专题01 三角函数和平面向量 2020高考江苏数学二轮复习专题热练

专题一　三角函数和平面向量 第 1 讲　三角函数化简与求值 A 组　当堂热练 1. 已知角 α 的终边经过点(－1，2)，那么 sin (α＋π 4 )＝________． 2. (2018·兴化一中四模)若 sin α＋2cos α＝0，则 tan 2α＝__________． 3. 2sin235°－1 cos10°－ 3 sin 10° 的值为________． 4. (2019·全国卷Ⅱ)若 α∈(0，π 2 )，2sin 2α＝cos 2α＋1，则 sin α＝________． 5. (2019·南通原创卷)已知 sin (α＋π 3 )＝1 3，则 cos2(5π 6 ＋α)＋cos(π 6－α )＝________． 6. (2019· 天 一 中 学 ) 设 α ， β∈(0，π 2 )， 且 sin (α ＋ β) ＝ 5 13， tan α 2＝ 1 2， 则 cos β ＝ ________． 7. 已知 sin α＝－4 5(α ∈ [3π 2 ，2π])，若sin （α＋β） cos β ＝2，则 tan (α＋β)＝________． 8. 设 α 是第四象限角，若sin 3α sin α ＝13 5 ，则 tan 2α＝______________________. 9. (2019·姜堰中学)已知 α∈(π 2，π )，β∈(0，π 2 )，sin α＝ 5 5 ，tan β＝1 3.(1) 求 cos (α＋π 3 )的值． (2) 求α－β的值． 10. 已知 cos (π 6＋α )cos (π 3－α )＝－1 4，α∈(π 3，π 2 ). (1) 求 sin 2α 的值； (2) 求 tan α－ 1 tan α的值． 11. (2019·)已知 α，β∈(0，π 2 )，且 sin (α＋2β)＝7 5sin α. (1) 求证：tan (α＋β)＝6tan β； (2) 若 tan α＝3tan β，求 α 的值． B 组　滚动小练 1. 已知椭圆 O 的中心在原点，长轴在 x 轴上，右顶点 A(2，0)到右焦点的距离与它到右 准线的距离之比为 3 2 ，则椭圆的标准方程为________． 2. 若函数 f(x)＝ k－2x 1＋k·2x在定义域上为奇函数，则实数 k＝________． 3. 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA 1＝4，D 是 AB 的中 点． (1) 求证：A1C1⊥BC1； (2) 求证：AC1∥平面 CDB1.(第 3 题) 第 2 讲　三角函数的图象与性质 A 组　当堂热练 1. 函数 f(x)＝sin x＋ 3cos x，x∈[0，π]的单调减区间为________． 2. 已知函数 f(x)＝sin x sin (x＋3θ)是奇函数，其中 θ∈ (0，π 2 )，则 f(x)的最大值为 ________． 3. (2019·梁丰中学)函数 f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线 y＝2 所得线段长为 π 2， 则该函数的最小正周期为________． 4. 设函数 f(x)＝3sin (π 2x＋π 4)，若存在这样的实数 x1 ，x 2 ，对任意的 x∈R，都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________． 5. (2019· 扬 州 中 学 ) 若 函 数 f(x) ＝ 3sin (2x－π 3＋φ)， φ∈(0 ， π) ， f(|x|) ＝ f(x) ， 则 φ ＝ ________． 6. 已知函数 f(x)＝ 3sin x cos x＋cos2x，把函数 f(x)的图象的横坐标伸长到原来的 2 倍， 然后将图象向右平移π 3个单位长度，纵坐标不变，得到函数 g(x)的图象，若当 x∈[0，π]时， 方程 g(x)＝k 有两个不同的实数根，则 k 的取值范围为________． 7．(2019·武汉调研)已知函数 f(x)＝2sin (ωx＋π 4)在区间(0，π 8 )上单调递增，则 ω 的最大 值为________． 8. (2019·)若函数 f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象如图所示，则 f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)的值为________． (第 8 题) 9. (2019·南方凤凰台密题)已知 f(x)＝ 3sin x 2cos x 2－cos2x 2＋1 2. (1)求函数 y＝f(x)的减区间； (2) 设 y＝g(x)的图象与 y＝f(x)的图象关于直线 x＝π 4对称，当 x∈[－π 2，0]时，求 y＝g(x) 的值域． 