专题02 研考题--高考微切口 组合几何体的体积(面积)问题 2020高考江苏数学二轮复习

微切口 7　组合几何体的体积(面积)问题 　请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥(如图所示).当帐篷的顶点 O 到底面中心 O1 的距离为________m 时，帐篷的体 积最大． (例 1) 　如图，直线 AA1，BB1，CC1 相交于点 O，AO＝A1O，BO＝B1O，CO＝C1O，形成 两个顶点相对、底面水平的三棱锥，设三棱锥高均为 1，若上面三棱锥中装有高度为 0.5 的液 体，若液体流入下面的三棱锥，则液体高度为________． (变式) 　如图，在矩形 ABCD 中，AD＝2，AB＝4，E，F 分别为边 AB，AD 的中点．现将△ADE 沿 DE 折起，得四棱锥 ABCDE. (1) 求证：EF∥平面 ABC； (2) 若平面 ADE⊥平面 BCDE，求四面体 FDCE 的体积． (例 2)采用“割”“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台). 1. 几何体的“分割”：几何体的分割，即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干 个易求体积的几何体． 2. 几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几 何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体 的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积． 1. 在平面四边形 ABCD 中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝ 2，BD⊥CD，将其沿对角线 BD 折成四面体 A′BCD，使平面 A′BD⊥平面 BCD，若四面体 A′BCD 的顶点在同一个球面上，则 该球的体积为________． 2. 已知矩形的顶点都在半径为 2 的球的球面上，且 AB＝3，BC＝ 3，过点 D 作 DE 垂 直于平面 ABCD，交球于点 E，则四棱锥 EABCD 的体积为________． 3. 已知 A，B 是球 O 的球面上两点，∠AOB＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥 OABC 的体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为________． 4. 已知三棱锥 ABCD 的外接球为球 O，球 O 的直径 AD＝2，且△ABC，△BCD 都是等 边三角形，则三棱锥 ABCD 的体积是________． 5. 如图，半径为 1 的球内切于正三棱锥 PABC 中，则此正三棱锥的体积的最小值为 ________． (第 5 题) 6. 如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形．若圆 柱侧面积为 16π，其底面直径与母线长相等，则此三棱柱的体积为________． 　　　(第 6 题) 7. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8cm，将一个球放在容器口， 再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm，如果不计容器的厚度，则球的体 积为________． 　　　 (第 7 题) 8. 设正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表 面积为________． 9. 如图，正方形 ABCD 的边长为 2，点 E，F 分别是 BC，CD 的中点，沿着 AE，AF，EF 把该正方形折叠成三棱锥 APEF(点 B，C，D 重合于点 P)，则三棱锥 APEF 的内切球的半径 为________． 　　　 (第 9 题) 10. 如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠BAD＝π 2，AB＝BC＝1 2AD＝a，E 是 AD 的 中点，O 是 AC 与 BE 的交点．将△ABE 沿 BE 折起到图(2)中△A1BE 的位置，得到四棱锥 A1BCDE. (1) 求证：CD⊥平面 A1OC； (2) 当平面 A1BE⊥平面 BCDE 时，四棱锥 A1BCDE 的体积为 36 2，求 a 的值． 图(1) 　 图(2) (第 10 题)