专题02 研考题--高考微切口 与数量积有关的最值和范围问题 2020高考江苏数学二轮复习

微切口 5　与数量积有关的最值和范围问题 　(1) (2019·苏州大学考前指导卷)如图，已知等边三角形 ABC 的边长为 2，顶点 B，C 分别在 x 轴的非负半轴，y 轴的非负半轴上滑动，若 M 为 AB 的中点，则OA → ·OM → 的最大值为 ________． (例 1(1)) (2) 在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且BE → ＝λBC → ，DF → ＝ 1 9λDC → ，那么AE → ·AF → 的最小值为________． 【思维引导】 (1) (2) 　(1) (2019·南方凤凰台密题)如图，已知正方形 ABCD 的边长是 2，E 是 CD 的中点，P 是以 AD 为直径的半圆上的任意一点，那么AE → ·BP → 的取值范围是________．(变式(1)) (2) 如图，在平面四边形 ABCD 中，已知 AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD ＝1.若 E 为边 CD 上的动点，则AE → ·BE → 的最小值为________． (变式(2)) (3) (2020·)已知正方形 ABCD 的边长为 1，O 为正方形 ABCD 的中心，过中心 O 的直线与边 AB 交于点 M，与边 CD 交于点 N，P 为平面上一点，若满足 2OP → ＝λOB → ＋(1－ λ)OC → ，则PM → ·PN → 的最小值为________． 与数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件求某个 变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等．解决思路是建立目标函 数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)的最值或应用基本不等式．同时向量兼顾“数” 与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质． 1. 已知 i 与 j 为互相垂直的单位向量，若 a＝i－2j，b＝i＋λj，且 a 与 b 的夹角为锐角， 则实数 λ 的取值范围是________．2. 在△ABC 中，若 A＝120°，AB → ·AC → ＝－1，则|BC → |的最小值是________． 3. (2019·南方凤凰台密题)在等腰直角三角形 ABC 中，若 AB＝AC＝2，P 为 BC 的中点， 点 M，N 分别为 AB，AC 上的两个不同点，且|MN → |＝1，则PM → ·PN → 的最小值为________． 4. 在平行四边形 ABCD 中，若 AB＝2，AD＝1， AB → ·AD → ＝－1，点 M 在边 CD 上，则 MA → ·MB → 的最大值为________． 5. 已知平面向量 a，b，e 满足|e|＝1，a·e＝1，b·e＝－2，|a＋b|＝2，那么 a·b 的最大值 为________． 6. (2019·南京考前综合题)如图，在△ABC 中，若AE → ＝2EB → ，AD → ＝1 2DC → ，且 BD⊥CE，则 cos A 的最小值为________． (第 6 题) 7. (2019·长郡中学)已知 AD 是△ABC 的中线，若AD → ＝λAB → ＋μAC → (λ，μ∈R)，A＝120°， AB → ·AC → ＝－2，则|AD → |的最小值是________． 8. (2019·苏州最后一卷)如图，已知 P 是半径为 2，圆心角为π 3的一段圆弧 AB 上一点，若 AB → ＝2BC → ，则PC → ·PA → 的最小值为________． (第 8 题) 9. 如图，在直角梯形 ABCD 中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝1，AB＝2，E，F 分别 为 AB，BC 的中点，点 P 在以 A 为圆心，AD 为半径的圆弧 DE 上变动．若AP → ＝λED → ＋μAF → ， 其中 λ，μ∈R，则 2λ－μ 的取值范围是________． (第 9 题)10. 若 a，b，c 均为单位向量，且 a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为 ________．