专题02 研考题--高考微切口 三角形中的最值问题 2020高考江苏数学二轮复习

微切口 4　三角形中的最值问题 　(1) 如图，在△ABC 中，若 AB＝AC，AD＝DC，BD＝ 3，则△ABC 面积的最大值 为________． (例 1(1)) (2) (2019·苏州大学考前指导卷)在锐角三角形 ABC 中，已知角 A，B，C 的对边分别为 a， b，c.若 a，b， c 成等差数列，则 c acos B 的取值范围为________． 【思维引导】 　(2019·南方凤凰台密题)已知△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c，且 sin2A＋sin2B－sin2C a cosB＋b cos A ＝sin A sin B c ，若 a＋b＝4，则 c 的取值范围为________． 　在△ABC 中，已知AB → ·AC → ＝|AB → －AC → |＝2. (1) 求|AB → |2＋|AC → |2 的值；　(2) 当△ABC 的面积最大时，求角 A 的大小． 【思维引导】1. 求解最值问题时，要注意三角形内角和为 π 这一限制条件．例如，若△ABC 是锐角三 角形，则 0cos B，sin B>cos C. 2. 求解最值问题的关键在于将三角函数 f(x)进行正确地“化一”及“化一”后角的范围 的确定，因此，求解时要准确运用三角公式，并借助三角函数的图象和性质去确定函数 f(x) 的最值．同时要注意两边之和大于第三边等隐含条件． 3. 求周长或面积的范围与最值时可转化为边与角的范围，也可利用基本不等式求范 围． 1. 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a2＋b2＝2c2，则 cos C 的最 小值为________． 2. (2019·石家庄一模)在△ABC 中，若 AB＝2，C＝ π 6，则 AC＋ 3BC 的最大值为 ________． 3. (2019·镇江中学)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 a sin B＝ 3b cos A．若 a＝4，则△ABC 周长的最大值为________． 4. (2019·南师附中)若△ABC 的面积为 3 4 (a2＋c2－b2)，且 C 为钝角，则c a的取值范围是 ________． 5. (2019·汉中一模)在△ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若(1 2b－sin C) cos A＝sin A cos C，且 a＝2 3，则△ABC 面积的最大值为________． 6. (2019·丹阳中学)在△ABC 中，D 为 AC 边上一点，若 AD＝2，DC＝1，BD 为∠ABC 的角平分线，则△ABC 面积的最大值为________． 7. 已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，(a＋2c)cos B＋b cos A＝0. (1) 求角 B 的大小； (2) 若 b＝3，求△ABC 面积的最大值．8. 已知函数 f(x)＝2cos2x－sin(2x－7π 6 ). (1) 求函数 f(x)的最大值，并写出 f(x)取最大值时 x 的取值集合； (2) 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 f(A)＝3 2，b＋c＝2，求实数 a 的最小值．