专题02 研考题--高考微切口 多元变量问题的处理 2020高考江苏数学二轮复习

微切口 9　多元变量问题的处理 　(1) 若正实数 x，y，z 满足 x2－3xy＋4y2－z＝0，则当xy z 取得最大值时，2 x＋1 y－2 z的最 大值为________． (2) 若实数 a，b，c 满足 a＋b＝2c－1，a 2＋b2＝c2＋2c－3，则 ab 的取值范围是 ________． (3) 已知 a＞0，b＞0，c＞2，且 a＋b＝2，那么ac b ＋ c ab－c 2＋ 5 c－2的最小值为________． (4) 已知正数 x，y，z 满足 x＋2y＋z＝1，那么y＋z x＋y＋ 9 y＋z的最小值为________． (5) 若 x，y，z 为正实数，则 2xy＋yz x2＋5y2＋z2的最大值为________． 【思维引导】多元变量的最值问题是一种常见的题型，也是高考的热点．解决多元变量最值问题的常 见求解方法有： 1. 代入转换：如例(1)通过在目标式中消去变量 y 达到解题目的．本题到底是消去哪个 变量要根据题目的特点来．一般要保留目标式的分母为单项式，这样容易分离变量． 2. 分离转换：运用分离变量法，将目标式中三变量问题转化为求函数值域及解对应不 等式问题． 3. 放缩转换：如例(3)的关键是首先通过固定变量 c(视 a，b 为主元)，然后利用放缩技 巧对代数式进行两次变形，为利用基本不等式创造了条件，并结合不等式的性质，巧妙地求 得了最小值． 4. 换元转换：如例(4)中三个正数 x，y，z 都不是主元，而主元为y＋z x＋y，真够“隐身” 的． 5. 数形转换：通过几何意义来实现消元，如比值，则可考虑直线的斜率；如二元一次 式，则可考虑直线的截距；如根式分式，则可考虑点到直线的距离；如根式，则可考虑两点 间的距离． 1. 若x，y，z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，则 lg z 4lg x＋lg z lg y的最小值为________． 2. 当 x>1>y 时，x 2 －2xy＋y 2≥m[xy－(x＋y)＋1]恒成立，则实数 m 的取值范围为 ________． 3. 已知函数 y＝a x＋b(a＞1，b＞0)的图象经过点 P(1，3)，则 4 a－1＋1 b的最小值为 ________． 4. 已知正实数 m，n 满足 m＋n＝3，则m2＋1 m ＋ n2 n＋1的最小值为________． 5. 已知函数 f(x)＝ex，若对于实数 m，n，p 有 f(m＋n)＝f(m)＋f(n)，f(m＋n＋p)＝f(m)＋f(n) ＋f(p)，则 p 的最大值为________． 6. 已知实数 a，b，c 满足 a2＋b2＝c2，c≠0，那么 b a－2c的取值范围是________． 7. 已知函数 f(x)＝x2＋2 ax－b＋1(a，b 为正实数)只有一个零点，则1 a＋ 2a b＋1的最小值为 ________． 8. 若 x，y，z 均为正实数，且 x2＋y2＋z2＝1，则 （z＋1）2 2xyz 的最小值为________．9. 若 x，y，z 为实数，满足 x2＋y2＋z2＝1，则 4xy＋yz 的最大值为________． 10. 若实数 a，b，c 满足 a2＋b2≤c≤1，则 a＋b＋c 的最大值为________．