜想： 1 巩固练习 （2）sin20°= ， cos20°= ， sin220°= ， cos220°= ； 28.1 锐角三角函数/ 4. 已知：sin254°+ cos2α =1，则锐角 α = . 54° 5. 用计算器比较大小：20sin87° tan87°.＞ 巩固练习 sin20° cos20°， sin220° cos220°； sin35° cos35°. ＜ ＜ ＜ 28.1 锐角三角函数/ （2018•淄博）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米， 其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体 按键顺序是（  ） A． B． C． D． 巩固练习 连 接 中 考 A 28.1 锐角三角函数/ 1. 下列式子中，不成立的是( ) A．sin35°= cos55° B．sin25°+ sin40°= sin65° C． cos47°= sin43° D．sin218°+ cos218°=1 B 课堂检测 基 础 巩 固 题 28.1 锐角三角函数/ 2. 用计算器求sin24°37′18″的值，以下按键顺序正确的是 （ ） A． B． C． D． A sin 2 4 ° ′ ″ 3 7 ° ′ ″ 81 ° ′ ″ = sin 2 4 ° ′ ″ 3 7 ° ′ ″ 81 ° ′ ″ = 2nd F sin 2 4 ° ′ ″ 81 ° ′ ″ = sin 2 4 ° ′ ″ 3 7 ° ′ ″ 81 ° ′ ″ =2nd F 课堂检测 基 础 巩 固 题 28.1 锐角三角函数/ (1) sin40°≈ (精确到0.0001)； (2) tan63°27′≈ (精确到 0.0001)； (3) cos18°59′27″≈ (精确到 0.0001)； (4) 若sinα = 0.5225，则 α ≈ (精确到 0.1°)； (5) 若cosα = 0.3145，则 α ≈ (精确到 0.1°). 0.6428 2.0013 31.5° 3. 利用计算器求值： 71.7° 课堂检测 0.9452 基 础 巩 固 题 28.1 锐角三角函数/ 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，请验证sin2α + cos2α =1 的结论. 证明：在 Rt△ABC中，a2 + b2 = c2， bA B C a c α∴ 课堂检测 能 力 提 升 题 28.1 锐角三角函数/ 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠BAC = 42°24′， ∠A 的 平分线 AT = 14.7cm，用计算器求 AC 的长(精确到0.001). 解：∵ AT 平分∠BAC，且∠BAC = 42°24′， 在 Rt△ACT 中, ， ∴ AC = AT · cos∠CAT = 14.7×cos21°12′ ≈13.705(cm). 课堂检测 拓 广 探 索 题 A B C T∴ . 28.1 锐角三角函数/ 用计算 器求锐 角三角 函数值 及锐角 课堂小结 用计算器求锐角的三角函数值或角的度数 注意：不同的计算器操作步骤可能有所不同 利用计算器探索锐角三角函数的性质 28.1 锐角三角函数/课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习