10. (2019·扬州考前调研)已知函数 f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，部分自变量、函 数值如下表． x,,,,π 3,7π 12ωx＋φ,0,π 2,π,3π 2 ,2πf(x),2,4,,,(1) 求函数 f(x)的增区间； (2) 求函数 f(x)在(0，π]内的所有零点． 11. 如图所示是函数 f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω > 0，－π 2 < φ < π 2)的部分图象，直线 x＝3π 8 ，x＝ 7π 8 是其两条对称轴． (1) 求函数 f(x)的解析式； (2) 求函数 f(x)的增区间； (3) 若 f(α)＝6 5，且π 80，y>0，向量 a＝(1－x，4)，b＝(x，－y)，若 a∥b，则 x＋y 的最小值为 ________． 2. 若椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的焦点在 x 轴上，过点(2，1)作圆 x2＋y2＝4 的切线，切点分 别为 A，B，直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是________． 3. 已知函数 f(x)＝cos2x＋ 3sinx cos x＋1，x∈R. (1) 求函数 f(x)图象的对称轴； (2) 设 α∈( π 12，π 3)，且 f(α＋ π 12)＝21 10，求 cos (2α＋ π 12)的值． 第 4 讲　平面向量 A 组　当堂热练 1. (2019·高邮中学)若平面向量 a＝(1，－2)与 b 的夹角是 180°，且|b|＝3 5，则 b＝ ________． 2. 已知菱形 ABCD 的边长为 a，∠ABC＝60°，则BD → ·CD → ＝________． 3. (2019·徐州考前模拟)已知 e1，e2 是夹角为π 3的两个单位向量，向量 a＝e1＋2e2，b＝ke1 －e2，若 a·b＝0，则实数 k 的值为________． 4. 在四边形 ABCD 中，AB＝6.若DA → ＝2 3CA → ＋1 3CB → ，则AB → ·DC → ＝________． 5. (2019·等)已知点 P 是△ABC 内一点，满足AP → ＝λAB → ＋μAC → ，且 2λ＋3μ＝1， 延长 AP 交边 BC 于点 D，BD＝2DC，则 λ＋μ＝________． 6. (2019·梁丰中学)如图，在△ABC 中，已知边 BC 的四等分点依次为 D，E，F.若AB → ·AC → ＝2，AD → ·AF → ＝5，则 AE 的长为________． (第 6 题) 7. 如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝3，AD＝DC＝1，若AD → ·BC → ＝1 2，则AB → ·AD → ＝ ________． (第 7 题) 8. (2019·百校大联考)在平面凸四边形 ABCD 中，AB＝2 2，CD＝3，点 E 满足DE → ＝2EC → ， 且 AE＝BE＝2.若AE → ·EC → ＝8 5，则AD → ·BC → ＝________． 9. 已知向量 a＝(sin (α＋π 6 )，3)，b＝(1，4cos α)，α∈(0，π). (1) 若 a⊥b，求 tan α 的值； (2) 若 a∥b，求 α 的值． 10. (2019·考前冲刺卷)已知 m＝( 3cos x 4，sin x 4)，n＝(sin x 4，sin x 4)，设函数 f(x)＝m·n. (1) 求函数 f(x)的单调增区间； (2) 设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a，b，c 成等比数列，求 f(B) 的取值范围． 11. 如图，若点 M 是△ABC 所在平面内一点，且满足AM → ＝3 4AB → ＋1 4AC → . (1) 求△ABM 与△ABC 的面积之比； (2) 若 N 为 AB 的中点，AM 与 CN 交于点 O，设BO → ＝xBM → ＋yBN → ，求 x，y 的值．(第 11 题) B 组　滚动小练 1. 设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为 S1，S2，体积为 V1，V2，若它们的侧面积相等且 S1 S2＝9 4，则V1 V2的值是________． 2. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a2a4a6a8＝120，且 1 a4a6a8＋ 1 a2a6a8＋ 1 a2a4a8＋ 1 a2a4a6 ＝ 7 60，则 S9 的值为________． 3. 设 k∈R，函数 f(x)＝ln x＋x2－kx－1. (1) 当 k＝1 时，求不等式 f(x)>－1 的解集； (2) 求函数 f(x)的单调增区间．